2022-2023学年山西省朔州市怀仁市巨子学校高中部高二（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年山西省朔州市怀仁市巨子学校高中部高二（下）期末数学试卷
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2. 计算：( )
A. B. C. D.
3. 已知为奇函数且对任意，，若当时，，则( )
A. B. C. D.
4. 我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休．在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢廊函数的图象特征，函数的图象大致是( )
A. B.
C. D.
5. 已知函数，若关于的方程有四个实数根，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
6. 年深秋的一个夜晚，年仅岁的曹火星在晋察冀边区创作了歌曲没有共产党就没有中国，毛主席得知后感觉歌名的逻辑上有点问题，遂提出修改意见，将歌名改成没有共产党就没有新中国，今年恰好是建党周年，请问“没有共产党”是“没有新中国”的条件( )
A. 充分 B. 必要 C. 充分必要 D. 既非充分又非必要
7. 命题“，”的否定是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
8. 函数的极大值为( )
A. B. C. D. 不存在
9. 若函数在上是增函数，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
10. 若，则的值为( )
A. B. C. D.
11. 已知点是的边的中点，点在边上，且，则向量( )
A. B. C. D.
12. 为了贯彻落实中共中央国务院全面加强新时代大中小学劳动教育的意见的文件精神，某学校结合自身实际，推出了植物栽培手工编织实用木工实用电工烹饪技术五门校本劳动选修课程，要求每个学生从中任选三门进行学习，学生经考核合格后方能获得该学校荣誉毕业证，则甲、乙两人的选课中仅有一门课程相同的概率为( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知：，：，若是的必要不充分条件，则的取值范围是 ．
14. 设坐标平面上的抛物线：，过第一象限的点作抛物线的切线，则直线与轴的交点的坐标为______ ．
15. 设复数，则的共轭复数为______．
16. 如图所示，在四边形中，已知，，，，， ______ ．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
已知数列的前项和为，，从条件、条件和条件中选择两个作为已知，并完成解答：
Ⅰ求数列的通项公式；
Ⅱ设等比数列满足，，求数列的前项和．
条件：；
条件：；
条件：．
18. 本小题分
年月日举行的全国脱贫攻坚总结表彰大会上，国家电网共有名个先进个人、先进集体获得表彰其中，国网西藏电力有限公司农电工作部从习近平总书记手中接过了“全国脱贫攻坚楷模”奖牌过去年，在党中央坚强领导下，经过世界规模最大、力度最强的脱贫攻坚战，近亿人摆脱绝对贫困长期以来贫困地区的农产品面临“种得出卖不出”“酒香也怕巷子深”的困境深谙互联网思维的国家电网人，搭平台、建渠道，以一款让众多贫困地区的产品销售易如反掌年“”期间，带货主播和直播运营两大岗位高达去年同期的倍针对这一市场现象，为了加强监管，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系现从评价系统中选出次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为，对商品和服务都做出好评的交易为次，对商品和服务部不满意的交易为次．
请完成关于商品和服务评价的列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过的前提下，认为商品好评与服务好评有关？
对服务好评 对服务不满意 合计
对商品好评
对商品不满意
合计
从“对服务不满意”的评价中分层选出个，再从这个评价中随机选出个，记其中“对商品不满意”的个数为，求的分布列及数学期望．
附：，．
19. 本小题分
已知复数．
求；
计算：．
20. 本小题分
移动支付支付宝及微信支付已经渐渐成为人们购物消费的一种支付方式，为调查市民使用移动支付的年龄结构，随机对位市民做问卷调查，得到列联表如下：
岁以下含岁 岁以上 合计
使用移动支付
不使用移动支付
合计
将上面的列联表补充完整，并通过计算，说明是否有的把握认为支付方式与年龄有关？
在使用移动支付人群中采用分层抽样的方式抽取人做进一步问卷调查，从这人中随机选出人中，设年龄低于岁含岁的人数为，求的分布列及期望．
参考公式：，其中．
参考临界值表：
21. 本小题分
如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，为中点，且．
求；
求二面角的正弦值．
22. 本小题分
在平面直角坐标系中，已知直线为参数以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程
设点的直角坐标为，直线与曲线的交点为，，求的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：由已知条件得，
解得，故集合．
又，则，
故选：．
求出集合，，由此能求出．
本题考查集合的运算，考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．
2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查指数幂化简求值，是基础题．
利用指数幂的性质直接求解．
【解答】
解：
．
故选D．
3.【答案】
【解析】解：因为为奇函数，即，
因为对任意，，
所以，
当时，，
所以，
所以，则．
故选：．
由已知可求函数的周期性，然后结合已知函数的奇函数性质可求．
本题主要考查了利用函数的奇偶性及周期性求解函数值，体现了转化思想的应用，属于中档题．
4.【答案】
【解析】解：根据题意，，其定义域为，
有，函数为偶函数，排除，
当时，，排除，
故选：．
根据题意，先分析函数的奇偶性，排除，再分析函数图象的变化趋势，排除，即可得答案．
本题考查函数的图象分析，涉及函数的奇偶性的判断，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：因为当时，，
当时，，
所以当时，，
作出函数的图象，如图所示，
因为有四个根，即函数的图象与有四个交点，
所以，
故实数的取值范围为．
故选：．
作出分段函数的图象，然后将问题转化为函数的图象与有四个交点，由图象分析即可得到答案．
本题考查了方程根的问题，属于中档题．
6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了充分条件与必要条件的判断，属于基础题．利用充分条件与必要条件的定义，从而得到答案．
【解答】
解：没有共产党没有新中国，没有共产党是没有新中国的充分条件，
故选：．

7.【答案】
【解析】解：命题“，”的否定是，．
故选：．
根据全称命题的否定是特称命题改写即可．
本题考查了命题的否定，注意对结论要全盘否定，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：，
，
令，解得：，令，解得：，
故函数在递增，在递减，
故时，函数取极大值，
函数的极大值是，
故选：．
求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出函数的极大值即可．
本题考查了函数的单调性，极值问题，考查导数的应用，是基础题．
9.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查利用导数研究函数的单调性，属于基础题．
由题意可得在上恒成立，即在上恒成立，由此求得的范围．
【解答】
解：由函数在上是增函数，可得在上恒成立，
即在上恒成立，故，
故选：．
10.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了诱导公式，两角和的正弦公式，二倍角公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
利用诱导公式，两角和的正弦公式，二倍角公式化简已知等式即可求解．
【解答】
解：因为，可得，
所以，可得，
两边平方，可得，
所以．
故选：．

11.【答案】
【解析】解：如图：点是的边的中点，点在边上，
且，
则向量
．
故选：．
画出图形，利用向量的加减法求解即可．
本题考查平面向量的加法与减法运算法则的应用，是基础题．
12.【答案】
【解析】解：某学校结合自身实际，推出了植物栽培手工编织实用木工实用电工烹饪技术五门校本劳动选修课程，
要求每个学生从中任选三门进行学习，学生经考核合格后方能获得该学校荣誉毕业证，
甲、乙两人的选课基本事件总数，
甲、乙两人的选课中仅有一门课程相同包含的基本事件个数，
则甲、乙两人的选课中仅有一门课程相同的概率为．
故选：．
甲、乙两人的选课基本事件总数，甲、乙两人的选课中仅有一门课程相同包含的基本事件个数，由此能求出甲、乙两人的选课中仅有一门课程相同的概率．
本题考查概率的运算，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．
13.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了一元二次不等式的解法和简易逻辑，属于中档题．
先根据题意解出、中的取值范围，再根据是的必要不充分条件，判断满足的条件，列出不等式并求解即可．
【解答】
解：因为是的必要不充分条件，所以是的必要不充分条件，
解不等式，得，
解不等式，解得．
：，：，
是的必要不充分条件，
所以，即．
故实数的取值范围是．

14.【答案】
【解析】解：，
，
在第一象限内图象上一点处的切线方程是：，
令，可得，
直线与轴的交点的坐标为
故答案为：
求导数，可得在第一象限内图象上一点处的切线方程，令，可得，即可求出直线与轴的交点的坐标．
本题考查导数的几何意义，考查切线方程，考查学生的计算能力，确定切线方程是关键．
15.【答案】
【解析】解：
故答案为：．
利用复数代数形式的乘除运算化简求得，再由共轭复数的概念得答案．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础的计算题．
16.【答案】
【解析】解：在中，设，则由余弦定理可得，
整理得，解之得，舍去．
在中，由正弦定理得．
故答案为：．
设出，利用余弦定理建立方程，整理后求得，进而利用正弦定理求得．
本题主要考查了解三角形的实际应用．考查了考查对正弦定理和余弦定理的灵活运用．
17.【答案】解：Ⅰ由题意，不能选择作为已知条件，否则题目条件不完善．
若选择作为已知条件．
，，
数列是以为首项，公差的等差数列．
．
若选择作为已知条件．
，
数列是以为首项，公差为的等差数列．
，，则，
解得，；
Ⅱ由Ⅰ知，，
设等比数列的公比为，则，，
，．
等比数列的通项公式为．
可得．
．
【解析】Ⅰ由题意，不能选择作为已知条件，否则题目条件不完善，当选择和作为已知条件时，都可得到数列是公差为的等差数列，再求出首项，即可求得数列的通项公式；
Ⅱ由Ⅰ知，，设等比数列的公比为，则，可求，进一步求得公比与首项，可得等比数列的通项公式，再由数列的分组求和及等差数列与等比数列的前项和公式求解数列的前项和．
本题考查等差数列与等比数列的通项公式及前项和，训练了数列的分组求和，考查运算求解能力，是中档题．
18.【答案】解：由题意可得关于商品和服务评价的列联表如下：
对服务好评 对服务不满意 合计
对商品好评
对商品不满意
合计
，
故能在犯错误的概率不超过的前提下，认为商品好评与服务好评有关．
由得从“对服务不满意”的评价中分层选出的个评价中，“对商品好评”的有个，“对商品不满意”的有个，
故的所有可能取值为，，，
，，，
的分布列为

所以．
【解析】本题考查了独立性检验与古典概型的概率求法，属于中档题．
根据题目所给的数据填写列联表，计算，对照题目中的表格，得出结论．
得到的所有可能取值为，，，求出相应的概率，列出分布列，求出数学期望即可．
19.【答案】解：，，
；
，，，，，，
有，，，，且显然，
．
【解析】根据已知条件，运用复数的运算法则，以及复数模的公式，即可求解．
，，，，，，可得，，，，且显然，即可求解．
本题考查了复数代数形式的乘法运算，以及复数模的公式，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．
20.【答案】解：列联表完成如下：
岁以下含岁 岁以上 合计
使用移动支付
不使用移动支付
合计
，
有把握认为支付方式与年龄有关．
在使用移动支付的人群中采用分层抽样的方式抽取人，即岁以下含岁有人，岁以上有人，则从这人中随机选出人，低于岁含岁的人数为的所有可能取值为，，，，，，
故的分布列如下：
．
【解析】根据列联表中数据的关系，补充联表，并结合独立性检验公式，即可求解．
在使用移动支付的人群中采用分层抽样的方式抽取人，即岁以下含岁有人，岁以上有人，则从这人中随机选出人，低于岁含岁的人数为的所有可能取值为，，，分别求出对应的概率，即可得的分布列，并结合期望公式，即可求解．
本题主要考查了离散型随机变量及其分布列，需要学生熟练掌握期望公式，属于中档题．
21.【答案】解：连结，
因为底面，且平面，
则，
又，，，平面，
所以平面，
又平面，则，
所以，
又，
则有，
所以∽，
则，所以，解得；
因为，，两两垂直，故以点为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，
则，，，，
所以，，，，
设平面的法向量为，
则有，即，
令，则，，故，
设平面的法向量为，
则有，即，
令，则，，故，
所以，
设二面角的平面角为，
则，
所以二面角的正弦值为．
【解析】本题考查了空间中线段长度求解以及二面角的求解，在求解有关空间角问题的时候，一般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进行研究，属于中档题．
连结，利用线面垂直的性质定理证明，从而可以证明平面，得到，证明∽，即可得到的长度；
建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后求出平面的法向量，由向量的夹角公式以及同角三角函数关系求解即可．
22.【答案】解：已知直线为参数，转换为直角坐标方程为．
曲线的极坐标方程为，根据，转换为直角坐标方程为．
把直线为参数，代入．
得到：，
所以，．
所以．
【解析】直接利用转换关系，在参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；
利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．
本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
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