2022-2023学年安徽省合肥市六校联考高二（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年安徽省合肥市六校联考高二（下）期末数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知数列满足，，则( )
A. B. C. D.
2. 设函数在处的导数为，则( )
A. B. C. D.
3. 已知等差数列中，，则该数列的前项和( )
A. B. C. D.
4. 已知等比数列的前项和为，若，则的公比( )
A. B. C. 或 D. 或
5. 在展开式中，的系数为( )
A. B. C. D.
6. 将六位数“”重新排列后得到不同的六位偶数的个数为( )
A. B. C. D.
7. 已知随机变量，则( )
A. B. C. D.
8. 若函数在区间上单调递增，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 下列求导运算正确的是( )
A. B.
C. D.
10. 下列结论正确的是( )
A. 若变量关于变量的回归直线方程为，且，，则
B. 若随机变量的方差，则
C. 若、两组成对数据的样本相关系数分别为，，则组数据比组数据的相关性较强
D. 残差平方和越小，模型的拟合效果越好
11. 已知等差数列的公差为，前项和为，且，，，成等比数列，则( )
A. B.
C. 当时，是的最大值 D. 当时，是的最小值
12. 有台车床加工同一型号的零件第台加工的次品率为，第，台加工的次品率均为，加工出来的零件混放在一起，已知第，，台车床的零件数分别占总数的，，，则下列选项正确的有( )
A. 任取一个零件是第台生产出来的次品概率为
B. 任取一个零件是次品的概率为
C. 如果取到的零件是次品，则是第台车床加工的概率为
D. 如果取到的零件是次品，则是第台车床加工的概率为
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知随机变量服从，若，则 ______ ．
14. 若，则的值为______ ．
15. 在新的高考改革方案中规定：每位考生的高考成绩是按照语文、数学、英语物理、历史选化学、生物、地理、政治选的模式设置的，则在选考的科目中甲、乙两位同学恰有两科相同的概率为______．
16. 已知函数，若函数有且只有三个零点，则实数的取值范围是______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
名男生，名女生，按照不同的要求排队，求不同的排队方法数．
全体站成一排，甲、乙不在两端；
全体站成一排，男生站在一起、女生站在一起；
全体站成一排，男生彼此不相邻．
18. 本小题分
在，，这三个条件中选择两个，补充在下面问题中，并进行解答已知等差数列的前项和为，．
求数列的通项公式；
设，求数列的前项和．
19. 本小题分
为提高学生的数学应用能力和创造力，学校打算开设“数学建模”选修课，为了解学生对“数学建模”的兴趣度是否与性别有关，学校随机抽取该校名高中学生进行问卷调查，其中认为感兴趣的人数占．
感兴趣 不感兴趣 合计
男生
女生
合计
根据所给数据，完成下面的列联表，并根据列联表判断，依据小概率值的独立性检验，分析学生对“数学建模”选修课的兴趣度与性别是否有关？
若感兴趣的女生中恰有名是高三学生，现从感兴趣的女生中随机选出名进行二次访谈，记选出高三女生的人数为，求的分布列与数学期望．
附：，其中．
20. 本小题分
设等比数列的前项和为，已知，．
求数列的通项公式；
设，求数列的前项和．
21. 本小题分
已知函数，．
当时，求曲线在点处的切线方程；
讨论的单调性．
22. 本小题分
已知函数，．
求证：；
若，问是否恒成立？若恒成立，求的取值范围；若不恒成立，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：数列满足，，
所以，
．
故选：．
利用数列的递推关系式，逐步求解数列的即可．
本题考查数列的递推关系式的应用，是基本知识的考查．
2.【答案】
【解析】．
故选：．
将极限构造成的形式即可．
本题考查极限与导数的意义，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：根据题意，等差数列中，，
则其前项和，
故选：．
根据题意，由等差数列的前项和公式可得，即可得答案．
本题考查等差数列的前项，涉及等差数列的性质，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：由于等比数列的前项和为，若，
所以，整理得，解得．
故选：．
直接利用等比数列的性质求出结果．
本题考查的知识要点：等比数列的性质，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题和易错题．
5.【答案】
【解析】解：因为的通项为，当时，．
所以的系数为．
故选：．
用二项式定理的通项公式展开，使得的系数为，可以确定的值，即可求得．
本题主要考查二项式定理，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：由题意，末尾是或，
不同偶数个数为，
末尾是，不同偶数个数为，
所以共有个．
故选：．
由题意，分末尾是或，末尾是，即可得出结果．
本题考查品排列组合相关知识，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：随机变量的分布列为，
，，
．
故选：．
由随机变量分布列的性质求出，即可求出．
本题主要考查离散型随机变量分布列的性质，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解；，
因为函数在区间上单调递增，
所以在上恒成立，即在上恒成立，
因为在上单调递减，
所以当时，，所以，
则的取值范围为．
故选：．
因为函数在内单调递增，转化为导函数在恒成立．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查转化能力，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：对于选项：，所以选项错误；
对于选项：，所以选项错误；
对于选项：由公式得，所以选项正确；
对于选项：，所以选项正确．
故选：．
根据函数求导公式和运算法则，计算即可．
本题主要考查导数的求导，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：对于，因为回归直线经过点，所以将代入回归直线方程，得，所以A正确；
对于，因为，所以，所以B错误；
对于，因为，所以组数据比组数据的相关性较强，所以C正确；
对于，回归分析中常用残差平方和来刻画拟合效果好坏，残差平方和越小，拟合效果越好，所以D正确．
故选：．
对于，结合回归方程的性质即可判断；对于，结合随机变量的方差的性质即可判断；
对于，结合相关系数的定义即可判断；对于，结合残差的定义即可判断．
本题考查线性回归方程相关知识，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：因为，，成等比数列，所以，即，
整理得，因为，所以，
所以，则，故A正确、B错误；
当时单调递减，此时，
所以当或时取得最大值，即，故C正确；
当时单调递增，此时，
所以当或时取得最小值，即，故D正确．
故选：．
根据等比中项的性质得到方程，即可得到，再根据等差数列的通项公式、求和公式及单调性判断即可．
本题主要考查了等比数列的性质，等差数列的性质的应用，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：选项，任取一个零件是第台生产出来的次品概率为，A正确；
选项，任取一个零件是次品的概率为，B正确；
选项，如果取到的零件是次品，且是第台车床加工的概率为，C错误；
选项，如果取到的零件是次品，且是第台车床加工的概率为，D正确．
故选：．
根据相互独立事件的乘法公式可计算，；根据条件概率公式可计算，．
本题考查条件概率，考查学生的计算能力，是基础题．
13.【答案】
【解析】解：因为，则．
故答案为：．
利用正态曲线的对称性可求得的值．
本题考查正态分布曲线相关知识，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：，
令，可得．
故答案为：．
通过给赋值，求出的值．
本题主要考查二项式定理的应用，是给变量赋值的问题，解题关键是根据要求的结果，选择合适的数值代入，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：由题意得出甲、乙两位同学选考的总数为种，
若相同的科目为选的科目，从科中选科，有种选择，
则选两人选择不同，由种选择，共有种，
若相同的科目为选和选中的各个，从科中先选出科相同的，有种选择，
甲乙再分别从剩余科中选择个不同的，有种选择，再从选中选择一科相同的，有种选择，共有种，
所以所求概率为．
故答案为：．
先计算出甲、乙两位同学选考的总数，再分两种情况求出甲、乙两位同学恰有两科相同的总数，利用古典概型求概率公式进行求解．
本题主要考查古典概型及其概率计算公式，属于中档题．
16.【答案】
【解析】解：当时，，，
所以当，时，当或时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，
且，；
当时，，，
所以当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
令，则，
又．
作出函数的函数图象如下：
若有且只有三个零点，即与只有三个交点，
由图可知需满足．
故答案为：．
利用导数求出函数的单调性与极值，画出函数图象，数形结合即可得解．
本题考查函数零点与方程根的关系，考查数形结合思想以及运算求解能力，属于中档题．
17.【答案】解：先在中间五个位置选两个位置安排甲，乙有种，然后剩余个人在剩余五个位置全排列，
所以有种．
根据题意，相邻问题，利用捆绑法，共有种．
全体站成一排，男生彼此不相邻即不相邻问题，先排好女生共有种排法，男生在个空中安插，共有种排法，
所以共有种．
【解析】先特殊后一般即可求解；
利用捆绑法求解；
利用插空法求解．
本题主要考查了排列组合知识，属于基础题．
18.【答案】解：等差数列的前项和为，设首项为，公差为，
选，时，
故，解得，故．
选，时，
故，解得，故．
选，时，
故，解得，故．
由得：，
所以．
【解析】选和和时，建立方程组，进一步求出首项和公差，再求出数列的通项公式；
利用的结论，进一步利用裂项相消法求出数列的和．
本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法，数列的求和，裂项相消法的求和，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
19.【答案】解：列联表如下：
感兴趣 不感兴趣 合计
男生
女生
合计
，
所以没有的把握认为学生对“数学建模”选修课的兴趣度与性别有关；
由题意可知的取值可能为，，，，
则，
，
，
，
故的分布列为：
数学期望．
【解析】由题可得列联表，根据列联表可得进而即得；
由题可得的取值，然后利用古典概型概率公式求概率，进而可得分布列，再利用期望公式即得．
本题主要考查独立性检验，离散型随机变量分布列及数学期望，考查运算求解能力，属于中档题．
20.【答案】解：设等比数列的公比为，
，，
当时，有，
当时，，
由得，即，，
，
；
由得，
则，
，，
，
．
【解析】本题考查数列的递推式和数列的求和，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
设等比数列的公比为，利用数列的递推式，作差，即可得出答案；
由得，则，可得，利用分组求和法，即可得出答案．
21.【答案】解：当时，，则，，
又，在点处的切线方程为：，即．
由题意得：定义域为，；
当时，，在上单调递增；
当时，若，则；
若，则；在，上单调递增，在上单调递减；
当时，若，则；
若，则；在，上单调递增，在上单调递减；
综上所述：当时，在上单调递增；
当时，在，上单调递增，在上单调递减；
当时，在，上单调递增，在上单调递减．
【解析】由导数几何意义可求得切线斜率，结合可得切线方程；
求导后，分别在、和的情况下，根据正负得到函数单调性．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性，利用导数研究曲线上某点的切线方程，考查运算求解能力，属于中档题．
22.【答案】解：证明：令，，
令，解得，令，解得：，
故在递减，在递增，
即当时，取得极小值也是最小值，
所以，得证；
设，
即证在上恒成立，
易得，
当时，若，
下面证明：当时，在上恒成立，
因为，设，
则，
所以在上是单调递增函数，
所以，所以在上是严格增函数，
若时，，即在右侧附近单调递减，此时必存在，
不满足恒成立，
故当时，不等式恒成立；
故的取值范围是．
【解析】令，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的最小值，从而证明结论成立；
设，根据，得到，问题转化为当时，在上恒成立，根据函数的单调性证明即可．
本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，考查转化思想，是中档题．
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