2022-2023学年天津市河西区高二（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年天津市河西区高二（下）期末数学试卷
一、单选题（本大题共9小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知全集，集合，则( )
A. B. C. D.
2. 已知：，：，则是的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 已知，，，则( )
A. B. C. D.
4. 曲线是造型中的精灵，以曲线为元素的给人简约而不简单的审美感受，某数学兴趣小组设计了如图所示的双型曲线，以下个函数中最能拟合该曲线的是( )
A.
B.
C.
D.
5. 若，则下列不等式不恒成立的是( )
A. B. C. D.
6. 下面关于函数的说法正确的是( )
A. 恒成立 B. 最大值是
C. 与轴无交点 D. 没有最小值
7. 设是定义域为的奇函数，且，若，则( )
A. B. C. D.
8. 已知，则的最小值是( )
A. B. C. D.
9. 已知函数为自然对数的底数，有个不同的零点，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）
10. 若集合，，，则集合的子集个数为______ ．
11. 已知，，则的取值范围是______ ．
12. 函数的单调递增区间为______．
13. 已知函数的最小值为，则______．
14. 已知是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增，若实数满足，则实数的取值范围是______ ．
15. 已知函数，则的最小值是 ，若关于的方程有且仅有四个不同的实数解，则整数的取值范围是 ．
三、解答题（本大题共3小题，共34.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. 本小题分
已知，．
Ⅰ求的值；
Ⅱ若，，且，求的最小值．
17. 本小题分
已知函数．
Ⅰ若函数在单调递增，求实数的取值范围；
Ⅱ若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围；
Ⅲ若方程有两个大于的不等实数根，求实数的取值范围．
18. 本小题分
设函数其中是自然对数的底数，，已知它们在处有相同的切线．
Ⅰ求函数，的解析式；
Ⅱ求函数在上的最小值；
Ⅲ若对，恒成立，求实数的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：全集，集合，
由补集定义可知：或，即．
故选：．
利用补集的定义可得正确的选项．
本题主要考查补集及其运算，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：因为：；
：，
所以，推不出，所以是的必要不充分条件．
故选：．
分别求出命题，，再由充分条件和必要条件的定义即可得出答案．
本题主要考查了充分条件和必要条件的定义，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：因为在定义域内单调递增，则，所以，
因为在定义域内单调递增，则，所以，
因为在定义域内单调递减，则，所以，
综上所述：．
故选：．
根据题意结合指、对数函数单调性，借助于中间值分析判断．
本题主要考查对数值大小的比较，考查函数思想与逻辑推理能力，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：由函数，其定义域为，关于原点对称，
可得，
所以函数为偶函数，所以排除；
由函数，可得，故排除；
由函数，当时，可得且，则，
故排除．
由函数的定义域为，关于原点对称，
且，所以为奇函数，图象关于原点对称，
由时，，可得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，且，所以项符合题意．
故选：．
根据是偶函数，排除项；由，排除项，由当时，函数，可排除，由函数为奇函数，且当时，利用导数求得函数的单调性，结合，得到符合题意，即可求解．
本题主要考查了函数图象的变换，考查了函数奇偶性和单调性，属于中档题．
5.【答案】
【解析】解：对于，由得恒成立；
对于，由可知恒成立；
对于，由于，故当时，不成立，所以不恒成立；
对于，由得，所以恒成立．
故选：．
根据不等式的性质对给出的每个选项分别进行分析、判断后可得不恒成立的不等式．
本题考查不等式的性质及命题真假的判定，解题的关键是熟练运用不等式的相关知识求解，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：函数，
恒成立，且最小值为，无最大值，
当时，，即与轴有交点，
故选：．
直接根据二次函数的性质即可求解结论．
本题主要考查二次函数的性质，考查计算能力，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：是定义域为的奇函数，，
，
，
是周期为的周期函数，
．
故选：．
由结合函数的奇偶性可得，是周期为的周期函数，再利用周期性和奇偶性即可求出结果．
本题主要考查了函数的周期性和奇偶性，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：因为，所以，
则
，当且仅当时取等号．
故选：．
根据式子结构，进行拆分，配凑，再用基本不等式求解即可．
本题考查基本不等式的应用，属基础题．
9.【答案】
【解析】解：当时，，
所以，且，
所以二次函数开口向下且在内抛物线与轴只有一个交点，
所以在内只有一个零点，
当时，，
所以不是的零点，
由已知得当时，有两个零点，
由，得，
令，即，
由题意可得函数与有两个交点，
又因为，
所以当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以，
又因为函数与有两个交点，
所以，
所以的取值范围为．
故选：．
先分析时二次函数零点的情况，而时可将零点的问题转化为两个函数图象交点的问题，利用导数求解即可．
本题考查了二次函数的性质、指数函数的性质、导数的综合运用及转化思想，属于中档题．
10.【答案】
【解析】解：集合，，，
，
集合的子集个数为：．
故答案为：．
先求出集合，由此能求出集合的子集个数．
本题考查交集的子集的个数的求法，考查并集、子集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
11.【答案】
【解析】解：，，
又，由不等式性质可知：，
则的取值范围是
故答案为：
将看作，利用不等式的性质可直接求解．
本题考查不等式的性质，属基础题．
12.【答案】
【解析】解：函数的单调递增区间，即函数在的条件下，的减区间．
由二次函数的性质可得，在的条件下，的减区间为，
故答案为：．
本题即即求函数在的条件下，的减区间，由二次函数的性质可得结论．
本题主要考查二次函数、对数函数的性质，复合函数的单调性，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：，
所以，经检验，时等号成立．
故答案为：．
利用基本不等式求最值需要满足“一正、二定、三相等”，该题只需将函数解析式变形成，然后利用基本不等式求解即可，注意等号成立的条件．
本题主要考查了基本不等式的应用，以及整体的思想，解题的关键是构造积为定值，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：因是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增，
所以在区间上单调递减，且，
由，在区间上单调递增，故，
由，在区间上单调递减，故，
综上，．
故答案为：．
利用函数的单调性和偶函数在对称区间单调性相反可得．
本题考查了函数奇偶性和单调性的应用，比较基础．
15.【答案】
【解析】解：当时，，由二次函数的性质可知，当时，取得最小值为；
当时，；
所以函数的最小值是；
作出函数的图象如下图所示，
由图可知，当时，函数与函数的图象无交点，
当或时，函数与函数的图象有个交点，
当时，函数与函数的图象有个交点，当时，函数与函数的图象有个交点，
则符合题意的整数为或，
故答案为：；．
当时，由二次函数的性质可得最小值，当时，由指数函数的性质可得最小值，综合即可得到答案；作出函数的图象，平移直线，结合图象即可得到整数的范围．
本题考查函数零点与方程根的关系，考查数形结合思想以及运算求解能力，属于基础题．
16.【答案】解：Ⅰ，，，，
所以，．
Ⅱ由换底公式得：，
所以，
当且仅当，即取等号，因此的最小值为．
【解析】Ⅰ将，表示出来，利用对数恒等式计算即可；Ⅱ利用换底公式，基本不等式可求最小值．
本题考查对数的运算，基本不等式求最值，属于中档题．
17.【答案】解：Ⅰ根据题意，函数，
则函数的对称轴为，
因为函数在单调递增，
则有，解得，
故实数的取值范围是；
Ⅱ根据题意，不等式对任意恒成立，
即的图象全部在轴上方，则有，
解得，实数的取值范围是；
Ⅲ若方程有两个大于的不等实数根，
即函数与轴有两个交点，且交点都在的右侧，
则有，解可得，
实数的取值范围是．
【解析】Ⅰ根据题意，分析的对称轴，结合二次函数的性质可得关于的不等式，解可得答案；
Ⅱ根据题意，分析可得的图象全部在轴上方，则有，解可得答案；
Ⅲ根据题意，结合二次函数的性质可得，解可得的取值范围，即可得答案．
本题考查二次函数的性质以及应用，涉及二次函数根的分布问题，属于中档题．
18.【答案】解：Ⅰ，，
，，
由题意，两函数在处有相同的切线，
，，
，，
，．
Ⅱ，由得；由得，
在上单调递增，在上单调递减，
，，
当时，在上单调递减，在上单调递增，
．
当时，在上单调递增，
，
．
Ⅲ令，
由题意知当时，，
由题意知，．
，
，在上只可能有一个极值点，
当，即时，在上单调递增，
，不满足题意；
当，即时，由知，，不满足题意；
当，即时，在上单调递减，在上单调递增，，满足．
综上所述，满足题意的实数的取值范围为
【解析】Ⅰ求出函数的导数，得到关于，的方程组，解出即可；
Ⅱ通过讨论的范围，结合函数的单调性求出的最小值即可；
Ⅲ令，由题意时，恒成立，通过讨论的范围，求出函数的单调区间，从而确定的范围即可．
本题考查了函数的函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．
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