1.1 第2课时 集合的表示课件-2022-2023学年高一数学新教材配套课件（人教A版必修第一册）(共24张PPT)

(共24张PPT)
第2课时　集合的表示
　1.1　集合的概念
1.初步掌握集合的两种表示方法——列举法、描述法，感受集合语言的意义和作用.
2.会用集合的两种表示方法表示一些简单集合.
学习目标
1
自主学习
知识点一　列举法
把集合的所有元素 出来，并用 括起来表示集合的方法叫做列举法.
一一列举
花括号“{}”
注意: (1)应先弄清集合中的元素是什么，是数还是点，还是其他元素；
(2)若集合中的元素是点时，则应将有序实数对用小括号括起来表示一个元素.
思考1　不等式x－2<3的解集中的元素有什么共同特征？
答案　元素的共同特征为x∈R，且x<5.
思考2　{x|x>1}与{y|y>1}是不是相同的集合？
答案　相同，只是代表元素的符号不同，但是元素相同.
知识点二　描述法
定义：用集合所含元素的 表示集合的方法称为描述法。
具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的 及 ，再画一条竖线，在竖线后面写出这个集合中元素所具有的 。
共同特征
(3)在通常情况下，集合中竖线左侧元素的所属范围为实数集时可以省略不写.例如，方程x2－2x＋1＝0的实数解集可表示为{x∈R|x2－2x＋1＝0}，也可写成{x|x2－2x＋1＝0}.
(2)所有描述的内容都要写在花括号内.例如，{x∈Z|x＝2k}，k∈Z，这种表达方式就不符合要求，需将k∈Z也写进花括号内，即{x∈Z|x＝2k，k∈Z}.
注意：(1)写清楚该集合代表元素的符号.例如，集合{x∈R|x<1}不能写成{x<1}.
共同特征
符号
取值范围
小试牛刀
1.由1,1,2,3组成的集合可用列举法表示为{1,1,2,3}.(　　)
2.集合{(1,2)}中的元素是1和2.(　　)
3.集合A＝{x|x－1＝0}与集合B＝{1}表示同一个集合.(　　)
4.集合{(1,2)}和{x|x2－3x＋2＝0}表示同一个集合.(　　)
×
×
√
×
2
经典例题
例1　用列举法表示下列集合：
(1)小于10的所有自然数组成的集合；
题型一 列举法表示集合
解　设小于10的所有自然数组成的集合为A，那么
A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}．
(2)方程x2＝x的所有实数解组成的集合。
解　设方程x2＝x的所有实数根组成的集合为B，那么
B={0,1}.
跟踪训练 1 用列举法表示下列给定的集合：
(1)大于1且小于6的整数组成的集合；
解　因为大于1且小于6的整数包括2,3,4,5，所以集合为{2,3,4,5}.
(3)直线y＝2x＋1与y轴的交点所组成的集合。
解　将x＝0代入y＝2x＋1，得y＝1，即交点是(0,1)，
故交点组成的集合是{(0,1)}.
(2)由所有正整数构成的集合.
解　正整数有1,2,3，…，
所求集合为{1,2,3，…}.
题型二 描述法表示集合
例2　分别用描述法和列举法表示下列集合：
(1)方程x2 - 2=0的所有实数根组成的集合A；
(2)由大于10且小于20的所有整数组成的集合B.
解　设x∈B，则x是一个整数，即x∈Z，且10B＝{x∈Z|10大于10且小于20的整数有11,12,13,14,15,16,117,18,19，因此用列举法表示为
B={11,12,13,14,15,16,117,18,19 }.
解　设x∈A，则x是一个实数，且x2 - 2=0。因此，用描述法表示为
A＝{x∈R|x2 - 2=0}.
方程x2 - 2=0有两个实数根 ， ，因此用列举法表示为
A={ , }.
跟踪训练 2 用描述法表示下列集合：
(1)正偶数集；
解　偶数可用式子x＝2n，n∈Z表示，但此题要求为正偶数，故限定n∈N*，
所以正偶数集可表示为{x|x＝2n，n∈N*}.
(2)被3除余2的正整数集合。
解　设被3除余2的数为x，则x＝3n＋2，n∈Z，但元素为正整数，故n∈N，
所以被3除余2的正整数集合可表示为{x|x＝3n＋2，n∈N}.
(3)平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合．
解　坐标轴上的点(x，y)的特点是横、纵坐标中至少有一个为0，即xy＝0，故平面直角坐标系中坐标轴上的点的集合可表示为{(x，y)|xy＝0}．
跟踪训练 3 下列三个集合：
①A＝{x|y＝x2＋1}；
②B＝{y|y＝x2＋1}；
③C＝{(x，y)|y＝x2＋1}.
(1)它们是不是相同的集合？
解　不相同.
(2)它们各自的含义分别是什么？
解　集合A＝{x|y＝x2＋1}的代表元素是x，且x∈R，
所以{x|y＝x2＋1}＝R，即A＝R；
集合B＝{y|y＝x2＋1}的代表元素是y，满足条件y＝x2＋1的y的取值范围是y≥1，
所以{y|y＝x2＋1}＝{y|y≥1}.
集合C＝{(x，y)|y＝x2＋1}的代表元素是(x，y)，是满足y＝x2＋1的数对.
可以认为集合C是由坐标平面内满足y＝x2＋1的点(x，y)构成的.
题型三 集合表示法的综合应用
例3　集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}，若集合A中只有一个元素，求实数k的值组成的集合.
解　(1)当k＝0时，方程kx2－8x＋16＝0变为－8x＋16＝0，解得x＝2，满足题意；
(2)当k≠0时，要使集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}中只有一个元素，
则方程kx2－8x＋16＝0有两个相等的实数根，
所以Δ＝64－64k＝0，解得k＝1，此时集合A＝{4}，满足题意.
综上所述，k＝0或k＝1，故实数k的值组成的集合为{0,1}.
变式训练 集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}，若集合A中有两个元素，求实数k的值组成的集合.
解　由题意可知，方程kx2－8x＋16＝0有两个不等实根，
故k≠0，且Δ＝64－64k>0，即k<1，且k≠0.
所以实数k组成的集合为{k|k<1，且k≠0}.
总结：(1)若已知集合是用描述法给出的，读懂集合的代表元素及其属性是解题的关键，如例3集合A中的元素就是所给方程的根，由此便把集合的元素个数问题转化为方程的根的个数问题.
(2)在学习过程中要注意数学素养的培养，如本例中用到了等价转化思想和分类讨论的思想.
3
当堂达标
1.用列举法表示集合{x|x2－2x－3＝0}为
A.{－1,3} B.{(－1,3)}
C.{x＝1} D.{x2－2x－3＝0}
√
2.第一象限的点组成的集合可以表示为
A.{(x，y)|xy>0} B.{(x，y)|xy≥0}
C.{(x，y)|x>0且y>0} D.{(x，y)|x>0或y>0}
√
3.下列集合不等于由所有奇数构成的集合的是
A.{x|x＝4k－1，k∈Z}
B.{x|x＝2k－1，k∈Z}
C.{x|x＝2k＋1，k∈Z}
D.{x|x＝2k＋3，k∈Z}
√
4．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x＋y∈A}，则B中所含元素的个数为________．
答案　3
解析　根据x∈A，y∈A，x＋y∈A，知集合B＝{(1,1)，(1,2)，(2,1)}，有3个元素．
5、用描述法表示如图所示阴影部分(含边界)点的坐标的集合．
解：本题是用图形语言给出的问题，要求把图形语言转换为符号语言．用描述法表示(即用符号语言表示)为{(x，y)|－1≤x≤ ，－≤y≤1，且xy≥0}．
6．用适当的方法表示下列集合：
(1)大于2且小于5的有理数组成的集合；
(2)24的所有正因数组成的集合；
(3)平面直角坐标系内与坐标轴的距离相等的点组成的集合．
解　(1)用描述法表示为{x∈Q|2(2)用列举法表示为{1,2,3,4,6,8,12,24}．
(3)在平面直角坐标系内，点(x，y)到x轴的距离为|y|，到y轴的距离为|x|，
所以该集合用描述法表示为{(x，y)||y|＝|x|}．
课堂小结
1.知识清单：
(1)描述法表示集合的理解.
(2)用列举法和描述法表示集合.
(3)两种表示法的综合应用.
2.方法归纳：等价转化、分类讨论.
3.常见误区：点集与数集的区别.
作业
对应练习