1.4.1 充分条件与必要条件-2022-2023学年高一数学新教材配套课件（人教A版必修第一册）(共32张PPT)

(共32张PPT)
第一章　1.4　充分条件与必要条件
1.4.1 充分条件与必要条件
重点：理解充分条件，必要条件的意义
难点：掌握充分条件，必要条件的判断方法
学科素养：逻辑推理，数学抽象
学习目标
1
自主学习
1.命题：一般地，我们把语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句
叫做命题。
判断下列命题中，哪些是真命题？哪些是假命题？
(1)若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形是菱形。
(2)若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等。
(3) .
(4)若平面内两条直线a和b均垂直于直线l,则a平行于b。
真
假
假
真
命题真假 “若p，则q”为真命题 “若p，则q”为假命题
推出关系 p q p q
条件关系 p是q的 条件 q是p的 条件 p不是q的 条件
q不是p的 条件


充分
必要
充分
必要
2.充分条件与必要条件
②集合法判断充分条件和必要条件的技巧：
设集合A={x|x满足条件p}，B={x|x满足条件q}，则有：
（1）若 ,则p是q的充分条件，若 , 则p不是q的充分条件
（2）若 ,则p是q的必要条件，若 ,则p不是q的必要条件
思考：判断充分条件，必要条件的方法是什么？关键是什么？
方法:①定义法:分清命题的条件和结论;判断命题的真假;得出结论。
1．思考辨析
(1)已知p q，则“若p，则q”是真命题．(　　)
(2)已知p q，则q的充分条件是p，p的必要条件是q.(　　)
(3)p是q的充分条件是指“p成立可充分保证q成立”，但即使q成立，p也未必会成立．(　　)
(4)q是p的必要条件是指“要使p成立，必须要有q成立”也就是说“若q不成立，则p一定不成立”．(　　)
√
√
√
√
小试牛刀
2．“a＞0，b＞0”是“ab＞0”的________条件．(填“充分”或“必要”)
3．已知p：x＞1，q：x＞2，则p是q的(　　)
A．充分条件　　　 B．必要条件
C．既不充分也不必要条件　 D．以上答案均不正确
充分
B
2
经典例题
题型一　充分条件与必要条件的判断
例1：下列“若p则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？
（1）若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形。
这是平行四边形的判定定理， ，所以 P是q的充分条件。
（2）若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似。
这是一条相似三角形的判定定理， ，所以 P是q的充分条件。
例1：下列“若p则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？
（3）若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直。
这是一条菱形的性质定理， ，所以 P是q的充分条件。
（4）

q，所以 P不是q的充分条件
例1：下列“若p则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？
（5）若a=b，则ac=bc。
由等式的性质知， ，所以 P是q的充分条件。
（6）若x，y为无理数，则xy为无理数。

q，所以 P不是q的充分条件
p
举反例是判断一个命题是假命题的重要方法。
一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个__________条件。
充分　
思考:
例1中命题（1）若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形.
给出了“四边形是平行四边形”的一个充分条件，即“四边形的两组对角分别相等”。这样的充分条件唯一吗？
如果不唯一，那么你能再给出几个不同的充分条件吗？
例2：下列“若p则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？
（1）若四边形是平行四边形，则这个四边形的两组对角分别相等。
这是平行四边形的性质定理， ，所以 q是p的必要条件。
（2）若两个三角形相似，则这两个三角形的三边成比例。
这是三角形相似的性质定理， ，所以 q是p的必要条件。
例2：下列“若p则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？
（3）若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形为菱形。

，所以 q是p的必要条件。
如图，对角线垂直，但不是菱形，p q，所以 q不是p的必要条件。
例2：下列“若p则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？
（5）若ac=bc，则a=b
（6）若xy为无理数，则x，y为无理数

q，所以，q不是p的必要条件
p q，所以，q不是p的必要条件

一般地，数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个
__________条件。
必要　
思考:
例2（1）若四边形是平行四边形，则这个四边形的两组对角分别相等。
例2中命题（1）给出了“四边形是平行四边形”的一个必要条件，即“四边形的两组对角分别相等”。
这样的必要条件唯一吗？
如果不唯一，那么你能再给出几个不同的必要条件吗？
题型二　　充分条件、必要条件的应用
例3 ：已知p：实数x满足3a解　p：3aq：－2≤x≤3，即集合B＝{x|－2≤x≤3}.
因为p q，所以A B，
变式：将本例中条件p改为“实数x满足a0”，若p是q的必要条件，求实数a的取值范围.
解　p：aq：－2≤x≤3，即集合B＝{x|－2≤x≤3}.
因为q p，所以B A，
1.设x，y是两个实数，命题：“x，y中至少有一个数大于1”的充分条件是
A.x＋y＝2 B.x＋y>2
C.x2＋y2>2 D.xy>1
√
解析　对于选项A，当x＝1，y＝1时，满足x＋y＝2，但命题不成立；
对于选项C，D，当x＝－2，y＝－3时，满足x2＋y2>2，xy>1，但命题不成立，也不符合题意.
跟踪训练
2.指出下列命题中，p是q的什么条件？
(1)p：x2＝2x＋1，q：x＝ ；
∴p是q的必要条件.
(2)p：a2＋b2＝0，q：a＋b＝0。
解　∵a2＋b2＝0 a＝b＝0 a＋b＝0，a＋b＝0 a2＋b2＝0，
∴p是q的充分条件.
(3)p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，q：(x－1)(y－2)＝0.
解　∵(x－1)2＋(y－2)2＝0 x＝1且y＝2 (x－1)·(y－2)＝0，
而(x－1)(y－2)＝0 (x－1)2＋(y－2)2＝0，∴p是q的充分条件.
3.集合A＝{x|－1A.{b|－2≤b<0} B.{b|0C.{b|－2解析　A＝{x|－1因为“a＝1”是“A∩B≠ ”的充分条件，
所以－1≤b－1<1或－1√
4.(1)是否存在实数m，使2x＋m<0是x<－1或x>3的充分条件？
解　欲使2x＋m<0是x<－1或x>3的充分条件，
故存在实数m≥2，使2x＋m<0是x<－1或x>3的充分条件.
(2)是否存在实数m，使2x＋m<0是x<－1或x>3的必要条件？
解　欲使2x＋m<0是x<－1或x>3的必要条件，
这是不可能的.
故不存在实数m，使2x＋m<0是x<－1或x>3的必要条件.
3
当堂达标
1.(多选)使ab>0成立的充分条件是
A.a>0，b>0 B.a＋b>0
C.a<0，b<0 D.a>1，b>1
√
解析　因为a>0，b>0 ab>0；a<0，b<0 ab>0；a>1，b>1 ab>0，
所以选项ACD都是使ab>0成立的充分条件.
√
√
2.设命题p：k>5，b<5，命题q：一次函数y＝(k－4)x＋b－5的图象交y轴于负半轴，交x轴于正半轴，则p是q的______条件；q是p的______条件.(用“充分”“必要”填空)
解析　当k>5，b<5时，函数y＝(k－4)x＋b－5的图象如图所示，
充分　 必要
此时一次函数y＝(k－4)x＋b－5的图象交y轴于负半轴，交x轴于正半轴，
∴p是q的充分条件，q是p的必要条件.
3.已知p：x<－2或x>10，q：x<1＋a或x>1－a.若p是q的必要条件，则实数a的取值范围为____________.
解析　∵q：x<1＋a或x>1－a，∴a≤0.
∵p是q的必要条件，∴q p，
{a|a≤－9}
4.设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，那么
A.丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件
B.丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件
C.丙既是甲的充分条件，又是甲的必要条件
D.丙既不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件
√
解析　因为甲是乙的必要条件，所以乙 甲.
又因为丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，所以丙 乙，但乙 丙，
如图.
综上，有丙 甲，但甲 丙，
即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件.
课堂作业
作业：完成对应练习