1.4.2 充要条件-2022-2023学年高一数学新教材配套课件（人教A版必修第一册）(共30张PPT)

(共30张PPT)
第一章　§1.4　充分条件与必要条件
1.4.2　充要条件
1.理解充要条件的意义.（重点）
2.会判断一些简单的充要条件问题.（重点）
3.能对充要条件进行证明.（难点）
学习目标
1
自主学习
1.如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有 _ ，又有 ，就记作 ，此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为 条件.
2.如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件.概括地说，如果p q，那么p与q互为 条件.
p q
q p
p q
充要
充要
思考1　若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题.这种说法对吗？
答案　正确.若p是q的充要条件，则p q，即p等价于q，故此说法正确.
思考2　“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里？
答案　(1)p是q的充要条件说明p是条件，q是结论.
(2)p的充要条件是q说明q是条件，p是结论.
1.“x>1”是“x＋2>3”的_______条件.
解析　当x>1时，x＋2>3；
当x＋2>3时，x>1，所以“x>1”是“x＋2>3”的充要条件.
充要
小试牛刀
2.“(2x－1)x＝0”是“x＝0”的____________条件.
解析　设命题p：(2x－1)x＝0，命题q：x＝0，则命题p：x＝0或x＝ ，
故p是q的必要不充分条件.
必要不充分
3.△ABC是锐角三角形是∠ABC为锐角的____________条件.
充分不必要
4.若p是q的充要条件，q是r的充要条件，则p是r的_______条件.
解析　因为p q，q r，所以p r，
所以p是r的充要条件.
充要
2
经典例题
例1　下列各组命题中，哪些p是充要条件？
题型一 充要条件的判断
（1）p：四边形是正方形，q：四边形的对角线互相垂直且平分；
（2）p：两个三角形相似，q：两个三角形三边成比例；
（3）p：xy>0，q：x>0，y>0；
（4）p：x=1是一元二次方程ax +bx+c=0的一个根，q：a+b+c=0(a≠0).
解（1）因为对角线互相垂直且平分的四边形不一定是正方形，所以p q，所以p不是q的充要条件。
（2）因为“若p，则q”是三角形的性质定理，“若q，则p”是相似三角形的判定定理，它们均为真命题，既p q，所以p是q的充要条件。
（3）因为x>0时，x>0,y>0不一定成立（为什么），所以p q,所以p不是q的充要条件。
（4）因为“若p，则q”与“若q，则p”均为真命题，p q，所以p是q的充要条件。
总结：判断充分条件、必要条件及充要条件的三种方法
(1)定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假.
(2)集合法：即利用集合的包含关系判断.
(3)传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1 p2 … pn，可得p1 pn；充要条件也有传递性.
跟踪训练1 指出下列各组命题中，p是q的什么条件(“充分不必要条件” “必要不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”).
(1)p：x2>0，q：x>0；
解　p：x2>0，则x>0或x<0，q：x>0，
故p是q的必要不充分条件.
(2)p：a能被6整除，q：a能被3整除；
解　p：a能被6整除，故也能被3和2整除，q：a能被3整除，
故p是q的充分不必要条件.
(3)p：两个角不都是直角，q：两个角不相等；
解　p：两个角不都是直角，这两个角可以相等，
q：两个角不相等，则这两个角一定不都是直角，
故p是q的必要不充分条件.
(4)p：A∩B＝A，q： UB UA.
解　∵A∩B＝A A B UB UA，
∴p是q的充要条件.
例2　已知： O 的半径为r ，圆心O到是直线l的距离为d，求证：d=r是直线l与 O 相切的充要条件.
题型二 充要条件的证明
证明：设p:d=r，q:直线l与 O相切.
（1）充分性(p q):如图，作OP⊥l于点P，则OP=d.
若d=r，则点P在 O上.在直线l上任取一点Q(异于点P)，
连接OQ.在Rt△OPQ中，OQ＞OP=r.所以，除点P外直线
l上的点都在 O 的外部，即直线l与 O 仅有一个公共
点P.所以直线l与 O 相切.
（2）必要性(q p):若直线l与 O相切，不妨设切点为P，则OP⊥l.因此，d=OP=r.
由(1)(2)可得，d=r是直线l与 O 相切的充要条件.
总结：充要条件证明的两个思路
(1)直接法：证明p是q的充要条件，首先要明确p是条件，q是结论；其次推证p q是证明充分性，推证q p是证明必要性.
(2)集合思想：记p：A＝{x|p(x)}，q：B＝{x|q(x)}，若A＝B，则p与q互为充要条件.
跟踪训练2 求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.
证明　必要性：由于方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根，
所以方程ax2＋bx＋c＝0有两个相异实根，且两根异号，即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根.
综上可知，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.
题型三 充要条件的应用
例3　已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围.
解：∵p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)，
记
由p是q的必要不充分条件可得
解得：m≤3，又m＞0
所以实数m的取值范围为
变式训练 本例中p，q不变，是否存在实数m使p是q的充要条件？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.
解　因为p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0).
故不存在实数m，使得p是q的充要条件.
总结：应用充分不必要、必要不充分及充要条件求参数值(范围)的一般步骤
(1)根据已知将充分不必要条件、必要不充分条件或充要条件转化为集合间的关系.
(2)根据集合间的关系构建关于参数的方程(组)或不等式(组)求解.
跟踪训练3 设p：x＞1，q：x＞a，若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围.
解　设A＝{x|x>1}， B＝{x|x>a}.
因为p是q的充分不必要条件，
所以A B，∴a＜1.
3
当堂达标
1.“1A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
√
解析　设A＝{x|1故“12.“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的
A.充要条件 B.充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件
√
解析　若x＝1，则x2－2x＋1＝0；
若x2－2x＋1＝0，即(x－1)2＝0，则x＝1.故为充要条件.
3.设x∈R，则“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
√
解析　由2－x≥0，得x≤2，由|x－1|≤1，得0≤x≤2.
当x≤2时不一定有0≤x≤2，
而当0≤x≤2时一定有x≤2，
∴“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的必要不充分条件.
4.设a，b是实数，则“a＋b>0”是“ab>0”的________________条件.
解析　若a＋b>0，取a＝3，b＝－2，则ab>0不成立；
反之，若ab>0，取a＝－2，b＝－3，则a＋b>0也不成立，
因此“a＋b>0”是“ab>0”的既不充分又不必要条件.
既不充分又不必要
5.求证：一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点的充要条件是b＝0.
证明　①充分性：如果b＝0，那么y＝kx，
当x＝0时，y＝0，函数图象过原点.
②必要性：因为y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点，
所以当x＝0时，y＝0，得0＝k·0＋b，所以b＝0.
综上，一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点的充要条件是b＝0.
由p是q的充分不必要条件，可知A B，
1.知识清单：
(1)充要条件概念的理解.
(2)充要条件的证明.
(3)充要条件的应用.
2.方法归纳：等价转化.
3.常见误区：条件和结论辨别不清.
课堂小结
课堂作业
作业：完成对应练习