1.5.1 全称量词与存在量词-2020-2021学年高一数学新教材配套课件（人教A版必修第一册）(共28张PPT)

(共28张PPT)
人教A版 必修第一册
1.5 全称量词与存在量词
1.5.1 全称量词与存在量词
1.理解全称量词、全称量词命题的定义.
2.理解存在量词、存在量词命题的定义.
3.会判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并会判断它们的真假．
学习目标
1
自主学习
全称量词
命题是可以判断真假的陈述句。
(1)x>3
(2)2x+1是整数
(3)对所有的x R,x>3
(4)对任意一个x Z,2x+1是整数
是
是
不是
不是
(3)在(1)的基础上,用量词“所有的”对变量 x进
行限定;
关系:
(3)(4)
全称量词命题
(4)在(2)的基础上,用短语”对任意一个”对 变量x进行限定.
自主探究一
下列语句是命题吗 (1)与(3),(2)与(4)之间有什么关系
知识点一 全称量词与全称量词命题
1．全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做____________，并用符号“______”表示．
2．全称量词命题：含有____________的命题，叫做全称量词命题．
3．全称量词命题的表述形式：全称量词命题
“对M中任意一个x，p(x)成立”，可用符号简记为__________________.

全称量词
x∈M，p(x)
全称量词
关系:
存在量词
下列语句是命题吗 (1)与(3),(2)与(4)之间有什么关系
(1)2x+1=3
(2)x能被2和3整除;
(3)存在一个x∈R,使2x+1=3;
(4)至少有一个x∈Z,x能被2和3整除.
(3)在(1)的基础上,用短语“存在一个”对变量x的取值进行限定,使(3)变成了可以判断真假的语句;
不是
不是
是
是
(4)在(2)的基础上,用“至少有一个”对变量x的取值进行限定,从而使(4)变成了可以判断真假的语句.
(3)(4)
存在量词命题
自主探究二
知识点二 存在量词与存在量词命题
1．存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做____________，并用符号“______”表示．
2．存在量词命题：含有存在量词的命题，叫做________________.
3．存在量词命题的表述形式：存在量词命题“存在M中的元素x，使p(x)成立”，可用符号简记为__________________.
存在量词

存在量词命题
x∈M，p(x)
(1)实数都能写成小数形式;
1.用量词“ ”表达下列命题:
（2）任一个实数乘以-1都等于它的相反数。
x R,x能写成小数形式
x R,x·(-1)= -x
小试牛刀
2.设q(x):x2=x,使用不同的表达方法写出存在量词命题 “ x∈R,q(x)”。
解:
存在实数x,使x2=x成立
至少有一个x∈R,使x2=x成立
对有些实数x,使x2=x成立
有一个x∈R,使x2=x成立
对某个x∈R,使x2=x成立
2
经典例题
例1.判断下列全称量词命题的真假.
(1) 所有的素数都是奇数;
(2) x R, |x|+1≥1
(3) 对每一个无理数x,x2也是无理数
解:
(1)∵2是素数,但不是奇数.
∴全称量词命题(1)是假命题
(2)∵ x R,|x|≥0,从而|x|+1≥1
∴全称量词命题(2)是真命题
(3)∵ 是无理数,但 是有理数
∴全称量词命题(3)是假命题
题型一 全称量词命题的判断
思考：如何判断全称量词命题的真假？
方法:
若判定一个全称量词命题是真命题,必须对限定集合M中的每个元素x验证P(x)成立;
若判定一个全称量词命题是假命题,只要能举出集合M中的一个x=x0 ,使得P(x)不成立即可。
例2 判断下列存在量词命题的真假
(1)有一个实数x,使x2+2x+3=0;
(2)平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线;
(3)有些平行四边形是菱形.
解:
(2)由于平面内垂直于同一条直线的两条直线是互相平行的,因此不存在两个相交的直线垂直于同一条直线.
所以,存在量词命题(1)是假命题.
所以,存在量词命题(2)是假命题.
(1)由于 ,
因此使x2+2x+3=0的实数x不存在.
（3）由于正方形既是平行四边形又是菱形，所以存在量词命题“有些平行四边形是菱形”是真命题。
题型二 存在量词命题的判断
要判断存在量词命题“ x∈M,p(x)”是真命题，只需在集合M中找到一个元素x0，使p(x0)成立即可.
思考：如何判断存在量词命题的真假？
方法:
如果在集合M中,使p(x)成立的元素x不存在,那么这个存在量词命题是假命题.
跟踪训练1 下列命题中为全称量词命题的是(　　)
A.有些实数没有倒数
B.矩形都有外接圆
C.过直线外一点有一条直线和已知直线平行
D. x∈R，x2+x≤2
B【解析】选A、C、D是存在量词命题，B可改写为“所有矩形都有外接圆”，是全称量词命题.
跟踪训练2 将下列命题用“ ”或“ ”表示．
(1)实数的平方是非负数；
(2)方程ax2＋2x＋1＝0(a<0)至少存在一个负根。
(1) x∈R，x2≥0.
(2) x0<0，ax0 ＋2x0＋1＝0(a<0)．
跟踪训练3 判断下列量词命题的真假．
(1)末位是零的整数，可以被5整除．
(2) x∈R，有|x＋1|>1.
(3) x∈R，满足3x2＋2>0.
(4)有些整数只有两个正因数．
(1)因为每一个末位是零的整数，都能被5整除，所以全称量词命题“末位是零的整数，可以被5整除”是真命题．
(2)当x＝0时，不满足|x＋1|>1，所以“ x∈R，有|x＋1|>1”为假命题．
(3) x∈R，有3x2＋2>0，因此存在量词命题“ x∈R,3x2＋2>0”是假命题．
(4)由于存在整数3只有正因数1和3.所以存在量词命题“有些整数只有两个正因数”为真命题．
题型三 全称量词命题、存在量词命题的应用
例3 已知命题“ 1≤x≤2，x2－m≥0”为真命题，求实数m的取
值范围．
[解]　∵“ 1≤x≤2，x2－m≥0”成立，
∴x2－m≥0对1≤x≤2恒成立．
又y＝x2在1≤x≤2上y随x增大而增大，
∴y＝x2－m的最小值为1－m.
∴1－m≥0.解得m≤1.
∴实数m的取值范围是{m|m≤1}．
变式训练 已知命题“ 1≤x≤2，x2－m≥0”为真命题，求实数
m的取值范围．
[解] ∵“ 1≤x≤2，x2－m≥0”成立，
∴x2－m≥0在1≤x≤2有解．
又函数y＝x2在1≤x≤2上单调递增，
∴函数y＝x2在1≤x≤2上的最大值为22＝4.
∴4－m≥0，即m≤4.
∴实数m的取值范围是{m|m≤4}．
跟踪训练4 命题：3mx2＋mx＋1>0恒成立是真命题，求实数m的取值范围．
解　“3mx2＋mx＋1>0恒成立”是真命题，需对m进行分类讨论．
当m＝0时，1>0恒成立，所以m＝0满足题意；
当m>0，且Δ＝m2－12m<0，
即00恒成立，
所以0综上所述，实数m的取值范围是0≤m<12.
3
当堂达标
1．给出下列四个命题：
①y＝x(1) xy＝1；②矩形都不是梯形；③ x，y∈R，x2＋y2≤1；④等腰三角形的底边的高线、中线重合．
其中全称量词命题是________．
[解析]　①②④是全称量词命题，③是存在量词命题．
①②④
2．四个命题：① x∈R，x2－3x＋2>0恒成立；② x∈Q，x2＝2；③ x∈R，x2＋1＝0；④ x∈R,4x2>2x－1＋3x2.其中真命题的个数为________．
[解析] ①当x＝1时，x2－3x＋2＝0，故①为假命题；
②因为x＝±时，x2＝2，而±为无理数，故②为假命题；
③因为x2＋1>0(x∈R)恒成立，故③为假命题；
④原不等式可化为x2－2x＋1>0，即(x－1)2>0，当x＝1时(x－1)2＝0，故④为假命题．
0
3．命题“有些负数满足不等式(1＋x)(1－9x)>0”用“ ”或“ ”可表述为_ ____ ___ _____．
　 x0<0，(1＋x0)(1－9x0)>0
4. “任意一个不大于0的数的立方不大于0”用“ ”或“ ”符号表示为________ ________．
x≤0，x3≤0
5．若对于任意x∈R，都有ax2＋2x＋a<0，求实数a的取值范围．
[解析]　依题意，得Δ＝4－4a <0且a<0
即a<－1或a>1且a<0
∴a<－1，
∴{a|a<－1}。
2.判断全称、存在量词命题真假的方法:
（1）若全称量词命题为真，则给定集合中每一个元素x使p(x)为真，若为假命题，则只需举一反例即可.
1.易错提醒
（1）注意全称量词命题和存在量词命题的自然语言与符号语言的转化.
（2）注意省略量词的命题的真假判断.
（3）对于“至多”“至少”型的命题，多采用逆向思维的方法处理.
（2）若存在量词命题为真，则给定集合中只要有一个元素x使p(x)为真即可，否则为假命题.
课堂小结
课堂作业
作业：完成对应练习