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2.2.1 基本不等式的证明 第1课时
第二章 一元二次函数、方程和不等式
1.理解并掌握基本不等式;(重点)
2.能够运用基本不等式证明不等式和比较代数式的大小;(难点)
3.能够运用基本不等式求代数式的最值(重点、难点).
学习目标
1
自主学习
知识点 基本不等式
2ab
a=b
知识点 基本不等式
(1)定义
____________叫做正实数a、b的算术平均值,
____________叫做正实数a、b的几何平均值.
(2)结论
两个正实数的算术平均值__________它们的几何平均值.
(3)应用基本不等式求最值如果x、y都是正数,那么
①若积xy是定值,那么当________时,和x+y有_____值.
②若和 x+y是定值,那么当________时,积xy有______值.
最小
x=y
等于
x=y
x=y
最小
最大
思考:
(1)基本不等式成立的前提条件是什么?
(2)基本不等式等号成立的条件是什么?
×
×
B
×
小试牛刀
2
经典例题
例1
解 因为x>0,所以
题型一 基本不等式求代数式的最值
例2
例2
总结:基本不等式求解最值的三要素:
一正:
a和b必须为正数;
二定:
1.在a+b为定值时,便可以知道a·b的最大值;
2.在a·b为定值时,便可以知道a+b的最小值.
三相等:
当且仅当a、b相等时,等式成立;即
① a=b a+b=2√ab;
② a≠b a+b>2√ab .(即两者互为充要条件)
题型二 运用基本不等式证明不等式
例3,已知a、b、c为两两不相等的实数,
求证:a2+b2+c2>ab+bc+ca.
[解析]
∵a2+b2>2ab,b2+c2>2bc,c2+a2>2ca,
以上三式相加:
2(a2+b2+c2)>2ab+2bc+2ca,
∴a2+b2+c2>ab+bc+ca.
[点评] 本题中的表达式具有轮换对称关系,将表达式中字母轮换a→b→c→a后表达式不变,这类问题证明一般变为几个表达式(通常几个字母就需几个表达式)迭加(乘),从而获解.
变式练习:
已知a、b、c为正数,求证
题型三 变换技巧——“1”的代换
总结:变换技巧——“1”的代换:
3
当堂达标
[答案] -2
[答案] B
[答案] C
课堂作业
作业:完成对应练习