(共29张PPT)
2.3 第1课时 二次函数与一元二次方程、不等式
1、了解一元二次不等式的概念;
2、掌握一元二次不等式的解法;
3、理解三个二次的关系,能够利用这种关系解题;
4、掌握与一元二次不等式有关的恒成立问题的解法.
学习目标
1
自主学习
在初中,我们从一次函数的角度看一元一次方程、一元一次不等式,发现了三者之间的内在联系,利用这种联系可以更好的解决相关问题。对于二次函数、一元二次方程和一元二次不等式,是否也有这样的联系呢?
?
知识点一 一元二次不等式的概念
(1)只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式,称为 不等式.
(2)能使不等式成立的未知数x的一个值称为不等式的一个解.
(3)不等式所有解的 称为解集.
一元二次
集合
知识点二 一元二次不等式的解法
解一元二次不等式的步骤:
(1)化为基本形式ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0(其中a>0);
(2)计算Δ=b2-4ac,以确定一元二次方程ax2+bx+c=0是否有解;
(3)有根求根;
(4)根据图象写出不等式的解集.
知识点三 “三个二次”的关系
一元二次不等式与相应的一元二次方程、二次函数的联系,如下表.
1.x2>1的一个解是x=-2,解集是(-∞,-1)∪(1,+∞).( )
2.方程x2-1=0相当于函数y=x2-1中y=0.( )
3.如果关于x的方程ax2+bx+c=0无解,则不等式ax2+bx+c>0也无解.( )
4.x2-1>0与1-x2<0的解集相等.( )
√
√
×
√
小试牛刀
2
经典例题
题型一 一元二次不等式的解法
总结:用框图表示一元二次不等式的求解过程
跟踪训练1 (1)求不等式2x2-3x-2≥0的解集.
(2)求不等式-3x2+6x>2的解集.
解 不等式可化为3x2-6x+2<0,
∵Δ=(-6)2-4×3×2=12>0,
∴不等式-3x2+6x>2的解集是
题型二 含参数的一元二次不等式的解集
例4 已知关于x的不等式x2+ax+b<0的解集为{x|10的解集.
∴不等式bx2+ax+1>0,
即2x2-3x+1>0.
总结: 给出一元二次不等式的解集,相当于知道了相应二次函数的开口方向及与x轴的交点,可以利用代入根或根与系数的关系求待定系数.
跟踪训练 2 已知不等式ax2-bx+2<0的解集为{x|1解 方法一 由题设条件知a>0,且1,2是方程ax2-bx+2=0的两实根.
方法二 把x=1,2分别代入方程ax2-bx+2=0中,
题型三 不等式恒成立问题
例5 设函数f(x)=mx2-mx-1.若对于一切实数x,f(x)<0恒成立,求实数m的取值范围。
解 要使mx2-mx-1<0恒成立,
若m=0,显然-1<0,满足题意;
跟踪训练 3 若不等式x2+x+k<0在区间[-1,1]上恒成立,则实数k的取值范围是 .
(-∞,-2)
解析 x2+x+k<0,即k<-(x2+x)在区间[-1,1]上恒成立,
即k<[-(x2+x)]min.
当x=1时,[-(x2+x)]min=-2.∴k<-2.
3
当堂达标
1.不等式2x2-x-1>0的解集是
√
解析 ∵2x2-x-1=(2x+1)(x-1),
∴由2x2-x-1>0,得(2x+1)(x-1)>0,
解得x>1或x<- ,
2.若不等式x2+mx+1≥0的解集为R,则实数m的取值范围是
A.m≥2 B.m≤-2
C.m≤-2或m≥2 D.-2≤m≤2
√
解析 由题意,得Δ=m2-4≤0,
∴-2≤m≤2.
3.不等式(x-2)2<-2x+11的解集为 .
解析 不等式(x-2)2<-2x+11可化为(x-1)2<8,
4.若不等式ax2+8ax+21<0的解集是{x|-73
解析 由题意可知-7和-1为方程ax2+8ax+21=0的两个根.
∴-7×(-1)= ,故a=3.
1.解一元二次不等式的常见方法
(1)图象法:由一元二次方程、一元二次不等式及二次函数的关系,可以得到解一元二次不等式的一般步骤:
①化不等式为标准形式:ax2+bx+c>0(a>0)或ax2+bx+c<0(a>0);
②求方程ax2+bx+c=0(a>0)的根,并画出对应函数y=ax2+bx+c图象的简图;
③由图象得出不等式的解集.
(2)代数法:将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解.
当m0,则可得{x|x>n或x若(x-m)(x-n)<0,则可得{x|m有口诀如下:大于取两边,小于取中间.
2.实际问题要注意变量的实际含义对变量范围的影响,如长度应该大于0,人数应该为自然数等.
3.由一元二次不等式的解集可以逆推二次函数的开口及与x轴的交点坐标.
课堂小结
课堂作业
作业:完成对应练习