江西省九江市彭泽县2022-2023学年高二下学期期末考试数学试题（Word版含答案）

彭泽县2022-2023学年高二下学期期末考试
数学试卷
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单选题（每题5分，共40分）
1．已知集合，集合，则（ ）
A． B．
C． D．
2．“”是“方程无实数解”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．下列导数运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知等差数列的前项和为，，则（ ）
A．25 B．40 C．45 D．80
5．已知定义在上的函数的图象如图，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
6．现有两种卡片和若干（两种卡片大小形状完全一致，只有上面的字母不同），安排部分同学每人随机抽取两张卡片，则抽出的三种情况，，的近似比为∶2∶1，如果任选两名抽取了卡片的同学，并从这两名同学手中各抽取1张卡片，那么抽到的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．某病毒研究所为了更好地研究“新冠”病毒，计划改建十个实验室，每个实验室的改建费用分为装修费和设备费，每个实验室的装修费都一样，设备费从第一到第十实验室依次构成等比数列，已知第五实验室比第二实验室的改建费用高28万元，第七实验室比第四实验室的改建费用高112万元，并要求每个实验室改建费用不能超过1100万元.则该研究所改建这十个实验室投入的总费用最多需要（ ）
A．2806万元 B．2906万元 C．3106万元 D．3206万元
8．已知，，，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，函数的图象和函数的图象有两个公共点
B．当时，函数的图象和函数的图象只有一个公共点
C．当或时，函数的图象和函数的图象没有公共点
D．当时，函数的图象和函数的图象只有一个公共点
二、多选题（每题5分，共20分）
9．判断下列命题正确的是（ ）
A．函数的极小值一定比极大值小．
B．对于可导函数，若，则为函数的一个极值点．
C．函数在内单调，则函数在内一定没有极值．
D．三次函数在R上可能不存在极值．
10．已知向量，，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．的最小值为2 D．的最大值为4
11．已知抛物线的焦点为，其准线与轴相交于点，经过点且斜率为的直线与抛物线相交于点，两点，则下列结论中正确的是（ ）
A．
B．
C．的取值范围是
D．时，以为直径的圆经过点
12．已知函数，则（ ）
A．有极大值
B．在上单调递增
C．的图象关于点中心对称
D．对，，都有
三、填空题（共20分）
13．已知数列为等比数列，其前项和为，且，公比为，则______.
14．展开式中的系数为___________．
15．已知，，若，，且平面，则_________．
16．已知函数，若恒成立，则实数的取值范围为______．
四、解答题（共70分）
17．（10分）已知函数，曲线在点处的切线平行于直线.
(1)求的值；
(2)求函数的极值.
18．（12分）为研究某市居民的身体素质与户外体育锻炼时间的关系，对该市某社区100名居民平均每天的户外体育锻炼时间进行了调查，统计数据如下表：
平均每天户外体育锻炼的时间（分钟）
总人数 10 18 22 25 20 5
规定：将平均每天户外体育锻炼时间在分钟内的居民评价为“户外体育锻炼不达标”，在分钟内的居民评价为“户外体育锻炼达标”．
(1)请根据上述表格中的统计数据填写下面列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为性别与户外体育锻炼是否达标有关联？
户外体育锻炼不达标 户外体育缎练达标 合计
男
女 10 55
合计
(2)从上述“户外体育锻炼不达标”的居民中，按性别用分层抽样的方法抽取5名居民，再从这5名居民中随机抽取3人了解他们户外体育锻炼时间偏少的原因，记所抽取的3人中男性居民的人数为随机变量X，求X的分布列和数学期望；
(3)将上述调查所得到的频率视为概率来估计全市的情况，现在从该市所有居民中随机抽取3人，求其中恰好有2人“户外体育锻炼达标”的概率.
参考公式：，其中．
参考数据：（独立性检验中常用的小概率值和相应的临界值）
0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
19．（12分）如图所示，在直四棱柱中，，，，，.
(1)证明：；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
20．（12分）记数列的前n项和为，已知，.
(1)求的通项公式；
(2)若对任意，，求m的最小整数值.
21．（12分）已知点在圆上运动，过点作轴的垂线段为垂足，为线段的中点（当点经过圆与轴的交点时，规定点与点重合）．
(1)求点的轨迹方程；
(2)经过点作直线，与圆相交于两点，与点的轨迹相交于两点，若，求直线的方程．
22．（12分）已知函数，其中为常数.
(1)若，求函数在其定义域内的单调区间；
(2)证明：对任意，都有：；
(3)证明：对任意，都有：.
1．A
，
故选：A.
2．A
方程无实数解,则需满足，解得，
，由于，所以“”是“方程无实数解”的充分不必要条件，
故选：A
3．B
对于A, ,故A错误，
对于B，，故B正确，
对于C，，故C错误，
对于D, ,故D错误，
故选：B
4．B
因为，所以，解得，
所以.
故选：B
5．D
当时，单调递增，则，
此时，所以，满足题意；
当时，单调递减，则，
此时，所以，满足题意；
当时，单调递增，则，
此时，所以，不满足题意；
当时，易得，不满足题意；
当时，易得，则，不满足题意；
综上：或，即不等式的解集为.
故选：D.
6．B
根据，，的近似比为∶2∶1，可知抽取卡片的同学手里抽到，，的近似比为∶2∶1，
记两名同学抽到，，分别为事件和，且,
从两名同学手中各抽取1张卡片，抽到和分别为事件和,
当第一名同学手里的卡片为，第二名同学手里的卡片为时，此时
抽到的概率为,
当第一名同学手里的卡片为，第二名同学手里的卡片为时，此时抽到的概率为,
当第一名同学手里的卡片为，第二名同学手里的卡片为时，此时
抽到的概率为,
当第一名同学手里的卡片为，第二名同学手里的卡片为时，此时
抽到的概率为,
所以抽到的概率为,
故选：B
7．A
设每个实验室的装修费用为x万元，设备费为万元，则，且，解得，故.依题意，，即，所以，总费用为：.
故选：A.
8．A
令，因此函数零点个数即为函数和的图象公共点个数，
求导得，当时，由，得，由，得，
则函数在上单调递增，在上单调递减，当时，，
由求导得：，当时，，函数递减，，
因此当时，，而当，时，函数递减，取值集合是，
则当，时，函数取值集合为，
当，时，，二次函数图象开口向下，
当时，（表示数中最小的），
函数在上的取值集合为，
于是当，时，函数取值集合为，
从而当时，函数的值域为，
由，得，函数有两个零点，A正确；
而，即，显然当或时，函数有两个零点，CD错误；
当时，，函数无零点，B错误.
故选：A
9．CD
对于A选项，根据极值定义，函数的极小值不一定比极大值小，则A选项错误；
对于B选项，若或恒成立，则无极值点，此时导函数的零点为函数拐点，则B选项错误；
对于C选项，在内单调，因为区间为开区间，所以取不到极值，则C选项正确；
对于D选项，三次函数求导以后为二次函数，若或恒成立，则无极值点，故D选项正确；
故选：CD.
10．ABC
对于A，若，且，，
则存在唯一实数使得，即，
则，解得，故A正确；
对于B，若，则，
即，解得，故B正确；
，
故当时，取得最小值，无最大值，故C正确，D错误.
故选：ABC.
11．AD
由题意可得：抛物线的焦点为，准线，则，
设直线的方程为，，，
联立方程得，消去得，
可得，解得且，故Ｃ错误；
则，故A正确；
可得，
易知同号，所以，故B错误；
因为，，
所以
，
当时，，此时为直角，即以为直径的圆经过点，故D正确.
故选：AD.

12．ACD
的定义域为，求导得，
当和时，单调递减，当和时，单调递减，故当时，函数取极大值，故A正确，B错误；
，故的图象关于点中心对称，C正确；
，
由于，，，，，，
，
故，故D正确，
故选：ACD
13．
由题意可知，数列是首项为，公比为的等比数列，
且其项和为，则.
故答案为：.
14．
二项式的展开式为，
所以展开式中的系数为.
故答案为：
15．
因为，所以，所以，所以，
又因为平面，平面，所以，，
所以，解得，因此．
故答案为：
16．
由已知不等式，可化为，
两边同时除以得．
令，则，
当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
所以当时，函数取最小值，最小值为，
当时，，当时，，
所以的范围是，即．
所以不等式可化为，其中，
所以在上恒成立，
构造函数，，
则，令，可得，
当时，，函数在上单调递增，
当时，，函数在上单调递减，
所以时，取最大值，最大值为，
所以，
所以的取值范围为.
故答案为：.
17．(1)
(2)函数的极大值为，极小值为
（1）由可得，
因为曲线在点处的切线平行于直线，即，
所以，解得；
（2）由（1）知，，
令，解得或，
令，解得，
故的单调递增区间是和，单调递减区间是，
由极值的定义知极大值为，
极小值为.
18．(1)列联表见解析，认为性别与户外体育锻炼是否达标无关联；
(2)分布列见解析，;
(3).
（1）
户外体育锻炼不达标 户外体育锻炼达标 合计
男 30 15 45
女 45 10 55
合计 75 25 100
零假设为:性别与户外体育锻炼是否达标无关联.
根据列联表中的数据，经计算得到,
根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立,
因此可以认为成立，即认为性别与户外体育锻炼是否达标无关联.
（2）易知，所抽取的5名居民中男性为名，女性为名.
的所有可能取值为0,1,2,
，，，
所以的分布列为
0 1 2
所以.
（3）设所抽取的3名居民中 “户外体育锻炼达标”的人数为，
列联表中居民“户外体育锻炼达标”的频率为，
将频率视为概率则，
所以，
所以从该市所有居民中随机抽取3人,其中恰有2人“户外体育锻炼达标”的概率为.
19．(1)证明见解析
(2)
（1）因为在直四棱柱中，面，
又面，所以，
又因为，所以，即两两垂直，
故以方向分别为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，如图，
则，
，
，.
（2）因为，，
设平面的法向量为，则由得，
令，则，故，
设直线与平面所成角为，
因为，所以，
故直线与平面所成角的正弦值为.
20．(1)
(2)2
（1）因为，所以，
两式相减得，即，
又，所以，
所以是首项为3，公差为2的等差数列，
所以.
（2）因为，设，
所以，，
两式相减得：
，
所以，
因为，所以m的最小整数值是2.
21．(1)点的轨迹是椭圆，方程为
(2)或
（1）点，点，则点，由点是的中点，得，，
因为在圆上，所以，
可得，即，所以点的轨迹是椭圆。
（2）若直线的斜率不存在，则，
将代入中，解得，则，
将代入中，解得，则，
而，舍去；
若直线的斜率存在，设为，则，
由点到直线的距离公式得圆心到直线的距离，
则，
联立得，
设，，则，，
，
由，
得，解之得．
综上所述，直线的方程为或．
22．(1)单调递增区间为；单调递减区间为
(2)证明见解析
(3)证明见解析
（1）若，则，
此时的定义域为，
令得或（舍去），
故当时，，此时单调递增；
当时，，此时单调递减；
故的单调递增区间为；单调递减区间为.
（2）当时，，
此时的定义域为，，
所以当时，始终单调递增，
故当时，，即，即，
令，得，即，
所以对于任意的，都有成立.
（3）由（2）可知，对于任意的均成立，
所以，
则，
接下来只需要证，
令，其中，
则恒小于0，
所以当时，单调递减，则，
于是，当时，恒成立，即恒成立.
所以.