1.3 空间向量及其运算的坐标表示 课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册(共26张PPT)
文档属性
| 名称 | 1.3 空间向量及其运算的坐标表示 课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册(共26张PPT) |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 1.8MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-07-15 16:16:26 | ||
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文档简介
(共26张PPT)
1.3
空间向量及其运算的坐标表示
人教A版（2019）选择性必修第一册
学习目标
1.掌握建立空间直角坐标系的方法。
2.掌握空间向量的坐标表示方法及其运算。
3.初步感受并学会运用空间向量建系和坐标运算来解决几何中平行、垂直、距离等问题。
4.核心素养：数学抽象、直观想象、数学运算
一、复习导入
你类比平面直角坐标系，你能想到空间直角坐标系包括呢些要素吗？这些要素应满足什么条件？
坐标系三要素 平面直角坐标系 空间直角坐标系
三条互相垂直的坐标轴
单位长度
坐标原点O
坐标原点O
互相垂直的两条坐标轴x轴和y轴
单位长度
坐标轴
单位长度
原点
二、新课讲授
1、空间直角坐标系
平面直角坐标系 平面直角坐标系
在平面内选定一点O和一个单位正交基底{i，j}
以O为原点，分别以i，j的方向为正方向，以它们的长为单位长，度建立两条数轴;x轴 、y轴
以O为原点，分别以i，j，k的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴;x轴 、y轴、z轴
它们是两两互相垂直的单位向量
问题1：你能否类比平面直角坐标系的定义，给出空间直角坐标轴的定义呢？
O
x
y
叫做i，j，k
在空间选定一点O和三个基向量，
空间直角坐标系
在空间选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}.以点O为原点，分别以i，j，k的方向为正方向、以它们的长度单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴.这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz，O叫做原点， i，j，k都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy平面、yOz平面、zOx平面，它们把空间分成八个部分.
z
y
x
O
j
i
k
斜二测画法
在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系.
今后，我们建立的直角坐标系大多为右手直角坐标系。
问题2：在空间直角坐标系中如何定义的坐标呢？
平面直角坐标系 空间直角坐标系
取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j为基底，由平面向量基本定理，有且只有一对实数x，y，使a=xi+yj.我们把有序数对（x，y）叫做a的坐标，记作a=（x，y）
取与x轴、y轴、z轴方向相同的单位向量i，j，k为基底，由空间向量基本定理，存在唯一有序数组（x，y，z），使得=（x，y，z）
定义：在单位正交基{i，j，k}下与向量对应的有序数组(x,y,z)，叫做点A在空间直角坐标系中的坐标，记作（x，y，z），其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标， z叫做点A的竖坐标。
问题3：对于给的的向量a又该如何定义它的坐标呢？
a=xi+yj+zk
a=（x，y，z）
注:(x,y,z)既可以表示向量，也可表示点
例1 如图，在长方体OABC－D’ A‘B’C‘中，OA=3,OC=4,OD’=2，以为单位正交基底，建立如图的空间直角坐标系Oxyz.
（1）写出D’,C,A’,B’四点的坐标；
（2）写出向量, , , 坐标.
小结:如何求空间点或向量的坐标呢
空间点或向量的坐标
将点或向量用单位正交基底{i，j，k}来表示，它们的系数就是点或向量的坐标
确定点对应的向量在各个轴上的投影向量，根据投影向量的坐标得到点或向量的坐标
几何直观
空间向量基本定理
2、空间向量运算的坐标表示
问题1：你能类比平面向量的坐标运算，得到空间向量的坐标表示并给出证明吗？
（1）平面向量有哪些运算？
加法、减法、数乘、数量积
（2）这些运算的坐标表示是什么？
平面向量运算的坐标表示
设=(, ),
+
你能类比平面向量运算的坐标表示，猜想空间向量的坐标表示吗？
平面向量运算的坐标表示 空间向量运算的坐标表示
设=(, ), +
设=(, , ),
+
下面我们以证明空间向量数量积运算的坐标表示为例.
设{， ， }为空间的一个单位正交基底，
则= + ,
所以 =( + ) (）
= + + + +
+ + + +
因为 = =1， = = =0
所以
平面向量运算的坐标表示 空间向量运算的坐标表示
设=(, ), + 设=(, , ),
+
A=(, ),
=
A=(, ),
=
问题2：平面向量的坐标运算可以解决平行、垂直及距离等问题，你能类比得到空间向量的坐标运算，是如何来刻画空间向量的平行、垂直及距离吗？
平面向量的特殊位置关系 空间向量的特殊位置关系
设=(, , ),
设=(, ),
当≠0时,∥ (R)
(, )
=0
当≠0时,∥ (R)
(, , )
追问1：设=(, , ), 当≠0时
（ R ）能否表示为= = ？
不能
≠0 至少有一个不为0，0为分母无意义。
均不为0时， ∥ = = 。
=0时， 与任意向量平行。
平面向量的特殊位置关系 空间向量的特殊位置关系
设=(, ), 当≠0时,∥ (R) (, ) =0 设=(, , ),
当≠0时,∥ (R)
(, , )
⊥
=0
=0
⊥
=0
=0
追问2：能否用空间向量的坐标表示长度和夹角？
平面向量的长度与夹角 空间向量的长度与夹角
设=(, ),
| |==
< , >=
=
设=(, ),
=||
=
| |==
< , >=
=
设=(, , ),
=||
=
设=(, , ),
追问3：你能证明空间两点间距离公式吗？
如图，建立空间直角坐标系Oxyz，
设=(, , ), 是空间中任意两点，
则=
于是||=
=
所以|=
三、巩固新知
例2 如图所示，在正方体ABCD－A B C D 中，E, F分别是B B , D B 的中点，
求证：EF⊥D A .
例3 如图所示，在棱长为1的正方体ABCD –A B C D 中，M为B C 的中点， E , F 分别在棱A B , C D 上，B = A B ,D =
(1) 求AM的长.
(2) 求B与D F 所成角的余弦值.
（2）
小结：向量夹角的计算步骤
(1)建系:结合图形建立适当的空间直角坐标系,建系原则是让尽可能多的点落到坐标轴上.
(2)求方向向量:依据点的坐标求出方向向量的坐标.
(3)代入公式:利用两向量的夹角公式将方向向量的坐标代入求出夹角.
四、课堂小结
1、空间直角坐标系的定义及建立。
2、空间向量运算的坐标表示：平行、垂直、两点间距离。
3、空间直角坐标系及坐标表示的运用：证明垂直、平行；求解距离、夹角等。
五、作业布置
课本P22：练习 第4题
1.3
空间向量及其运算的坐标表示
人教A版（2019）选择性必修第一册
学习目标
1.掌握建立空间直角坐标系的方法。
2.掌握空间向量的坐标表示方法及其运算。
3.初步感受并学会运用空间向量建系和坐标运算来解决几何中平行、垂直、距离等问题。
4.核心素养：数学抽象、直观想象、数学运算
一、复习导入
你类比平面直角坐标系，你能想到空间直角坐标系包括呢些要素吗？这些要素应满足什么条件？
坐标系三要素 平面直角坐标系 空间直角坐标系
三条互相垂直的坐标轴
单位长度
坐标原点O
坐标原点O
互相垂直的两条坐标轴x轴和y轴
单位长度
坐标轴
单位长度
原点
二、新课讲授
1、空间直角坐标系
平面直角坐标系 平面直角坐标系
在平面内选定一点O和一个单位正交基底{i，j}
以O为原点，分别以i，j的方向为正方向，以它们的长为单位长，度建立两条数轴;x轴 、y轴
以O为原点，分别以i，j，k的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴;x轴 、y轴、z轴
它们是两两互相垂直的单位向量
问题1：你能否类比平面直角坐标系的定义，给出空间直角坐标轴的定义呢？
O
x
y
叫做i，j，k
在空间选定一点O和三个基向量，
空间直角坐标系
在空间选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}.以点O为原点，分别以i，j，k的方向为正方向、以它们的长度单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴.这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz，O叫做原点， i，j，k都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy平面、yOz平面、zOx平面，它们把空间分成八个部分.
z
y
x
O
j
i
k
斜二测画法
在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系.
今后，我们建立的直角坐标系大多为右手直角坐标系。
问题2：在空间直角坐标系中如何定义的坐标呢？
平面直角坐标系 空间直角坐标系
取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j为基底，由平面向量基本定理，有且只有一对实数x，y，使a=xi+yj.我们把有序数对（x，y）叫做a的坐标，记作a=（x，y）
取与x轴、y轴、z轴方向相同的单位向量i，j，k为基底，由空间向量基本定理，存在唯一有序数组（x，y，z），使得=（x，y，z）
定义：在单位正交基{i，j，k}下与向量对应的有序数组(x,y,z)，叫做点A在空间直角坐标系中的坐标，记作（x，y，z），其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标， z叫做点A的竖坐标。
问题3：对于给的的向量a又该如何定义它的坐标呢？
a=xi+yj+zk
a=（x，y，z）
注:(x,y,z)既可以表示向量，也可表示点
例1 如图，在长方体OABC－D’ A‘B’C‘中，OA=3,OC=4,OD’=2，以为单位正交基底，建立如图的空间直角坐标系Oxyz.
（1）写出D’,C,A’,B’四点的坐标；
（2）写出向量, , , 坐标.
小结:如何求空间点或向量的坐标呢
空间点或向量的坐标
将点或向量用单位正交基底{i，j，k}来表示，它们的系数就是点或向量的坐标
确定点对应的向量在各个轴上的投影向量，根据投影向量的坐标得到点或向量的坐标
几何直观
空间向量基本定理
2、空间向量运算的坐标表示
问题1：你能类比平面向量的坐标运算，得到空间向量的坐标表示并给出证明吗？
（1）平面向量有哪些运算？
加法、减法、数乘、数量积
（2）这些运算的坐标表示是什么？
平面向量运算的坐标表示
设=(, ),
+
你能类比平面向量运算的坐标表示，猜想空间向量的坐标表示吗？
平面向量运算的坐标表示 空间向量运算的坐标表示
设=(, ), +
设=(, , ),
+
下面我们以证明空间向量数量积运算的坐标表示为例.
设{， ， }为空间的一个单位正交基底，
则= + ,
所以 =( + ) (）
= + + + +
+ + + +
因为 = =1， = = =0
所以
平面向量运算的坐标表示 空间向量运算的坐标表示
设=(, ), + 设=(, , ),
+
A=(, ),
=
A=(, ),
=
问题2：平面向量的坐标运算可以解决平行、垂直及距离等问题，你能类比得到空间向量的坐标运算，是如何来刻画空间向量的平行、垂直及距离吗？
平面向量的特殊位置关系 空间向量的特殊位置关系
设=(, , ),
设=(, ),
当≠0时,∥ (R)
(, )
=0
当≠0时,∥ (R)
(, , )
追问1：设=(, , ), 当≠0时
（ R ）能否表示为= = ？
不能
≠0 至少有一个不为0，0为分母无意义。
均不为0时， ∥ = = 。
=0时， 与任意向量平行。
平面向量的特殊位置关系 空间向量的特殊位置关系
设=(, ), 当≠0时,∥ (R) (, ) =0 设=(, , ),
当≠0时,∥ (R)
(, , )
⊥
=0
=0
⊥
=0
=0
追问2：能否用空间向量的坐标表示长度和夹角？
平面向量的长度与夹角 空间向量的长度与夹角
设=(, ),
| |==
< , >=
=
设=(, ),
=||
=
| |==
< , >=
=
设=(, , ),
=||
=
设=(, , ),
追问3：你能证明空间两点间距离公式吗？
如图，建立空间直角坐标系Oxyz，
设=(, , ), 是空间中任意两点，
则=
于是||=
=
所以|=
三、巩固新知
例2 如图所示，在正方体ABCD－A B C D 中，E, F分别是B B , D B 的中点，
求证：EF⊥D A .
例3 如图所示，在棱长为1的正方体ABCD –A B C D 中，M为B C 的中点， E , F 分别在棱A B , C D 上，B = A B ,D =
(1) 求AM的长.
(2) 求B与D F 所成角的余弦值.
（2）
小结：向量夹角的计算步骤
(1)建系:结合图形建立适当的空间直角坐标系,建系原则是让尽可能多的点落到坐标轴上.
(2)求方向向量:依据点的坐标求出方向向量的坐标.
(3)代入公式:利用两向量的夹角公式将方向向量的坐标代入求出夹角.
四、课堂小结
1、空间直角坐标系的定义及建立。
2、空间向量运算的坐标表示：平行、垂直、两点间距离。
3、空间直角坐标系及坐标表示的运用：证明垂直、平行；求解距离、夹角等。
五、作业布置
课本P22：练习 第4题