黑龙江省哈尔滨市2022-2023学年高二下学期期末考试数学试题（Word版含答案）

哈尔滨市2022-2023学年高二下学期期末考试
数学试卷
（本试卷满分150分，考试时间120分钟）
注意事项：
1.答题前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔将自己的姓名 准考证号分别填写在试卷和答题卡规定的位置上.
2.答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再涂其它答案.非选择题的答案必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题卡上相应的区域内，写在本试卷上无效.
一 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1.在等差数列中，若，则（ ）
A.3 B.4 C.5 D.6
2.在的展开式中，含的项的系数是（ ）
A.-488 B.60 C.480 D.45
3.已知圆，则直线被圆截得的弦的长度为（ ）
A.2 B.7 C. D.
4.已知平面，直线，则下列命题正确的个数是（ ）
①若，则
②若，则
③若，则
④若，则
A.1 B.2 C.3 D.4
5.已知各项均为正数的等比数列的公比为2，若存在两项使得，则（ ）
A.3 B.4 C.8 D.16
6.今年“五一”期间人民群众出游热情高涨，某地为保障景区的安全有序，现增派6名警力去A B两个景区执勤.要求A景区至少增派3名警力，B景区至少增派2名警力，则不同的分配方法的种数为（ ）
A.35 B.60 C.70 D.120
7.牛顿迭代法亦称切线法，它是求函数零点近似解的另一种方法.若定义是函数零点近似解的初始值，在点处的切线方程为，切线与轴交点的横坐标为，即为函数零点近似解的下一个初始值.以此类推，满足精度的初始值即为函数零点近似解.设函数，满足0，应用上述方法，则（ ）
A.1 B. C.. D.
8.现实世界中的很多随机变量遵循正态分布.例如反复测量某一个物理量，其测量误差通常被认为服从正态分布.若某物理量做次测量，最后结果的误差，要控制的概率不大于0.0027，至少要测量的次数为（ ）[参考数据：]
A.141 B.128 C.288 D.512
二 多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.已知数列的前项和为，则下列叙述正确的是（ ）
A.若，则
B.若，则
C.若是等差数列，则数列是等比数列
D.若，则数列是等差数列
10.伟大的古希腊哲学家 百科式科学家阿基米德最早采用不断分割法求得椭圆的面积为椭圆的长半轴长和短半轴长乘积的倍，这种方法已具有积分计算的雏形.已知椭圆的面积为，离心率为是椭圆的两个焦点，为椭圆上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A.椭圆的标准方程可以为
B.若，则
C.存在点，使得
D.的最小值为
11.为了有针对性地提高学生体育锻炼的积极性，哈尔滨市某中学需要了解性别因素是否对本校学生体育锻炼的经常性有影响，随机抽取了300名学生，对他们是否经常锻炼的情况进行了调查，调查发现经常锻炼人数是不经常锻炼人数的2倍，绘制其等高堆积条形图，如图所示，则下列说法不正确的是（ ）
A.参与调查的男生中经常锻炼的人数比不经常锻炼的人数多
B.从参与调查的学生中任取一人，已知该生为女生，则该生经常锻炼的概率为
C.依据的独立性检验，认为性别因素影响学生体育锻炼的经常性，该推断犯错误的概率不超过0.1
D.若经常锻炼人数与不经常锻炼人数的比例不变，统计得到的等高堆积条形图也不变，则无论参与调查的男生 女生人数为多少，依据的独立性检验，都可以认为性别因素与学生体育锻炼的经常性无关
参考公式：，其中
独立性检验中常用的小概率值和相应的临界值：
.0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
12.定义：在区间上，若函数是减函数，且是增函数，则称在区间上是“弱减函数”.根据定义可得（ ）
A.在上是.“弱减函数”
B.若在上是“弱减函数”，则
C.在上是“弱减函数”
D.若在上是“弱减函数”，则
三 填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.在直角中，，将绕斜边旋转一周形成的几何体的体积是__________.
14.抛物线上的点到焦点的距离为__________.
15.已知某品牌的新能源汽车的使用年限（单位：年）与维护费用（单位：千元）之间可以用模型去拟合，收集了4组数据，设与的数据如表格所示：
4 6 8 10
2 3 5 6
利用最小二乘法得到与的线性回归方程，则__________.
16.函数，对于恒成立，则的取值范围是__________.
四 解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分10分）
某中学高二年级参加市数学联考，其中甲 乙两个班级优秀率分别为30%和40%，现在先从甲 乙两个班中选取一个班级，然后从选取的班级中再选出一名同学.选取甲 乙两个班级的规则如下：纸箱中有大小和质地完全相同的4个白球 2个黑球，从中摸出1个球，摸到白球就选甲班，摸到黑球就选乙班.
（1）分别求出选取甲班 乙班的概率；
（2）求选出的这名同学数学成绩优秀的概率.
18.（本小题满分12分）
如图所示，在直角梯形中，，，边上一点满足.现将沿折起到的位置，使平面平面，如图所示.
（1）求证：；
（2）求与平面所成角的余弦值.
19.（本小题满分12分）
已知双曲线.四个点中恰有三点在双曲线上.
（1）求双曲线的方程；
（2）若直线与双曲线交于两点，且，求原点到直线的距离.
20.（本小题满分12分）
某食盐厂为了检查一条自动流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的100袋食盐称出它们的质量（单位：克）作为样本数据，质量的分组区间为.由此得到样本的频率分布直方图如图：
（1）求的值；
（2）从该流水线上任取2袋食盐，设为质量超过的食盐数量，求随机变量的分布列及数学期望；
（3）在上述抽取的100袋食盐中任取2袋，设为质量超过的食盐数量，求随机变量的分布列.
21.（本小题满分12分）
已知数列的首项，且满足.
（1）求证：数列是等比数列；
（2）若，求满足条件的最大的正整数.
22.（本小题满分12分）
已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若和有两个不同交点，求的取值范围.
数学答案
一 单项选择题：
1 2 3 4 5 6 7 8
A B D B C A B C
二 多项选择题：
9 10 11 12
AC AD BCD ACD
三 填空题：（本大题共4小.题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷纸的相应位置上）
13. 14.3 15. 16.
四 解答题：
17.（本小题满分10分）
解：（1）记事件“选取甲班”，事件“选取乙班”
故选取甲 乙两个班的概率分别为和.
（2）由（1）可知“这名同学来自甲班”，
“这名同学来自乙班”，“这名同学数学成绩优秀”，
则，且与互斥，根据题意得，
由全概率公式得
因此，选出的这名同学数学成绩优秀的概率为.
18.（本小题满分12分）
（1）证明：
在图1中，连接，易求
四边形为菱形.连接交于点，则
在图2中，面
（2）平面平面，面面，
平面且
平面
平面
.
即两两垂直，以分别为轴 轴 轴，如图建立空间直角坐标系，
则.
设平面的法向量为.
令则
设与平面所成的角为，
与平面所成角的余弦值为.
19.（本小题满分12分）
（1）由双曲线性质可知，关于原点对称，
所以一定在双曲线上，根据双曲线在第一象限图象
而和坐标的数中，，但，
所以点不在双曲线上，即在双曲线上.
解得
双曲线的方程为
（2）直线的方程为，设，
由消去得
所以.
由，可得，即
所以，
可化为
即
则
即
到的距离.
20.（本小题满分12分）
解：（1）由题意可得：，
解得；
（2）根据样本估计总体的思想，取一袋食盐，
该食盐的质量超过的概率为
从流水线上任取2袋食盐互不影响，该问题可以看成2次独立重复试验，质量超过的袋数X的所有可能取值为，
且服从二项分布，
.
，
，
随机变量的分布列为
0 1 2
0.49 0.42 0.09
（3）质量超过的食盐数量为袋，随机变量的所有可能取值为，且服从超几何分布.
，
，
，
随机变量的分布列为
0 1 2
21.（本小题满分12分）
证明：（1）由，得
则，
又因为
所以数列是以为首项，以为公比的等比数列
（2）由（1）得
则
因为，
所以
即
又因为为单调增函数
所以满足的最大正整数为32即满足条件的
最大整数
22.（本小题满分12分）
解：（1）的定义域，
（i）若，则，所以在单调递减.
（ii）若，则由得.
当时，；
当时，.
所以在单调递减，在单调递增.
（2）和有两个不同交点，则
即有两个不同实根，
设则
（i）若在上单调递减，所以至多有一个零点.不符合题意；
（ii）若在（单调递减，在单调递增，
当时，取得最小值，最小值为.
①当时，由于，故只有一个零点；舍去.
②当时，由于，即，故没有零点；舍去.
③当时，，即.
又，
故在有一个零点.
令
即
因为
又因为当时，，
由于，且，
所以在上有一个零点.
所以在上有两个零点
综上，的取值范围为.