浙江省杭州市2022-2023学年高二下册末考试教学试卷

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浙江省杭州市2022-2023学年高二下册末考试教学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．（2023高二下·杭州）直线的一个方向向量是 （　　）
A． B． C． D．
2．（2023高二下·杭州）若是空间的一个基底，则也可以作为该空间基底的是 （　　）
A． B．
C． D．
3．（2023高二下·杭州）“巴赫十二平均律”是世界上通用的音乐律制，它与五度相生律、纯律并称三大律制“十二平均律”将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于而早在世纪，明代朱载最早用精湛的数学方法近似计算出这个比例，为这个理论的发展做出了重要贡献若第一个单音的频率为，则第四个单音的频率为 （　　）
A． B． C． D．
4．（2023高二下·杭州）“点在圆外”是“直线与圆相交”的 （　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（2023高二下·杭州）第19届亚运会将于2023年9月23日在杭州开幕，因工作需要，还需招募少量志愿者甲、乙等4人报名参加了“莲花”、“泳镜”、“玉琮”三个场馆的各一个项目的志愿者工作，每个项目仅需名志愿者，每人至多参加一个项目若甲不能参加“莲花”场馆的项目，则不同的选择方案共有 （　　）
A．6种 B．12种 C．18种 D．24种
6．（2023高二下·杭州），两个学科兴趣小组在实验室研究某粒子的运动轨迹，共同记录到粒子的一组坐标信息小组根据表中数据，直接对作线性回归分析，得到：回归方程决定系数小组先将数据按照变换，进行整理，再对，作线性回归分析，得到：回归方程，决定系数根据统计学知识，下列方程中，最有可能是该粒子运动轨迹方程的是 （　　）
A． B．
C． D．
7．（2023高二下·杭州）设，，，是半径为的球的球面上的四个点设，则不可能等于 （　　）
A．3 B． C．4 D．
8．（2023高二下·杭州）设椭圆的左右焦点分别为，，是椭圆上不与顶点重合的一点，记是的内心直线交轴于点，，且，则椭圆的离心率为 （　　）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9．（2023高二下·杭州）若函数的导函数的部分图像如图所示，则 （　　）
A．是的一个极大值点 B．是的一个极小值点
C．是的一个极大值点 D．是的一个极小值点
10．（2023高二下·杭州）抛掷一枚质地均匀的骰子六个面上的数字是1，2，3，4，5，6，抛掷两次设事件“两次向上的点数之和大于7”，事件“两次向上的点数之积大于”，事件“两次向上的点数之和小于10”，则 （　　）
A．事件与事件互斥 B．
C． D．事件与事件相互独立
11．（2023高二下·杭州）设双曲线，直线与双曲线的右支交于点，，则下列说法中正确的是 （　　）
A．双曲线离心率的最小值为
B．离心率最小时双曲线的渐近线方程为
C．若直线同时与两条渐近线交于点，，则
D．若，点处的切线与两条渐近线交于点，，则为定值
12．（2023高二下·杭州）已知曲线，，及直线，下列说法中正确的是 （　　）
A．曲线在处的切线与曲线在处的切线平行
B．若直线与曲线仅有一个公共点，则
C．曲线与有且仅有一个公共点
D．若直线与曲线交于点，，与曲线交于点，，则
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13．（2023高二下·杭州）的展开式中的系数为　 　．
14．（2023高二下·杭州）曲率是衡量曲线弯曲程度的重要指标定义：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率已知，则曲线在点处的曲率为　 　．
15．（2023高二下·杭州）已知数列满足，，数列的前项和为，且，则满足的正整数的最小值为　 　．
16．（2023高二下·杭州）设函数，则使得成立的的取值范围是　 　．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（2023高二下·杭州）如图，在四面体中，，，，，．
（1）求证：，，，四点共面．
（2）若，设是和的交点，是空间任意一点，用，，，表示．
18．（2023高二下·杭州）已知等差数列的前项和为，且，
（1）求数列的通项公式．
（2）若中的部分项组成的数列是以为首项，为公比的等比数列，求数列的前项和．
19．（2023高二下·杭州）如图，在三棱柱中，所有棱长均为，，．
（1）证明：平面平面．
（2）求平面与平面的夹角的正弦值．
20．（2023高二下·杭州）第19届亚运会将于2023年9月23日在杭州拉开帷幕，为了更好地迎接亚运会，杭州市政府大举加强了城市交通基础设施的建设至2023年地铁运行的里程数达到516公里，排位全国第六.同时，一张总长464公里、“四纵五横”为骨架、通达“东西南北中”十城区的快速路网也顺利完工准备接待世界各地的来宾现杭州公共出行的主流方式为地铁、公交、打车、共享单车这四种，基本可以覆盖大众的出行需求．
（1）一个兴趣小组发现，来自不同的城市的游客选择出行的习惯会有很大差异，为了验证这一猜想该小组进行了研究请完成下列列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析城市规模是否与出行偏好地铁有关？（精确到0.001）
出行方式 国际大都市 中小型城市 合计
偏好地铁 　
偏好其他 　 　
合计 　 　
（2）国际友人来杭游玩，每日的行程分成段，为了更好的体验文化，相邻两段的出行方式不能相同，且选择地铁、公交、打车、共享单车的概率是等可能的已知他每日从酒店出行的方式一定是从地铁开始，记第段行程上坐地铁的概率为，易知，．
①试证明为等比数列
②设第次选择共享单车的概率为，比较与的大小．
附：，．
21．（2023高二下·杭州）设抛物线，过焦点的直线与抛物线交于点，当直线垂直于轴时，．
（1）求抛物线的标准方程．
（2）已知点，直线，分别与抛物线交于点，．
①求证：直线过定点
②求与面积之和的最小值．
22．（2023高二下·杭州）设函数，若曲线在处的切线方程为．
（1）求实数，的值．
（2）证明：函数有两个零点．
（3）记是函数的导数，，为的两个零点，证明：．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】直线的方向向量
【解析】【解答】由直线的斜率为，可得直线的一个方向向量为，
结合选项可得与 共线，故直线的一个方向向量可以是.
故选：A
【分析】根据直线的斜率先得到直线的一个方向向量，然后根据方向向量均共线，可求出答案.
2．【答案】C
【知识点】平面向量的基本定理
【解析】【解答】 ，则 共面，故不能构成基底，故A错误；
，因此 共面，故不能构成基底，故B错误；
假设 即，这与题设矛盾，假设不成立，可以构成基底，故C正确；
因此向量 共面，故不能构成基底，故D错误.
故选： C.
【分析】根据空间基底的概念逐项进行判断，可得答案.
3．【答案】B
【知识点】等比数列的通项公式
【解析】【解答】由题意可得十三个单音构成首项为 ，公比为 的等比数列{an}，
第四个单音的频率为
故选： B.
【分析】 先将所要解决的问题转化为求首项为 ，公比为 的等比数列，根据等比数列的通项公式得出an，再求出，即可得答案.
4．【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；点与圆的位置关系；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】充分性：若点在圆外，则a2 +b2> 1，
由圆的圆心(0， 0)到直线 的距离，
则d与半径1的大小无法确定，不能得到直线与圆相交，故充分性不成立；
必要性：若直线与圆相交， 则圆的圆心(0， 0)到直线 的距离，即a2 +b2>4，故点在圆外 ，故必要性成立，
故选：B.
【分析】 由点在圆外，得到a2 +b2> 1，求出圆的圆心(0， 0)到的距离，比较d与半径的大小，再利用充分条件、必要条件的定义可得答案.
5．【答案】C
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【解答】 先从除甲外的3人中选1人参加‘莲花”场馆的项目，再从剩余的3个人中选出2个人，安排参加另外两个项目，利用分步乘法原理可得是不同的选择方案共种.
故选：C.
【分析】先从除甲外的3人中选1人参加‘莲花”场馆的项目，再从剩余的3个人中选出2个人，安排参加另外两个项目，利用排列、组合知识结合分步乘法原理计算求解，可得答案.
6．【答案】C
【知识点】线性回归方程；轨迹方程
【解析】【解答】由统计学知识可知，R2越大，拟合效果越好，
又A小组的决定系数R2 = 0.8732，B小组的决定系数R2 =0.9375，
可得B小组的拟合效果好，则回归方程为 ，
又 ，
则
即
故选： C.
【分析】 由统计学知识可知，R2越大，拟合效果越好，由此可得回归方程，代入 ， ，整理得答案.
7．【答案】A
【知识点】余弦定理
【解析】【解答】由 ，，，是半径为的球的球面上的四个点 ，
则O、A、B、C四点共面，△ABC为等边三角形，∠AOB=∠AOC=∠BOC= 120°.
当点D和A. B、C中其一重合时，
得到 (极限状态，不能重合) ，
当OD⊥平面ABC时，
，
则 ，
可得 A不可能.
故选：A.
【分析】 由题意知O、A、B、C四点共面，根据点D与A、B、C中某一点重合和OD⊥平面ABC这两个特殊位置，可求出|AD|+ |BD|+ |CD|的范围，由此判断选项可得答案.
8．【答案】B
【知识点】平面向量的数量积运算；椭圆的简单性质
【解析】【解答】不妨设点P位于第一象限，如图所示，
由 是的内心 ，得PA为的角平分线，
则，
由 ，得
设|PF1|=5m，则|PF2|=3m，由椭圆的定义可知，|PF1|+|PF2|=8m=2a，
可得，即，
则
解得
在 中，由余弦定理可得，
解得
则
故选：B.
【分析】 先利用角平分线性质得到，设|PF1|=5m，则|PF2|=3m，根据椭圆定义得到，然后利用平面向量的数量积和余弦定理即可求解出，进而求出椭圆的离心率 .
9．【答案】A,B
【知识点】利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】由图象可知，当x0，函数单调递增，当x10，函数单调递增，当x>x4时，f'(x)<0，函数单调递减，故x1，x4是f (x)的极大值点，x2是f (x)的极小值点，x3不是的极值点.
故选： AB.
【分析】由已知结合函数的图象，分析导数的正负，然后结合导数与单调性及极值关系，即可得答案.
10．【答案】A,C
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件；条件概率与独立事件
【解析】【解答】 抛掷一枚质地均匀的骰子(六个面上的数字是1、2、3、4、5、6)，抛掷两次，
设第一次、 第二次抛掷骰子正面朝上的点数分别为a、b，
以(a，b)为一个基本事件，则基本事件的总数为62= 36，
事件A包含的基本事件有： (2，6)、 (3，5)、(3， 6)、(4，4)、(4，5)、(4， 6)、(5， 3)、(5，4)、(5，5)、(5， 6)、(6，2)、(6，3)、(6， 4)、(6，5)、(6， 6)共15种，
事件B包含的基本事件有： (4， 6)、(5，5)、(5， 6)、(6，4)、(6，5)、(6， 6)共6种，
事件C包含的基本事件有：(1，1)、(1，2)、(1，3)、(1，4)、(1，5)、(1， 6)、(2，1)、(2，2)、(2，3)、(2，4)、(2，5)、(2，6)、(3，1)、(3， 2)、(3，3)、(3， 4)、(3， 5)、(3，6)、(4，1)、(4，2)、(4， 3)、(4， 4)、(4， 5)、(5，1)、(5，2)、(5，3)、(5， 4)、(6，1)、(6， 2)、(6， 3)共30种，
事件B与事件C互斥，故A正确；
事件AB包含的基本事件有： (4， 6)、(5，5)、(5，6)、(6，4)、(6，5)、(6， 6)共6种，得 ，
故B错误；
，故C正确；
， ，事件AC包含的基本事件有： (2， 6)、(3， 5)、(3， 6)、(4，4)、(4，5)、(5，3)、(5， 4)、(6， 2)、(6， 3)共9种，故，故D错误.
故选：AC.
【分析】 列举出事件A、B、C所包含的基本事件，利用互斥事件的定义可判断A选项；利用古典概型的概率公式可判断B选项；利用条件概率公式可判断C选项；利用独立事件的定义可判断D选项.
11．【答案】B,C,D
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】由题意可得
由a>0，可得，即e≥2，当且仅当，即a=2时，等号成立，
此时双曲线方程是 ，渐近线方程是 ，故A、B正确；
设直线为x=my+n代入双曲线 可得
又双曲线的渐近线方程为
直线方程代入可得
直与双曲线右支交于两点A、B，与渐近线交于两点C、D、A在B、C两点之间，
即AB、CD的中点重合，则 |AC|=|BD|，故C正确；
当a=1，双曲线的方程为，双曲线的渐近线方程为
设A (m， n)，故双曲线在A (m， n)的切线方程为与y=2x联立可得E的横坐标为，
与y=-2x联立可得E的横坐标为，且
则 为定值，故D正确.
故选：ABCD.
【分析】 利用双曲线的几何性质，逐项计算判断，可得答案.
12．【答案】A,C
【知识点】导数的几何意义；曲线与方程
【解析】【解答】由 f(0)=0，
则f'(0)=1，故曲线f (x)在x=0处的切线为y=x，同理g(1)=0， ，则g'(1)=1，
故曲线g(x)在x=1处的切线为y=x-1，
即 曲线在处的切线与曲线在处的切线平行 ，故A正确；
，令f'(x)=0，解得x=1，则曲线f (x)在(-∞，1)上单调递增，在(1， +∞)上单调递减，
又当x→-∞时f(x)→-∞，当x→+∞时f(x)→0，若直线y=a与曲线f (x)仅有一个公共点，
则 或a≤0，故B错误；
曲线g (x)的定义域为(0，+∞)，
令g'(x)=0，解得x=e
故g (x)在(0，e)上单调递增，在(e，+∞)上单调递减，且g(1)=0，
作出曲线f (x)与曲线g (x)的大致图像为：
易知当x∈(0，1)时，f(x)>0，g(x)<0，即曲线f (x)与曲线g (x)在区间(0，1)上无交点；
当x∈[1，e]时， f(x)单调递减，g(x)单调递增，且
则f(e)=el-e当x∈(e， +∞)时，记h(x)= x-lnx，当x> e时h' (x) > 0恒成立，
则h(x)在(e， +∞)上单调递增，即h(x)>h(e)=e-1>0，即x>lnx>1，
又曲线f (x)在(1， +∞)上单调递减，
故f(x)< f(lnx)，即
则f(x)故曲线f (x)与g (x)有且仅有一个公共点，故C正确；
当直线y=a经过曲线f(x)与g (x)的交点时，恰好有3个公共点，且0，
由f(x1)=f(x2)=f(lnx2)，得x1=lnx2 ，由g(x2)= g(x3)=得
即 ，故D正确.
故选：ACD.
【分析】分别求出f (x)在x =0处的切线与g (x)在x=1处的切线即可判断A；求出f'(x)，即可判断出曲线f (x)的单调性，画出草图则可判断B；作出曲线f (x)与g (x)的草图，即可判断C；借助图像可知直线y=a过曲线f (x)与g (x)的交点B，由此即可得出，则可得x1=lnx2 ，，则可得出，则可判断D .
13．【答案】-28
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】 利用(x+y)8的展开式通项公式，
令r=5，6得，
则 的展开式中项为
故 的系数为 -28.
故答案为： - 28
【分析】 利用(x+y)8的展开式通项公式求x3y5 ，x2y6项，然后可得的展开式中 项，即可得答案.
14．【答案】0
【知识点】导数的几何意义
【解析】【解答】 由 得 ，
则，
故曲线y= f (x)在点(1， f (1))处的曲率为
故答案为： 0.
【分析】求出原函数的导函数f'(x)与导函数的导函数f"(x)，然后代入题中公式即可求出答案.
15．【答案】63
【知识点】数列的求和
【解析】【解答】 由 ，a2=8>0，
得an>0，
则
故
由 得，即，解得
又n∈N*，故正整数n的最小值为63.
故答案为： 63.
【分析】 根据对数运算和递推公式可得数列 的通项公式，然后对数运算结合累乘法可得Sn，解不等式可得答案.
16．【答案】
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质
【解析】【解答】由 向右平移2个单位，得
又为偶函数，则g(x)关于y轴对称，即f (x)关于x=-2对称，
当x≥0时，，
当x∈[0，2]时，由得，
当x∈(2， +∞)时，，得g(x)在上单调[0， +∞)递增，在(-∞，0)上单调递减，则f (x)在(-∞，-2)上单调递减，在(-2， +∞)上单调递增，
由 得|x+1+2|> |2x+2|，
即(x +3)2 > (2x+2)2
解得
故使得成立的的取值范围是
故答案为：
【分析】 利用函数的平移变换及偶函数的性质的应用，再利用导函数的正负与函数单调性的关系及绝对值不等式的解法求解，即可得答案.
17．【答案】（1）解：因为，
，
所以，因此，，，四点共面．
（2）解：由（1）知，，，
因此，则，所以，
【知识点】向量加法的三角形法则；平面向量的线性运算；平面向量的基本定理
【解析】【分析】 (1)利用向量减法的三角形法则和线性运算得证明出，即可证得 ，，，四点共面；
(2)由（1）知，，，可得出，则，再结合空间向量的线性运算可得出 关于 ，，， 的表达式.
18．【答案】（1）解：设等差数列的公差为，则由，
可得
解得因此
（2）解：由，得，
又由是以为首项，为公比的等比数列，
得，因此，，
所以．
【知识点】等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】【分析】 (1)利用等差数列的前n项和及通项公式求出首项和公差，即可得出数列的通项公式；
(2)利用等比数列概念及通项公式求出 的通项公式，再利用等比数列求和公式求解，即可得数列的前项和．
19．【答案】（1）证明：取中点，连接，，则．
，，为等边三角形，
，，，
，，
，，平面，
平面，
平面，平面平面．
（2）解：如图，以，，，
所在的直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系．
，，
平面的的法向量，
平面的的法向量，
，，故平面与平面的夹角的正弦值为．
【知识点】平面与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）取中点，连接，，则，再根据勾股定理证得，推出平面，即可证得平面平面；
（2） 以，，，所在的直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，求出平面的的法向量和平面的的法向量，利用向量法可求出平面与平面的夹角的正弦值．
20．【答案】（1）解：
出行方式 国际大都市 中小型城市 合计
首选地铁
首选其他
合计
零假设为城市规模与出行偏好地铁无关．
经计算，根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为城市规模与出行偏好地铁有关，此推断犯错误的概率不大于0.010．
（2）①证明：第段行程上坐地铁的概率为，
则当时，第段行程上坐地铁的概率为，不坐地铁的概率为
则，
从而，
又，所以是首项为，公比为的等比数列．
②解：由可知，
则，又，故．
【知识点】数列的应用；独立性检验的基本思想
【解析】【分析】(1)根据题意即可完成列联表，再根据公式求出，再对照临界值表即可得出结论；
(2)①根据全概率公式结合等比数列的定义即可证得 为等比数列 ；
②先求出的表达式，进而可求出p5，q5，即可比较与的大小．
21．【答案】（1）解：由题意，当直线垂直于轴时，代入抛物线方程得，
则，所以，抛物线．
（2）解：①设，，直线，与抛物线联立，
得：，因此，．
设直线，与抛物线联立，得：，
因此，，则同理可得：．
当轴时，，，则直线
当斜率存在时，即，
所以
．
因此直线，
令得
综上：直线过定点．
②因为，
，
所以，
当且仅当时取到最小值．
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】 (1)利用弦长求解出p，即可求解出抛物线的标准方程；
(2)①设直线方程，与抛物线联立，韦达定理找到坐标关系，表示出直线方程，即可求出直线过定点；
②利用面积分割法求出两个三角形面积表达式，然后利用二次函数求最值，即可求出 与面积之和的最小值．
22．【答案】（1）解：，
由题意知，
解得
（2）证明：即，
函数有两个零点即函数有两个零点．
，
当时，，单调递减当时，，单调递增．
又，，，故使得，
使得，命题得证．
（3）解：由，且．
要证明，即证明，即证明．
令，则
，
因此单调递减，则因此，即，
即，又，，且在上单调递增，
因此，即命题得证．
【知识点】分析法和综合法
【解析】【分析】(1)利用导数的几何意义代入f'(0)=-2，即可求出a， b的值；
(2)根据导函数判断出函数单调性，由零点存在性定理即可证明出结论；
(3)利用(1) (2)中的结论，结合f (x)单调性并构造函数并求其单调性，即可证明出 ．
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浙江省杭州市2022-2023学年高二下册末考试教学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．（2023高二下·杭州）直线的一个方向向量是 （　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】直线的方向向量
【解析】【解答】由直线的斜率为，可得直线的一个方向向量为，
结合选项可得与 共线，故直线的一个方向向量可以是.
故选：A
【分析】根据直线的斜率先得到直线的一个方向向量，然后根据方向向量均共线，可求出答案.
2．（2023高二下·杭州）若是空间的一个基底，则也可以作为该空间基底的是 （　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】平面向量的基本定理
【解析】【解答】 ，则 共面，故不能构成基底，故A错误；
，因此 共面，故不能构成基底，故B错误；
假设 即，这与题设矛盾，假设不成立，可以构成基底，故C正确；
因此向量 共面，故不能构成基底，故D错误.
故选： C.
【分析】根据空间基底的概念逐项进行判断，可得答案.
3．（2023高二下·杭州）“巴赫十二平均律”是世界上通用的音乐律制，它与五度相生律、纯律并称三大律制“十二平均律”将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于而早在世纪，明代朱载最早用精湛的数学方法近似计算出这个比例，为这个理论的发展做出了重要贡献若第一个单音的频率为，则第四个单音的频率为 （　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】等比数列的通项公式
【解析】【解答】由题意可得十三个单音构成首项为 ，公比为 的等比数列{an}，
第四个单音的频率为
故选： B.
【分析】 先将所要解决的问题转化为求首项为 ，公比为 的等比数列，根据等比数列的通项公式得出an，再求出，即可得答案.
4．（2023高二下·杭州）“点在圆外”是“直线与圆相交”的 （　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；点与圆的位置关系；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】充分性：若点在圆外，则a2 +b2> 1，
由圆的圆心(0， 0)到直线 的距离，
则d与半径1的大小无法确定，不能得到直线与圆相交，故充分性不成立；
必要性：若直线与圆相交， 则圆的圆心(0， 0)到直线 的距离，即a2 +b2>4，故点在圆外 ，故必要性成立，
故选：B.
【分析】 由点在圆外，得到a2 +b2> 1，求出圆的圆心(0， 0)到的距离，比较d与半径的大小，再利用充分条件、必要条件的定义可得答案.
5．（2023高二下·杭州）第19届亚运会将于2023年9月23日在杭州开幕，因工作需要，还需招募少量志愿者甲、乙等4人报名参加了“莲花”、“泳镜”、“玉琮”三个场馆的各一个项目的志愿者工作，每个项目仅需名志愿者，每人至多参加一个项目若甲不能参加“莲花”场馆的项目，则不同的选择方案共有 （　　）
A．6种 B．12种 C．18种 D．24种
【答案】C
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【解答】 先从除甲外的3人中选1人参加‘莲花”场馆的项目，再从剩余的3个人中选出2个人，安排参加另外两个项目，利用分步乘法原理可得是不同的选择方案共种.
故选：C.
【分析】先从除甲外的3人中选1人参加‘莲花”场馆的项目，再从剩余的3个人中选出2个人，安排参加另外两个项目，利用排列、组合知识结合分步乘法原理计算求解，可得答案.
6．（2023高二下·杭州），两个学科兴趣小组在实验室研究某粒子的运动轨迹，共同记录到粒子的一组坐标信息小组根据表中数据，直接对作线性回归分析，得到：回归方程决定系数小组先将数据按照变换，进行整理，再对，作线性回归分析，得到：回归方程，决定系数根据统计学知识，下列方程中，最有可能是该粒子运动轨迹方程的是 （　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】线性回归方程；轨迹方程
【解析】【解答】由统计学知识可知，R2越大，拟合效果越好，
又A小组的决定系数R2 = 0.8732，B小组的决定系数R2 =0.9375，
可得B小组的拟合效果好，则回归方程为 ，
又 ，
则
即
故选： C.
【分析】 由统计学知识可知，R2越大，拟合效果越好，由此可得回归方程，代入 ， ，整理得答案.
7．（2023高二下·杭州）设，，，是半径为的球的球面上的四个点设，则不可能等于 （　　）
A．3 B． C．4 D．
【答案】A
【知识点】余弦定理
【解析】【解答】由 ，，，是半径为的球的球面上的四个点 ，
则O、A、B、C四点共面，△ABC为等边三角形，∠AOB=∠AOC=∠BOC= 120°.
当点D和A. B、C中其一重合时，
得到 (极限状态，不能重合) ，
当OD⊥平面ABC时，
，
则 ，
可得 A不可能.
故选：A.
【分析】 由题意知O、A、B、C四点共面，根据点D与A、B、C中某一点重合和OD⊥平面ABC这两个特殊位置，可求出|AD|+ |BD|+ |CD|的范围，由此判断选项可得答案.
8．（2023高二下·杭州）设椭圆的左右焦点分别为，，是椭圆上不与顶点重合的一点，记是的内心直线交轴于点，，且，则椭圆的离心率为 （　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平面向量的数量积运算；椭圆的简单性质
【解析】【解答】不妨设点P位于第一象限，如图所示，
由 是的内心 ，得PA为的角平分线，
则，
由 ，得
设|PF1|=5m，则|PF2|=3m，由椭圆的定义可知，|PF1|+|PF2|=8m=2a，
可得，即，
则
解得
在 中，由余弦定理可得，
解得
则
故选：B.
【分析】 先利用角平分线性质得到，设|PF1|=5m，则|PF2|=3m，根据椭圆定义得到，然后利用平面向量的数量积和余弦定理即可求解出，进而求出椭圆的离心率 .
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9．（2023高二下·杭州）若函数的导函数的部分图像如图所示，则 （　　）
A．是的一个极大值点 B．是的一个极小值点
C．是的一个极大值点 D．是的一个极小值点
【答案】A,B
【知识点】利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】由图象可知，当x0，函数单调递增，当x10，函数单调递增，当x>x4时，f'(x)<0，函数单调递减，故x1，x4是f (x)的极大值点，x2是f (x)的极小值点，x3不是的极值点.
故选： AB.
【分析】由已知结合函数的图象，分析导数的正负，然后结合导数与单调性及极值关系，即可得答案.
10．（2023高二下·杭州）抛掷一枚质地均匀的骰子六个面上的数字是1，2，3，4，5，6，抛掷两次设事件“两次向上的点数之和大于7”，事件“两次向上的点数之积大于”，事件“两次向上的点数之和小于10”，则 （　　）
A．事件与事件互斥 B．
C． D．事件与事件相互独立
【答案】A,C
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件；条件概率与独立事件
【解析】【解答】 抛掷一枚质地均匀的骰子(六个面上的数字是1、2、3、4、5、6)，抛掷两次，
设第一次、 第二次抛掷骰子正面朝上的点数分别为a、b，
以(a，b)为一个基本事件，则基本事件的总数为62= 36，
事件A包含的基本事件有： (2，6)、 (3，5)、(3， 6)、(4，4)、(4，5)、(4， 6)、(5， 3)、(5，4)、(5，5)、(5， 6)、(6，2)、(6，3)、(6， 4)、(6，5)、(6， 6)共15种，
事件B包含的基本事件有： (4， 6)、(5，5)、(5， 6)、(6，4)、(6，5)、(6， 6)共6种，
事件C包含的基本事件有：(1，1)、(1，2)、(1，3)、(1，4)、(1，5)、(1， 6)、(2，1)、(2，2)、(2，3)、(2，4)、(2，5)、(2，6)、(3，1)、(3， 2)、(3，3)、(3， 4)、(3， 5)、(3，6)、(4，1)、(4，2)、(4， 3)、(4， 4)、(4， 5)、(5，1)、(5，2)、(5，3)、(5， 4)、(6，1)、(6， 2)、(6， 3)共30种，
事件B与事件C互斥，故A正确；
事件AB包含的基本事件有： (4， 6)、(5，5)、(5，6)、(6，4)、(6，5)、(6， 6)共6种，得 ，
故B错误；
，故C正确；
， ，事件AC包含的基本事件有： (2， 6)、(3， 5)、(3， 6)、(4，4)、(4，5)、(5，3)、(5， 4)、(6， 2)、(6， 3)共9种，故，故D错误.
故选：AC.
【分析】 列举出事件A、B、C所包含的基本事件，利用互斥事件的定义可判断A选项；利用古典概型的概率公式可判断B选项；利用条件概率公式可判断C选项；利用独立事件的定义可判断D选项.
11．（2023高二下·杭州）设双曲线，直线与双曲线的右支交于点，，则下列说法中正确的是 （　　）
A．双曲线离心率的最小值为
B．离心率最小时双曲线的渐近线方程为
C．若直线同时与两条渐近线交于点，，则
D．若，点处的切线与两条渐近线交于点，，则为定值
【答案】B,C,D
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】由题意可得
由a>0，可得，即e≥2，当且仅当，即a=2时，等号成立，
此时双曲线方程是 ，渐近线方程是 ，故A、B正确；
设直线为x=my+n代入双曲线 可得
又双曲线的渐近线方程为
直线方程代入可得
直与双曲线右支交于两点A、B，与渐近线交于两点C、D、A在B、C两点之间，
即AB、CD的中点重合，则 |AC|=|BD|，故C正确；
当a=1，双曲线的方程为，双曲线的渐近线方程为
设A (m， n)，故双曲线在A (m， n)的切线方程为与y=2x联立可得E的横坐标为，
与y=-2x联立可得E的横坐标为，且
则 为定值，故D正确.
故选：ABCD.
【分析】 利用双曲线的几何性质，逐项计算判断，可得答案.
12．（2023高二下·杭州）已知曲线，，及直线，下列说法中正确的是 （　　）
A．曲线在处的切线与曲线在处的切线平行
B．若直线与曲线仅有一个公共点，则
C．曲线与有且仅有一个公共点
D．若直线与曲线交于点，，与曲线交于点，，则
【答案】A,C
【知识点】导数的几何意义；曲线与方程
【解析】【解答】由 f(0)=0，
则f'(0)=1，故曲线f (x)在x=0处的切线为y=x，同理g(1)=0， ，则g'(1)=1，
故曲线g(x)在x=1处的切线为y=x-1，
即 曲线在处的切线与曲线在处的切线平行 ，故A正确；
，令f'(x)=0，解得x=1，则曲线f (x)在(-∞，1)上单调递增，在(1， +∞)上单调递减，
又当x→-∞时f(x)→-∞，当x→+∞时f(x)→0，若直线y=a与曲线f (x)仅有一个公共点，
则 或a≤0，故B错误；
曲线g (x)的定义域为(0，+∞)，
令g'(x)=0，解得x=e
故g (x)在(0，e)上单调递增，在(e，+∞)上单调递减，且g(1)=0，
作出曲线f (x)与曲线g (x)的大致图像为：
易知当x∈(0，1)时，f(x)>0，g(x)<0，即曲线f (x)与曲线g (x)在区间(0，1)上无交点；
当x∈[1，e]时， f(x)单调递减，g(x)单调递增，且
则f(e)=el-e当x∈(e， +∞)时，记h(x)= x-lnx，当x> e时h' (x) > 0恒成立，
则h(x)在(e， +∞)上单调递增，即h(x)>h(e)=e-1>0，即x>lnx>1，
又曲线f (x)在(1， +∞)上单调递减，
故f(x)< f(lnx)，即
则f(x)故曲线f (x)与g (x)有且仅有一个公共点，故C正确；
当直线y=a经过曲线f(x)与g (x)的交点时，恰好有3个公共点，且0，
由f(x1)=f(x2)=f(lnx2)，得x1=lnx2 ，由g(x2)= g(x3)=得
即 ，故D正确.
故选：ACD.
【分析】分别求出f (x)在x =0处的切线与g (x)在x=1处的切线即可判断A；求出f'(x)，即可判断出曲线f (x)的单调性，画出草图则可判断B；作出曲线f (x)与g (x)的草图，即可判断C；借助图像可知直线y=a过曲线f (x)与g (x)的交点B，由此即可得出，则可得x1=lnx2 ，，则可得出，则可判断D .
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13．（2023高二下·杭州）的展开式中的系数为　 　．
【答案】-28
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】 利用(x+y)8的展开式通项公式，
令r=5，6得，
则 的展开式中项为
故 的系数为 -28.
故答案为： - 28
【分析】 利用(x+y)8的展开式通项公式求x3y5 ，x2y6项，然后可得的展开式中 项，即可得答案.
14．（2023高二下·杭州）曲率是衡量曲线弯曲程度的重要指标定义：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率已知，则曲线在点处的曲率为　 　．
【答案】0
【知识点】导数的几何意义
【解析】【解答】 由 得 ，
则，
故曲线y= f (x)在点(1， f (1))处的曲率为
故答案为： 0.
【分析】求出原函数的导函数f'(x)与导函数的导函数f"(x)，然后代入题中公式即可求出答案.
15．（2023高二下·杭州）已知数列满足，，数列的前项和为，且，则满足的正整数的最小值为　 　．
【答案】63
【知识点】数列的求和
【解析】【解答】 由 ，a2=8>0，
得an>0，
则
故
由 得，即，解得
又n∈N*，故正整数n的最小值为63.
故答案为： 63.
【分析】 根据对数运算和递推公式可得数列 的通项公式，然后对数运算结合累乘法可得Sn，解不等式可得答案.
16．（2023高二下·杭州）设函数，则使得成立的的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质
【解析】【解答】由 向右平移2个单位，得
又为偶函数，则g(x)关于y轴对称，即f (x)关于x=-2对称，
当x≥0时，，
当x∈[0，2]时，由得，
当x∈(2， +∞)时，，得g(x)在上单调[0， +∞)递增，在(-∞，0)上单调递减，则f (x)在(-∞，-2)上单调递减，在(-2， +∞)上单调递增，
由 得|x+1+2|> |2x+2|，
即(x +3)2 > (2x+2)2
解得
故使得成立的的取值范围是
故答案为：
【分析】 利用函数的平移变换及偶函数的性质的应用，再利用导函数的正负与函数单调性的关系及绝对值不等式的解法求解，即可得答案.
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（2023高二下·杭州）如图，在四面体中，，，，，．
（1）求证：，，，四点共面．
（2）若，设是和的交点，是空间任意一点，用，，，表示．
【答案】（1）解：因为，
，
所以，因此，，，四点共面．
（2）解：由（1）知，，，
因此，则，所以，
【知识点】向量加法的三角形法则；平面向量的线性运算；平面向量的基本定理
【解析】【分析】 (1)利用向量减法的三角形法则和线性运算得证明出，即可证得 ，，，四点共面；
(2)由（1）知，，，可得出，则，再结合空间向量的线性运算可得出 关于 ，，， 的表达式.
18．（2023高二下·杭州）已知等差数列的前项和为，且，
（1）求数列的通项公式．
（2）若中的部分项组成的数列是以为首项，为公比的等比数列，求数列的前项和．
【答案】（1）解：设等差数列的公差为，则由，
可得
解得因此
（2）解：由，得，
又由是以为首项，为公比的等比数列，
得，因此，，
所以．
【知识点】等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】【分析】 (1)利用等差数列的前n项和及通项公式求出首项和公差，即可得出数列的通项公式；
(2)利用等比数列概念及通项公式求出 的通项公式，再利用等比数列求和公式求解，即可得数列的前项和．
19．（2023高二下·杭州）如图，在三棱柱中，所有棱长均为，，．
（1）证明：平面平面．
（2）求平面与平面的夹角的正弦值．
【答案】（1）证明：取中点，连接，，则．
，，为等边三角形，
，，，
，，
，，平面，
平面，
平面，平面平面．
（2）解：如图，以，，，
所在的直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系．
，，
平面的的法向量，
平面的的法向量，
，，故平面与平面的夹角的正弦值为．
【知识点】平面与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）取中点，连接，，则，再根据勾股定理证得，推出平面，即可证得平面平面；
（2） 以，，，所在的直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，求出平面的的法向量和平面的的法向量，利用向量法可求出平面与平面的夹角的正弦值．
20．（2023高二下·杭州）第19届亚运会将于2023年9月23日在杭州拉开帷幕，为了更好地迎接亚运会，杭州市政府大举加强了城市交通基础设施的建设至2023年地铁运行的里程数达到516公里，排位全国第六.同时，一张总长464公里、“四纵五横”为骨架、通达“东西南北中”十城区的快速路网也顺利完工准备接待世界各地的来宾现杭州公共出行的主流方式为地铁、公交、打车、共享单车这四种，基本可以覆盖大众的出行需求．
（1）一个兴趣小组发现，来自不同的城市的游客选择出行的习惯会有很大差异，为了验证这一猜想该小组进行了研究请完成下列列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析城市规模是否与出行偏好地铁有关？（精确到0.001）
出行方式 国际大都市 中小型城市 合计
偏好地铁 　
偏好其他 　 　
合计 　 　
（2）国际友人来杭游玩，每日的行程分成段，为了更好的体验文化，相邻两段的出行方式不能相同，且选择地铁、公交、打车、共享单车的概率是等可能的已知他每日从酒店出行的方式一定是从地铁开始，记第段行程上坐地铁的概率为，易知，．
①试证明为等比数列
②设第次选择共享单车的概率为，比较与的大小．
附：，．
【答案】（1）解：
出行方式 国际大都市 中小型城市 合计
首选地铁
首选其他
合计
零假设为城市规模与出行偏好地铁无关．
经计算，根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为城市规模与出行偏好地铁有关，此推断犯错误的概率不大于0.010．
（2）①证明：第段行程上坐地铁的概率为，
则当时，第段行程上坐地铁的概率为，不坐地铁的概率为
则，
从而，
又，所以是首项为，公比为的等比数列．
②解：由可知，
则，又，故．
【知识点】数列的应用；独立性检验的基本思想
【解析】【分析】(1)根据题意即可完成列联表，再根据公式求出，再对照临界值表即可得出结论；
(2)①根据全概率公式结合等比数列的定义即可证得 为等比数列 ；
②先求出的表达式，进而可求出p5，q5，即可比较与的大小．
21．（2023高二下·杭州）设抛物线，过焦点的直线与抛物线交于点，当直线垂直于轴时，．
（1）求抛物线的标准方程．
（2）已知点，直线，分别与抛物线交于点，．
①求证：直线过定点
②求与面积之和的最小值．
【答案】（1）解：由题意，当直线垂直于轴时，代入抛物线方程得，
则，所以，抛物线．
（2）解：①设，，直线，与抛物线联立，
得：，因此，．
设直线，与抛物线联立，得：，
因此，，则同理可得：．
当轴时，，，则直线
当斜率存在时，即，
所以
．
因此直线，
令得
综上：直线过定点．
②因为，
，
所以，
当且仅当时取到最小值．
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】 (1)利用弦长求解出p，即可求解出抛物线的标准方程；
(2)①设直线方程，与抛物线联立，韦达定理找到坐标关系，表示出直线方程，即可求出直线过定点；
②利用面积分割法求出两个三角形面积表达式，然后利用二次函数求最值，即可求出 与面积之和的最小值．
22．（2023高二下·杭州）设函数，若曲线在处的切线方程为．
（1）求实数，的值．
（2）证明：函数有两个零点．
（3）记是函数的导数，，为的两个零点，证明：．
【答案】（1）解：，
由题意知，
解得
（2）证明：即，
函数有两个零点即函数有两个零点．
，
当时，，单调递减当时，，单调递增．
又，，，故使得，
使得，命题得证．
（3）解：由，且．
要证明，即证明，即证明．
令，则
，
因此单调递减，则因此，即，
即，又，，且在上单调递增，
因此，即命题得证．
【知识点】分析法和综合法
【解析】【分析】(1)利用导数的几何意义代入f'(0)=-2，即可求出a， b的值；
(2)根据导函数判断出函数单调性，由零点存在性定理即可证明出结论；
(3)利用(1) (2)中的结论，结合f (x)单调性并构造函数并求其单调性，即可证明出 ．
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