3.2.1 第1课时 函数的单调性-2020-2021学年高一数学新教材配套课件（人教A版必修第一册）(共36张PPT)

(共36张PPT)
3.2.1 第1课时　函数的单调性
1.了解函数的单调区间、单调性等概念.
2.会划分函数的单调区间，判断单调性.
3.会用定义证明函数的单调性.
学习目标
1
自主学习
知识点一　增函数与减函数的定义
前提条件 设函数f(x)的定义域为I，区间D I 条件 x1，x2∈D，x1图示
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结论 f(x)在区间D上单调递增 f(x)在区间D上单调递减
特殊情况 当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是 __ 函数 当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是 __函数
增
减
思考1　所有的函数在定义域上都具有单调性吗？举例说明.
思考2　在增函数和减函数定义中，能否把“任意x1，x2∈I”改为“存在x1，x2∈I”？举例说明.
答案　不能.
如对于函数y＝－x2，存在－4<2，且－(－4)2<－22，但y＝－x2不是增函数.
则x2－x1与f(x2)－f(x1)同号，即x2>x1时，f(x2)>f(x1)，
所以f(x)在D上单调递增.
如果函数y＝f(x)在区间D上 ，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有 __ ，区间D叫做y＝f(x)的单调区间.
知识点二　函数的单调区间
单调递增或单调递减
(严格的)单调性
特别提醒　(1)函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，所以单调区间的端点若属于定义域，则该点处区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开.
(2)单调区间D 定义域I.
(3)遵循最简原则，单调区间应尽可能大.
1.因为f(－1)2.若f(x)为R上的减函数，则f(0)>f(1).(　　)
3.若函数f(x)在区间(1,2]和(2,3)上均单调递增，则函数f(x)在区间(1,3)上单
调递增.(　　)
4.若函数y＝f(x)在定义域上有f(1)5.若函数y＝f(x)在区间D上单调递增，则函数y＝－f(x)在区间D上单调递减.(　　)
×
√
×
×
√
小试牛刀
2
经典例题
题型一 函数单调性的判定与证明
例1　根据定义，研究函数 的单调性.
　例2　物理学中的玻意耳定律 （k为正常数）告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V 减小时，压力p将增大.试对此用函数的单调性证明.
　例3　根据定义证明函数 在区间 上单调递增.
总结：利用定义判断或证明函数单调性的步骤
证明　对于任意的x1，x2∈(－∞，0)，且x1∵x1∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2).
对于任意的x1，x2∈(0，＋∞)，且x1题型二 求单调区间并判断单调性
例4　(1)如图是定义在区间[－5,5]上的函数y＝f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？
解　y＝f(x)的单调区间有[－5，－2)，[－2,1)，[1,3)，[3,5]，
其中y＝f(x)在区间[－5，－2)，[1,3)上是减函数，
在区间[－2,1)，[3,5]上是增函数.
解　y＝|x2－2x－3|的单调区间有(－∞，－1]，[－1,1]，[1,3]，[3，＋∞)，
其中单调递减区间是(－∞，－1]，[1,3]；
单调递增区间是[－1,1]，[3，＋∞).
跟踪训练2 求下列函数的单调区间，并指出该函数在其单调区间上单调递增
还是单调递减.
其在(－∞，0)，(0，＋∞)上都单调递增.
(2)f(x)＝－x2＋2|x|＋3.
根据解析式可作出函数的图象如图所示，由图象可知，函数f(x)的单调区间为(－∞，－1]，(－1,0)，[0,1)，[1，＋∞).
f(x)在(－∞，－1]，[0,1)上单调递增，在(－1,0)，[1，＋∞)上单调递减.
题型三 单调性的应用
例5　(1)已知函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上是减函数，则实数a的取值范围为____________.
解析　f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2的开口方向向上，对称轴为x＝1－a，
∵f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上是减函数，
∴4≤1－a，
∴a≤－3，
∴a的取值范围是(－∞，－3].
(2)若函数y＝f(x)的定义域为R，且为增函数，f(1－a)解析　因为y＝f(x)的定义域为R，且为增函数，
(3) 若函数 是定义在R上的减函数，则实数a的取值范围为________．
跟踪训练3 （1）已知函数f(x)＝x2－2ax－3在区间[1,2]上具有单调性，
求实数a的取值范围.
解　函数f(x)＝x2－2ax－3的图象开口向上，
对称轴为直线x＝a，画出草图如图所示.
由图象可知函数在(－∞，a]和[a，＋∞)上都具有单调性，
因此要使函数f(x)在区间[1,2]上具有单调性，只需a≤1或a≥2，
从而a∈(－∞，1]∪[2，＋∞).
(2)若f(x)是定义在[0，＋∞)上的减函数，则不等式f(x)(3)若 是R上的单调函数，则实数a的取值范围为 。
3
当堂达标
1.函数f(x)在R上是减函数，则有
A.f(3)C.f(3)>f(5) D.f(3)≥f(5)
√
解析　因为函数f(x)在R上是减函数，3<5，
所以f(3)>f(5).
易知函数在[－3，－2)上为减函数，在[－2，0]上为增函数
2.函数y＝|x＋2|在区间[－3,0]上
A.递减 B.递增
C.先减后增 D.先增后减
√
作出y＝|x＋2|的图象，如图所示，
3.若f(x)＝x2＋2(a－2)x＋2的单调增区间为[3，＋∞)，则a的值是______.
－1
解析　∵f(x)＝x2＋2(a－2)x＋2的单调增区间为[2－a，＋∞)，
∴2－a＝3，∴a＝－1.
4.已知f(x)是定义在R上的增函数，且f(x2－2)解析　x2－2<－x，即x2＋x－2<0，解得－2(－2,1)
1.知识清单：
(1)增函数、减函数的定义.
(2)函数的单调区间.
2.方法归纳：数形结合法.
3.常见误区：
(1)函数的单调区间不能用并集.
(2)利用函数的单调性求参数的取值范围忽略函数的定义域.
课堂小结
课堂作业
作业：完成对应练习