3.2.1 第2课时 函数的最大（小）值-2020-2021学年高一数学新教材配套课件（人教A版必修第一册）(共37张PPT)

(共37张PPT)
第2课时　函数的最大(小)值
3.2.1 单调性与最大(小)值
1.了解函数的最大(小)值的概念及其几何意义.
2.会借助单调性以及图象求最值.
3.掌握求二次函数在闭区间上的最值.
学习目标
1
自主学习
知识点一　函数的最大(小)值及几何意义
最值 条件 几何意义
最大值 对于任意x∈I，都有 ，存在x0∈I，使得f(x0)＝M 函数y＝f(x)图象上最高点的纵坐标
最小值 对于任意x∈I，都有 ，存在x0∈I，使得f(x0)＝M 函数y＝f(x)图象上最低点的纵坐标
f(x)≤M
f(x)≥M
思考1　函数f(x)＝x2＋1≥－1总成立，f(x)的最小值是－1吗？
答案　f(x)的最小值不是－1，因为f(x)取不到－1.
思考2　函数的最值与值域有怎样的关系？
联系：函数的最值和值域反映的是函数的整体性质，针对的是整个定义域．（单调性研究局部性质）
区别：
(1)函数的值域一定存在，函数的最值不一定存在．
(2)若函数的最值存在，则最值一定是值域中的元素．
(3)若函数的值域是开区间，则函数无最值；若函数的值域是闭区间，则闭区间的端点值就是函数的最值．
1.图象法：作出y＝f(x)的图象，观察最高点与最低点，最高(低)点的纵坐标即为函数的最大(小)值.
2.运用已学函数的值域.
3.运用函数的单调性：
(1)若y＝f(x)在区间[a，b]上是增函数，则ymax＝ ，ymin＝ .
(2)若y＝f(x)在区间[a，b]上是减函数，则ymax＝ ，ymin＝ .
4.分段函数的最大(小)值是指各段上的最大(小)值中最大(小)的那个.
知识点二　求函数最值的常用方法
f(b)
f(a)
f(a)
f(b)
1.任何函数f(x)都有最大值和最小值.(　　)
2.若存在实数M，使f(x)≤M，则M是函数f(x)的最大值.(　　)
3.函数f(x)取最大值时，对应的x可能有无限多个.(　　)
4.如果f(x)的最大值、最小值分别为M，m，则f(x)的值域为[m，M].(　　)
×
×
√
×
小试牛刀
2
题型探究
题型一　图象法求函数的最值
例1　(1)函数f(x)在区间[－2,5]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是
A.－2，f(2) B.2，f(2)
C.－2，f(5) D.2，f(5)
√
(2)已知函数f(x)＝
解　函数的图象如图所示.
由图象可知f(x)的单调递增区间为(－∞，0)和[0，＋∞)，无递减区间.
①画出函数的图象并写出函数的单调区间；
解　由函数图象可知，函数的最小值为f(0)＝－1.
②根据函数的图象求出函数的最小值.
总结：图象法求函数最值的一般步骤
跟踪训练1　已知函数f(x)＝ 则f(x)的最大值为____.
2
解析　f(x)的图象如图：
则f(x)的最大值为f(2)＝2.
题型二　利用函数的单调性求最值
解　设x1，x2是区间[2,6]上的任意两个实数，且x1由2≤x1得x2－x1>0，(x1－1)(x2－1)>0，
于是f(x1)－f(x2)>0，
即f(x1)>f(x2).
即在x＝2时取得最大值，最大值是2，
(1)判断函数f(x)的单调性，并证明；
解　（1）f(x)是增函数，证明如下：任取x1，x2∈[3,5]且x1因为3≤x1所以x1－x2<0，(x1＋2)(x2＋2)>0，
所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)所以f(x)在[3,5]上为增函数.
(2)求函数f(x)的最大值和最小值.
（2）由(1)知，f(x)在[3,5]上为增函数，
总结：利用单调性求最值的常用结论
(1)如果函数f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，则f(x)在区间[a，b]的左、右端点处分别取得最小(大)值和最大(小)值．
(2)如果函数f(x)在区间(a，b]上是增函数，在区间[b，c)上是减函数，则函数f(x)在区间(a，c)上有最大值f(b)．
(3)如果函数f(x)在区间(a，b]上是减函数，在区间[b，c)上是增函数，则函数f(x)在区间(a，c)上有最小值f(b)．
(4)若函数y＝f(x)有多个单调区间，那就先求出各区间上的最值，再从各区间的最值中决定出最大(小)值.函数的最大(小)值是整个值域范围内的最大(小)值.
题型三　求二次函数的最值
1.定轴定区间
例3-1　已知函数f(x)＝3x2－12x＋5，当自变量x在下列范围内取值时，求函数的最大值和最小值．
(1)R；(2)[0,3]；(3)[－1,1]．
[解析]　f(x)＝3x2－12x＋5＝3(x－2)2－7，作出函数y＝f(x)的图象，
如图所示．
解：(1)当x∈R时，f(x)＝3(x－2)2－7≥－7，当x＝2时，等号成立．
故当x∈R时，函数f(x)的最小值为－7，无最大值．
(2)由图可知，在[0,3]上，函数f(x)在x＝0处取得最大值，最大值为5；
故x＝2处取得最小值，最小值为－7.
(3)由图可知，函数f(x)在[－1,1]上是减函数，在x＝－1处取得最大值，最大值为20；在x＝1处取得最小值，最小值为－4.
定轴定区间的二次函数的最值问题的解法：
解决这类问题，要画出函数的图象，根据给定的区间截取符合要求的部分，根据图象写出最大值和最小值．
经常用到的结论：当二次函数图象开口向上时，自变量距离对称轴越远，对应的函数值越大；当图象开口向下时，则相反．
2.定轴动区间
例3-2 求函数f(x)＝x2－2x＋2在区间[t，t＋1]上的最小值g(t)．
解：
当t＋1<1，即t<0时，函数f(x)在区间[t，t＋1]上为减函数，所以最小值为g(t)＝f(t＋1)＝t2＋1；
当t≤1≤t＋1，即0≤t≤1时，最小值为g(t)＝f(1)＝1；
当t>1时，函数f(x)在区间[t，t＋1]上为增函数．
所以最小值为g(t)＝f(t)＝t2－2t＋2.
3.动轴定区间
例3-3 已知函数f(x)＝x2－2ax－3，若x∈[0,2].求函数的最小值.
解　f(x)＝x2－2ax－3的对称轴为x＝a.
(1)当a≤0时，f(x)在[0,2]上为增函数，
∴f(x)min＝f(0)＝－3；
(2)当0(3)当a>2时，f(x)在[0,2]上为减函数，
∴f(x)min＝f(2)＝1－4a.
综上所述：当a≤0时，最小值为－3；
当0当a>2时，最小值为1－4a.
我们求解最小值时，讨论了对称轴在区间左侧，在区间内，在区间右侧。
思考：如果是求解最大值，该如何讨论？
题型四　函数最值的应用
例4
解
跟踪训练3
例5　某公司生产一种电子仪器的固定成本为20 000元，每生产一台仪器需增加投入
100元，已知总收益满足函数：R(x)＝ 其中x是仪器的月产量.
(1)将利润表示为月产量的函数f(x)；
解　设月产量为x台，则总成本为20 000＋100x，
(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？(总收益＝总成本＋利润)
解　当0≤x≤400时，f(x)＝－ (x－300)2＋25 000；
所以f(x)取最大值f(300)＝25 000，
当x>400时，f(x)＝60 000－100x是减函数，
f(x)<60 000－100×400<25 000.
当x＝300时，f(x)max＝25 000，
即每月生产300台仪器时利润最大，最大利润为25 000元.
(1)求解实际问题的四个步骤
①读题：分为读懂和深刻理解两个层次，把“问题情景”译为数学语言，找出问题的主要关系(目标与条件的关系).
②建模：把问题中的关系转化成函数关系，建立函数解析式，把实际问题转化成函数问题.
③求解：选择合适的数学方法求解函数.
④评价：对结果进行验证或评估，对错误加以改正，最后将结果应用于现实，作出解释或预测.
(2)数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题，用数学方法构建模型解决问题的素养，是数学核心素养的重要内容.
3
达标检测
√
2.函数f(x)＝ 在[1，＋∞)上
A.有最大值无最小值
B.有最小值无最大值
C.有最大值也有最小值
D.无最大值也无最小值
√
3.函数f(x)＝x2，x∈[－2,1]的最大值、最小值分别为
A.4,1 B.4,0
C.1,0 D.以上都不对
√
4.已知函数f(x)＝ 则f(x)的最大值、最小值分别为
A.10,6 B.10,8 C.8,6 D.以上都不对
√
5.求函数f(x)＝x2－4x－4在闭区间[t，t＋1](t∈R)上的最小值.
解　f(x)＝x2－4x－4＝(x－2)2－8.
设f(x)在[t，t＋1]上的最小值为g(t).
当t>2时，f(x)在[t，t＋1]上是增函数，
∴g(t)＝f(t)＝t2－4t－4；
当t≤2≤t＋1，即1≤t≤2时，g(t)＝f(2)＝－8；
当t＋1<2即t<1时，f(x)在[t，t＋1]上是减函数，
∴g(t)＝f(t＋1)＝t2－2t－7.
求函数最大(小)值的常用方法有：
(1)观察法，对于简单的函数，可以依据定义域观察求出最值；
(2)配方法，对于“二次函数”类的函数，一般通过配方法求最值；
(3)图象法，对于图象较容易画出来的函数，可借助图象直观地求出最值；
(4)单调性法，对于较复杂的函数，分析单调性(需给出证明)后，依据单调性确定函数最值.
课堂小结
课堂作业
作业：完成对应练习