2.2基本不等式课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册(共28张PPT)

(共28张PPT)
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2023 / 07
第 2 章 一元二次函数、方程和不等式
人教A版2019必修第一册
2.2 基本不等式
学习目标
1.掌握基本不等式及其推导过程.
2.能用基本不等式解决简单的最值问题.
3.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题.
4.在猜想论证的过程中，体会数学的严谨性
Topic. 01
01 复习导入
复习导入
重要不等式
上节课我们利用面积法和完全平方公式得出了重要不等式：
，有：
当且仅当时，等号成立.
Topic. 02
02 基本不等式
基本不等式
特别地，如果，我们用分别代替上式中的，可得：
当且仅当时，等号成立
等号成立条件
算术平均数
几何平均数
前提
条件
即：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数
基本不等式
基本不等式的证明
法一：用分析法证明：
显然，（4）是成立的.当且仅当a=b时，（4）中的等号成立.
要证（2），只要证
a+b- ≥0 （3）
要证（3），只要证
（ - ）2≥0 （4）
只要证
a+b≥ （2）
要证
（1）




基本不等式
基本不等式的证明
法二：作差法
基本不等式
基本不等式的证明
法三：用圆的性质证明
B
C
A
D
E
a
b
O
AB为圆O的直径。用,b表示线段AC,BC
OD=______
CD=______
OD_____CD
≥
“半径不小于半弦”
基本不等式
当且仅当时，等号成立
注意：一正、二定、三相等
基本不等式的常见变形式：
① ②
基本不等式链
基本不等式
1.已知，求的最小值.
解：因为，所以，
当且仅当，即，时，等号成立，
因此所求的最小值为2.
一正：各项必须为正
二定：各项之和或各项之积为定值
三相等：必须验证取等号时的条件十分具备
基本不等式
2.已知，求的最值.
解：因为，所以
，
当且仅当，即时，等号成立，
因此所求的最大值为
一正
二定
三相等
基本不等式
3. 求函数 (x＞ -1) 的最小值.
凑配法
当且仅当即=0 取“=”号.
.
解: ∵ ＞-1，∴>0.
∴当 =0 时， 函数 f(x) 的最小值是 1
配凑系数
解: ，∴.
∴
4. 若 ，求函数 的最大值.
基本不等式
当且仅当 时，取“=”号.
的最大值为
分析: 不是 常数.而 为常数
基本不等式
利用基本不等式求最值的条件：
一正、二定、三相等。
基本不等式
基本不等式
6.已知都是正数，求证：
（1）如果等于定值P，那么当时，有最小值
证明：所以
（1）等于定值P时， ，∴
当且仅当时，上式等号成立，此时有最小值
（2）如果等于定值S，那么当时，有最大值
（2）时， ，两边平方，
当且仅当时，上式等号成立，此时有最大值
①当时，，， 当且仅当时，等号成立.
②当时，， 当且仅当时，等号成立.
基本不等式
最值定理
基本不等式
分式形函数的最值求法
基本不等式
“1”的代换
当且仅当时，即
Topic. 03
03 基本不等式的应用
基本不等式的应用
例1 （1）用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？
（2）用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？
分析：（1）矩形菜园的面积是矩形的两邻边之积，于是问题转化为：矩形的邻边之积为定值，边长多大时周长最短.
（2）矩形菜园的周长是矩形两邻边之和的2倍，于是问题转化为：矩形的邻边之和为定值，边长多大时面积最大.
.
基本不等式的应用

基本不等式的应用

基本不等式的应用
例4 某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为4800m2，深为3m.如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，那么怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？
分析：贮水池呈长方体形，它的高是3m，池底的边长没有确定.如果池底的边长确定了，那么水池的总造价也就确定了.因此，应当考察池底的边长取什么值时，水池的总造价最低.
基本不等式应用


所以，将贮水池的池底边长为40m的正方形时总造价最低，最低总造价是297600元.
Topic. 04
04 课堂小结
课堂小结
1、利用基本不等式求最值时，要注意
2、已知 x, y 都是正数, P, S 是常数.
(1) xy=P x+y≥2 P (当且仅当 x=y 时, 取“=”号).
(2) x+y=S xy≤ S2(当且仅当 x=y 时, 取“=”号).
1
4
一正二定三相等