请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
2023年春季学期百色市普通高中期末教学质量调研测试 19. 解：（12分）
高二数学 答题卡
姓 名：
准考证号： 贴条形码区
注意事项
1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写
清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号， 考生禁填： 缺考标记
在规定位置贴好条形码。 违纪标记
2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 以上标志由监考人员用2B铅
0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠 笔填涂
笔答题；字体工整、笔迹清晰。
3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超
出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上 选择题填涂样 18. 解：（12分）
答题无效。 例： 正确填涂
4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂 [ × ] [ √ ] [ ／ ]
选择题（1-8是单项选择题；9-12是多项选择题）
1 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ]
2 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ]
3 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 11 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ]
4 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 12 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ]
填空题
13. 14.
15. 16.
解答题
17. 解：（10分）
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20. 解：（12分） 21. 解：（12分） 22. 解：（12分）
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{#{QQABCQIAggAAAgBAABBCUwHQCEOQkgAAAIgGgFAcoEAACQNABCA=}#}2023年春季学期百色市普通高中期末教学质量调研测试
高二数学
（满分：150分；考试用时：120分钟）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡上。
2．回答选择题时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在试卷上无效。
3．考试结束后，将答题卡交回。
一 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．名同学去听同时进行的个科技知识讲座,每名同学可自由选择其中一个,则不同的选择
种数是（ ）
A． B． C． D．
2．设是可导函数，且则（ ）
A． B． C． D．
3．若随机变量服从两点分布，其中，则以下正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．对具有线性相关关系的变量，有观测数据，已知它们之间的线性回归方程是，若 ,则（ ）
A． B． C． D．
5．设函数在定义域内可导，其图象如右图所示，则导函数
的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
6．甲乙两位游客慕名来到百色旅游，准备分别从凌云浩坤湖、大王岭原始森林、靖西鹅泉和乐业大石围天坑4个景点中随机选择其中一个，记事件A：甲和乙选择的景点不同，事件B：甲和乙恰好一人选择乐业大石围天坑，则条件概率（ ）
A． B． C． D．
7．安排名志愿者完成项工作，每人至少完成项，每项工作由人完成，则不同的安排方式共有（ ）
A．12种 B．18种 C．24种 D．36种
8．是定义在上的奇函数，当时，有恒成立，则（ ）
A． B．
C． D．
二 多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.
9．如果散点图中所有的散点都落在一条斜率为非实数的直线上，则（ ）
A．解释变量和响应变量是函数关系 B．相关系数
C．残差平方和为 D．决定系数
10．若男女排成一排，则下列说法正确的是（ ）
A．共计有种不同的排法 B．男生甲排在两端的排法总数共有种
C．男生甲、乙相邻的排法总数为种 D．男女生相间排法总数为种
11．已知某地区有名同学参加某次模拟考试（满分分），其中数学考试成绩近似服从正态分布，则下列说法正确的是（ ）
（参考数据：①；②；③）
A．根据以上数据无法计算本次数学考试的平均分
B．的值越大，成绩不低于分的人数越多
C．若，则这次考试分数高于分的约有人
D．从参加考试的同学中任取人，至少有人的分数超过分的概率为
12．已知函数，若，其中，则（ ）
A． B．
C． D．的取值范围为
三 填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．设曲线在处的切线方程为 ；
14．的展开式中含项的系数为 ；
15．将个和个随机排成一行，则两个不相邻的概率为 ；
16．已知函数，函数，若函数恰
有三个零点，则的取值范围是 ．
四 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分10分）已知，，若的展开式中， ．
（1）求的值；
（2）求 的值．
在①只有第项的二项式系数最大；②第项与第项的二项式系数相等；③所有二项式系数的和为，这三个条件中任选一个，补充在上面（横线处）问题中，解决上面两个问题（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）．
18．（本小题满分12分）某校为研究本校的近视情况与本校学生是否有长时间使用电子产品
习惯的关系，在已近视的学生中随机调查了，同时在未近视的学生中随机调查了人，得到如下数据：
长时间使用电子产品 非长时间使用电子产品
近视
未近视
（1）依据的独立性检验，能否认为患近视与长时间使用电子产品的习惯有关联？
（2）据调查，某校患近视学生约为，而该校长时间使用电子产品的学生约为，这些人的近视率约为．现从每天非长时间使用电子产品的学生中任意调查一名学生，求他患近视的概率．
附：，其中．
19．（本小题满分12分）已知函数在处有极值，且曲线
在点处的切线与直线平行．
（1）求；
（2）求函数在区间上的最值．
20．（本小题满分12分）某乡村合作社借助互联网直播平台进行农产品销售，众多网红主播
参与到直播当中，在众多网红直播中，统计了名网红直播的观看人次和农产品销售量的数据，得到如图所示的散点图．
（1）利用散点图判断，和哪一
个更适合作为观看人次和销售量的回归方程
类型；（只要给出判断即可，不必说明理由）
（2）对数据作出如下处理：得到相关统计量的值如表：
其中令，．根据（1）的判断结果及表中数据，求（单位：千件）关于（单位：十万次）的回归方程，并预测当观看人次为万人时的销售量．参考数据和公式：，
附：对于一组数据、、...、，其回归线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，．
21．（本小题满分12分）某地区拟建立一个艺术博物馆，采取竞标的方式从多家建筑公司选取一家建筑公司，经过层层筛选，甲、乙两家建筑公司进入最后的招标.现从建筑设计院聘请专家设计了一个招标方案：两家公司从个招标问题中随机各抽取个问题，已知这个招标问题中，甲公司可正确回答其中道题目，而乙公司能正确回答每道题目的概率均为，甲、乙两家公司对每题的回答都是相互独立，互不影响.
（1）求甲、乙两家公司共答对道题目的概率；
（2）设甲公司答对题数为随机变量，求的分布列、数学期望和方差；
（3）请从期望和方差的角度分析，甲、乙两家哪家公司竞标成功的可能性更大？
22．（本小题满分12分）已知函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）若函数有两个相异零点，求证：．2023 年春季学期百色市普通高中期末教学质量调研测试参考答案
高二数学
一、单选题
1 2 3 4 5 6 7 8
A B D A B C D C
二、多项选择题
9 10 11 12
ACD AD BD BCD
8 2．解析：令 g x x f x ，则 g x x xf x 2 f x ，因为 xf x 2 f x 0，所以 g x 0，
g x x2则 f x 在 0, 上递增，又 y = x2是偶函数，且 f x 是定义在 R上的奇函数，所以
g x x2 f x 是定义在 R上的奇函数，则 g x 在 ,0 上单调递增，所以
g 2 g 1 ，即 4 f 2 f 1 ，故 A 错误；
g 1 g 2 ，即 f 1 4 f 2 ，故 B 错误；
g 3 g 2 ，即 9 f 3 4 f 2 ，故 C 正确；
g 2 g 3 ，即 4 f 2 9 f 3 ，故错误，故选：C
2
12 2．解析：因为f (x) x(x 3) ，所以 f (x) 3x 12x 9 3(x 3)(x 1)
令 f (x) 0 ，解得：x 1或x 3 ，
当 f (x)＞0 时， x＜1或x＞3 ，所以 f (x)单调递增区间为（ ，1）和（3， ）
当 f (x)＜0 时， 1＜x＜3 ，所以 f (x) 单调递减区间为（1，3），
f (x) 的图象如右图所示
设 f (a) f (b) f (c) t，则0＜t＜4，0＜c＜1＜b＜3＜a＜4，故选项 A错误;
又 f (x) t (x a)(x b)(x c) ，所以 x（x 3）2 t (x a)(x b)(x c)，
即 x3 - 6 x2 9 x t x3 (a b c ) x2 (ab ac bc ) x abc ,
对照系数得 a b c 6 ，故选项 C正确.
abc t (0,4) ，故选项 D正确.
因为 3＜a＜4 ，所以 3＜6（- b c）＜4，解得 2＜b c＜3 ，故选项 B正确．
三、填空题
2 ( 1 ,0) (0, 1 )
13． y 2x 14． 32 15． 3
2
16． e e
16．解析：当 x 0 时, f (x) (x 1)e x, 所以 f (x) (x 2)e x，
当 x＜- 2时, f (x)＜0，函数 f (x) 在（ ，- 2）上单调递减,
当- 2＜x＜0 时, f (x)＞0，函数 f (x) 在（ 2，0）上单调递增,
第 1 页
{#{QQABCQIAggAAAgBAABBCUwHQCEOQkgAAAIgGgFAcoEAACQNABCA=}#}
1
且 f（0） 1，f ( 2) - 2 ，f（-1） 0e
当 x＜-1时, f (x)＜0 ,当 -1＜x 0 时, f (x)＞0
当 x 时,与一次函数 y=x+1相比,函数y e
-x
呈爆炸性增长,
f (x) (x 1)从而 -x 0，e ln x 1- ln x
当 x＞0 时, f (x) ，所以 f (x) ，
x x
2
当 0＜x＜e 时, f (x)＞0，函数 f (x) 在（0，e）上单调递增,
当e＜x＜ 时, f (x)＜0，函数 f (x) 在（e， ）上单调递减,
且 f (e)
1
，f（1） 0
e
当 x＞1 时, f (x)＞0 ,当 0＜x＜1 时, f (x)＜0
当 x 时,与对数函数 y ln x 相比,一次函数 y=x呈爆炸性增长,
ln x ln x
从而 f (x) 0 当x＞0 ,且 x 0 时, f (x) -
x x
根据以上信息,可作出函数 f(x)的大致图象:
令（f (x) 2（) f（x）- a） 0
得 f(x)=a或 f(x)=2,由图象可得 f(x)=2没有解,
所以方程（f (x) 2（) f（x）- a） 0 的解的个数与方程 f(x)=a解的个数相等,
而方程 f(x)=a的解的个数与函数 y=f(x)的图象与函数 y=a的图象的交点个数相等,
1 1
由图可知:当 a （- ,0） （0, ）时,函数 y=f(x)的图象与函数 y=a的图象有 3个交点.
e2 e
故答案为: a 1 1 （- ,0） （0, ）
2
四、解答题 e e
17．解：（1）在二项式 2x 1 n的展开式中，
若选填①，只有第 6项的二项式系数最大，则展开式中有 11项，即 n 10；.........................................4分
3 7
若选填②，第 4项与第 8项的二项式系数相等，则Cn Cn，即 n 10；.................................................4分
若选填③，所有二项式系数的和为 210，则 2n = 210，即 n 10 .故n 10；.................................................4分
（2）由（1）知 n 10，于是 2x 1 10 a a x a 2 100 1 2x a10x 中，取 x 0，得 a0 1；................6分
取 x 1，得 a0 a1 a2 a3 a10 1 ........................................................................................8分
∴所求 a1 a2 a3 an a1 a2 a3 a10 0 ................................................................................10分
18. 解：（1）零假设为H0：学生患近视与长时间使用电子产品无关.
2 200 （45 80 55 20）
2 5000
14.245 6.635 x0.01 ..............................4 分100 100 65 135 351
2
根据小概率值 0.01的 独立性检验，我们推断H0 不成立，即认为患近视与长时间使用电子产品的习惯
第 2 页
{#{QQABCQIAggAAAgBAABBCUwHQCEOQkgAAAIgGgFAcoEAACQNABCA=}#}
有关．...............................................................................6 分
（2）设 A “长时间使用电子产品的学生”，A “非长时间使用电子产品的学生”
B “任意调查一人，此人患近视” ...................................................7 分
则 P(A) 0.3,P(A) 0.7,P(B A) 0.6,P(B) 0.46 .......................................9 分
根据全概率公式有 P(B) P(A)P(B A) P(A)P(B A) 0.3 0.6 0.7 P(B A) 0.46，.......11 分
所以 P(B A) 0.4 ......................................................................12 分
19 1 f x f x 3x2．解：（ ）函数 的导函数为 2ax b，..................................1 分
f 2 0 4a b 12 a 4
由题意得 ，解得 ，......................................4 分 f 1 1 2a b 4 b 4
f x x3 4x2 4x 1
∴ ...............................................................5 分
（2）由（1）得 f x 3x2 8x 4 3x 2 x 2 ，.....................................6 分
2 2
当 3 x 0时，由 f (x)＞0，得 3 x 2或 x 0；由 f x 0，得 2 x ，
3 3
2 2
函数 f x 在[ 3, 2)， ( ,0]上单调递增，在 ( 2, )上单调递减，.......................8 分
3 3
2
∴函数 f x 在 x 2处取得极大值，在 x 处取极小值..................................9 分
3
∴ f 3 2 f 2 1 f 2 5， ， ， f 0 1，.................................10 分
3 27
∴函数 f x 在区间 3,0 上的最大值为 1，最小值为－2.....................................12 分
20．（1）解:由散点图可知，散点分布在一条对数型曲线附近，所以选择回归方程
y c d ln x更适合.......................................................................3 分
（2）解：令 lnx，则 y c d ，.......................................................4 分
10 10
2因为 i yi y 66， i 6.6，.............................................5 分
i 1 i 1
10
i yi y
所以 d
66
i 1 10 10，......................................................6 分2
6.6i
i 1
又因为 y 30.3， 2，所以 c y d 30.3 10 2 10.3，..................................7 分
第 3 页
{#{QQABCQIAggAAAgBAABBCUwHQCEOQkgAAAIgGgFAcoEAACQNABCA=}#}
所以 y与 的线性回归方程为 y 10.3 10 ，................................................8 分
故 y关于 x的回归方程为 y 10.3 10lnx.....................................................9 分
令 x 28，代入可得 y 10.3 10ln28 10.3 10 2ln2 ln7 43.6 （千件）......................11 分
所以预测观看人次为 280万人时的销售量约为 43600件........................................12 分
21．（1）解：记“甲、乙两家公司共答对 2 道题” 的事件为A，它是甲乙各答对 1 道题的事件、甲答对 2
1 2 2 1
题乙没答对题的事件和，它们互斥，则有 P(A) C C 4 23 C
1
3(
2)1(1 2 ) 2 C C 2 4 23 (1 )
3 1 ，
C6 3 3 C6 3 15
1
所以甲、乙两家公司共答对 2道题目的概率是 ..............................................3 分
15
（2）解：设甲公司答对题数为 X ，则 X 的取值分别为1,2,3，...................................4 分
C1C2 1 C2C1 3 C3C0P X 1 1 4 23 , P X 2 4 23 , P X 3 4 23 ，...............................5 分C6 5 C6 5 C6 5
则 X 的分布列为：
X 1 2 3
1 3 1
P
5 5 5
E X 1 1 2 3 1期望 3 2，方差D X (1 2)2 1 3 1 2 (2 2)2 (3 2)2 ............7 分
5 5 5 5 5 5 5
（3）解：设乙公司答对题数为Y ，则Y 的取值分别为0,1,2,3，.................................8 分
Y ~ B(3, 2) 2 2 1 2，则E（Y) 3 2，D（Y) 3 ..................................10 分
3 3 3 3 3
显然 E X E Y ,D X D Y ，........................................................11 分
所以甲公司竞标成功的可能性更大.........................................................12 分
22．(1)解：由题可知 f x lnx ax的定义域是 0 f x 1 a 1 ax（ ， ）， ，.................1 分
x x
当 a 0时， f x 0，所以 f x 在（0， ）上单调递增；......................................2 分
当 a 0时，令 f x 0 1，解得 x ，
a
0 x 1 1当 时， f x 0，所以 f x 在（0，）上单调递增，.....................................3 分
a a
1
当 x 时， f x 0，所以 f x 1在（ , ）上单调递减.........................................4 分
a a
综上：当 a 0时， f x 在（0， ）上单调递增；
1 1
当 a 0时， f x 在（0，）上单调递增，在（ , ）上单调递减..................................5 分
a a
第 4 页
{#{QQABCQIAggAAAgBAABBCUwHQCEOQkgAAAIgGgFAcoEAACQNABCA=}#}
(2)因为 f x 有两个相异的零点，又由于 x 0，故不妨设令 x1 x2 0，
且有 ln x1 ax1， ln x2 ax2，................................................................6 分
ln x1 ln x2 a x1 x2 ，ln x1 ln x2 a x1 x2 ，
要证 x1x2 e
2 ln x1x2 2 ln x1 ln x2 2 ................................................7 分
ln x ln x ln x ln x 2
（x x 1 21 2） 2 1 2 x1 x2 x1 x x x
..............................................8 分
2 1 2
2 x 1
1
2 x x x
ln x1 ln x
1 2 ln x2 1
2 ................................................9 分
x1 x x2 x2 1 1
x2
t x 1 2 t 1令 x ，则 t 1
，所以只要证明 ln t ，t 1时恒成立，
2 t 1
2 t 1
令 g t ln t ， t 1..............................................................10 分
t 1
t 1 2
g t 1 4 2 2 ，由于已知 t 1 g t 0恒成立，.................................11 分t t 1 t t 1
所以 g t 在（1， ）递增， g t g 1 0
t g t 0 2ln t t -1 1 2所以 时， 恒成立，即 恒成立，从而证明 x1x2 e ........................12 分t 1
第 5 页
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