宜宾市高2021级调研考试数学（理工类）参考答案
说明：
一、本解答给出了一种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可比照评分意见制订相应的评分细则．
二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半，如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B B C D C A D A A D C C
二、填空题
13．10 14． 15．癸未 16．≥
16.解：要使，即对恒成立,
即对恒成立，令，
当时，，当时，，所以函数在单增，在单减，
故对，即等号成立,令而在单增，
又因为故
即 故
方法二（切线放缩）： （可以证明）
（当且仅当时取等）故
17.解：（1）.............................2分
......................................4分
的单调增区间为，的单调减区间为.......................5分
，................................................6分
设切点坐标为则①...........................................7分
由得：则
由得：则.②........................................9分
由①②得................................11分
所以切点坐标为............................................................12分
18.(1)证明：取中点，连接,连接.
底面是一个边长为的菱形，且，
是正三角形，
是正三角
......................................................................6分
(2)当平面平面时，由（1）知
以为坐标原点，的正方向分别为正方向建立空间直角坐标系.
由条件知，，,,,,
的一个法向量为 设的一个法向量为，
,
令，则
平面与平面所成角的正弦值为. ...................................12分
选择物理 不选择物理 总计
男 300 140 440
女 280 180 460
总计 580 320 900
19.解：（1）依题意可得列联表
将列联表中的数据代入公式计算得
所以不能有99％的把握认为“选择物理与学生的性别有关” .......................6分
（2）得分的可能取值为0，2,4
，
所以的分布列为：
因此（分） ............12分
20.（1）解：依题意可得解得，所以椭圆的方程为...........4分
（2）设直线
可得，则，，.......................7分
因为直线的斜率，直线的斜率，因为，
所以，
所以直线和的斜率之比为定值．
存在，使得........................................12分
21.解：（1）由题得.....................1分
①当
函数在单调递减，在单调递增；.............................2分
②
函数在单调递减；............................................................3分
③
函数在单调递减，在单调递增；...........................4分
综上：函数在单调递减，在单调递增；
函数在单调递减；
函数在单调递减，在单调递增.....................5分
（2）由题得，
因为由是函数若与图象的两个交点的横坐标，
所以是函数的两个零点，
故..............................................7分
因为
要证，即证
只需证
因为令则证明
令对是恒成立，
所以在单调递减，，即恒成立，
故成立...............................................................12分
解：（1）由题可知：，，
所以的普通方程为
又，即的直角坐标方程为：...................5分
由（1）可知，的参数方程为：，代入中有：
，即 即
所以...........................10分
23.（1）当时，，解得；
当时，则有，解得；
当时，，解得.
综上所述，不等式的解集为................................................5分
（2）证明：由绝对值三角不等式可得，
当且仅当时，即当时，等号成立，故，所以，
又因为，，均为正数，
所以，
当且仅当时，等号成立，故.......................................10分2023年春期高中教育阶段学业质量监测
高二年级 理科数学
（考试时间：120分钟 总分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的考号、姓名、班级填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在试卷上的无效。
3．考试结束后将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求。
1.已知是虚数单位，复数满足，则
A．-1 B．1 C． D．
2.已知命题，则命题为
A． B．
C． D．
3.下列求导运算正确的是
A． B． C． D．
4.下图是我国2012-2018年眼镜及其零件出口金额柱状图及同比增速折线图，则下列说法正确的是
A.2012年至2018年我国眼镜及其零件出口金额逐年增加
B.2012年至2018年我国眼镜及其零件出口金额的极差为16.41
C.2013年至2018年我国眼镜及其零件出口金额同比增速逐年减少
D.2013年至2018年我国眼镜及其零件出口金额同比增速最大的是2013年
5.已知为函数图象上一点，则曲线在点处切线斜率的最小值为
A． B． C． D．
6.数据与有较强的线性相关关系，通过计算得到关于的线性回归方程为，经过分析、计算得，则样本点的残差为
A. B． C． D．64.5
7.设随机变量，，则
A．1 B．2 C．4 D．8
8.某科研院校培育大枣新品种，新培育的大枣单果质量近似服从正态分布（单位：），现有该新品种大枣10000个，估计单果质量在范围内的大枣个数约为
附：若
A．8185 B．8400 C．9974 D．9987
9.函数的部分图像大致是
A． B． C． D．
10.设，是椭圆上的两个点，且为坐标原点)，则的最大值和最小值的积为
A． B． C． D．
11.某学习小组A、B、C、D、E、F、G七名同学站成一排照相，要求A与B相邻，并且C在D的左边,E在D的右边，则不同的站队方法种数为
A．120 B．160 C．240 D．360
12.已知，则的大小关系是
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分。
13.在的展开式中，的系数为 ．
14.第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，甲、乙等4名志愿者将分别安排到游泳、射击、体操三个场地进行志愿服务，每个场地至少安排一名志愿者,且每名志愿者只能去一个场地服务，则甲、乙两名志愿者在同一个场地服务的概率为 ．
15.天干地支纪年法，源于中国，中国自古便有十天干与十二地支.十天干：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸.十二地支：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，…，以此类推，已知2023年为癸卯年，则3023年为 年.
16.已知，且对都有成立，则实数的范围为 ．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17－21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分.
17.（本题12分）
已知函数
(1)求的极值；
(2)过坐标原点作曲线的切线，求切点坐标.
18.（本题12分）
如图，在四棱锥中，底面是一个边长为的菱形，且
，侧面是正三角形.
(1)求证：；
(2)若平面平面，求平面与平面所成角的正弦值.
19.（本题12分）
四川2022年启动新高考，2025年实行首届新高考,新高考采用“3+1+2”模式.“3”为语文、数学、外语3门全国统一考试科目，不分文理科；“1”为在物理、历史2门选考科目中自主选择1门；“2”为从思想政治、地理、化学、生物4门选考科目中自主选择2门.
某校2022级高一学生选科情况如下表：
(1)完成下面的列联表，并判断能否有99％的把握认为“选择物理与学生的性别有关”？
(2)在新高考中，数学学科有如下变化：数学增加了多选题，选择题部分的结构为：第1至第8题为单选题，单选每题选对得5分，选错或不选得0分；第9至第12题为多选题，每道多选题共有4个选项，其评分标准如下：全部选对得5分，部分选对得2分，选错或不选得0分.
若在某次数学考试中，第11题正确选项为ABD,第12题正确选项为CD.某考生因找不到第11题、12题的解题思路和方法，只能对这2道题的选项进行随机选取，每个选项是否被选到是等可能的.此考生针对11、12题两道有难度的多选题，为避免得零分，采取了保守的方案，即每题均随机选取一项，求该考生11题和12题得分之和的数学期望.
附表及公式：
20.（本题12分）
已知椭圆的焦距为，为坐标原点,椭圆的上下顶点分别为,左右顶点分别为,依次连接的四个顶点构成的四边形的面积为．
(1)求的方程；
(2)过点的直线与椭圆交于（不同于）两点，问：是否存在实数使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
21.(本题12分）
已知函数．
(1)当时，讨论函数的单调性；
(2)记，若与的图像有两个交点，记交点的横坐标分别为求证：.
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中选一题作答．如果多做,则按所做的第一题计分．
22．（10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]
在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
(1)求曲线的普通方程及曲线的直角坐标方程；
(2)已知点，曲线与曲线交于A，B两点，求的值.
23．（10分）[选修4-5：不等式选讲]
已知函数.
(1)求不等式的解集；
(2)已知函数的最小值为，且都是正数，，证明：.
