河南省漯河市2022-2023学年高二下学期期末数学试题（含答案）

漯河市2022-2023学年下学期期末质量监测
高二数学
一 单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.一质点做直线运动，若它所经过的路程与时间的关系为（其中的单位：的单位：），则时的瞬时速度（单位：）为（ ）
A.37 B.38 C.39 D.40
2.有下列说法：①在残差图中，残差点比较均匀地落在以取值为0的横轴为对称轴的水平带状区域内，说明选用的模型比较合适.②决定系数用来刻画回归的效果，值越小，说明模型的拟合效果越好.③比较两个模型的拟合效果，可以比较残差平方和的大小，残差平方和越小的模型，拟合效果越不好.其中正确命题的个数是（ ）
A.0 B.1 C.2 D.3
3.已知，数列与都是等差数列，则的值是（ ）
A. B. C. D.
4.已知直线平面，且的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则实数的值为（ ）
A.2或-3 B.-2 C.3 D.-2或3
5.根据分类变量与的成对样本数据，计算得.依据的独立性检验，结论为（ ）
A.变量与不独立
B.变量与不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.01
C.变量与独立
D.变量与独立，这个结论犯错误的概率不超过0.01
6.设点为直线上任意一点，过点作圆的切线，切点分别为，则直线必过定点（ ）
A. B. C. D.
7.如图是一块高尔顿板示意图：在一块木板上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，小球从上方的通道口落下后，将与层层小木块碰撞，最后掉入下方的某一个球槽内，若小球下落过程中向左 向右落下的机会均等，则小球最终落入④号球槽的概率为（ ）
A. B. C. D.
8.某校组织甲 乙两个班的学生参加为期一天的社会实践活动，安排有酿酒 油坊 陶艺 打铁 纺织 插花 竹编制作共七项活动可供选择，每个班上午 下午各安排一项活动（同一个班上 下午的活动不重复），且同一时间内每项活动只允许一个班参加，则活动安排方案的种数为（ ）
A.1260 B.1302 C.1520 D.1764
二 多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9.在递增的等比数列中，是数列的前项和，若，则下列说法正确的是（ ）
A.
B.
C.数列是等比数列
D.数列是公差为2的等差数列
10.甲 乙两队进行排球比赛，采取五局三胜制（当一队赢得三场胜利时，该队获胜，比赛结束）根据前期比赛成绩可知在每一局比赛中，甲队获胜的概率为，乙队获胜的概率为.若前两局中乙队以领先，则下列结论正确的是（ ）
A.甲队获胜的概率为
B.乙队以3：0获胜的概率为
C.乙队以3：1获胜的概率为
D.乙队以获胜的概率为
11.下列命题中正确的是（ ）
A.若平面内两定点，则满足的动点的轨迹为椭圆
B.双曲线与直线有且只有一个公共点
C.若方程表示焦点在轴上的双曲线，则
D.过椭圆一焦点作椭圆的动弦，则弦的中点的轨迹为椭圆
12.对于函数，下列说法正确的有（ ）
A.在处取得极大值
B.有两个不同的零点
C.
D.若在上恒成立，则
三 填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）
13.随着我国疫情防控取得决定性胜利，全国消费市场逐渐回暖，某商场统计的人流量x（单位：百人）与销售额y（单位：万元）的数据表有部分污损，如下所示.
2 3 4 5 6
2.2 3.8 6.5 7.0
已知与具有线性相关关系，且线性回归方程，则表中污损数据应为__________.
14.若展开式中的系数为30，则__________.
15.已知为双曲线的左 右焦点，为坐标原点，过点且斜率为的直线交的右支于点，且，则双曲线的离心率为__________.
16.已知函数，若对恒成立，则实数的取值范围为__________.
四 解答题：（本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.）
17.（本小题满分10分）
对某种书籍每册的成本费y（元）与印刷册数x（千册）的数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.
4.83 4.22 0.3775 60.17 0.60 -39.38 4.8
表中，为了预测印刷20千册时每册的成本费，建立了两个回归模型：
（1）根据散点图，你认为选择哪个模型预测更可靠？（只选出模型即可）
（2）根据所给数据和（1）中选择的模型，求y关于x的回归方程，并预测印刷20千册时每册的成本费.
附：对于一组数据其回归直线方程的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
18.（本小题满分12分）
已知数列满足
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项的和.
19.（本小题满分12分）
如图，在四棱锥中，四边形是长方形，平面平面，平面平面，
（1）证明：平面；
（2）若为中点，求二面角的余弦值.
20.（本小题满分12分）
已知椭圆的离心率，过点和的直线与原点的距离为.
（1）求椭圆的方程；
（2）已知定点，若直线与椭圆交于两点，问：是否存在的值，使以为直径的圆过点，若存在求出的值，若不存在请说明理由.
21.（本小题满分12分）已知函数.
（1）若存在单调递增区间，求的取值范围；
（2）若为的两个不同极值点，证明：.
22.（本小题满分12分）
学史明理，学史增信，学史崇德，学史力行，近年来，某市积极组织开展党史学习教育活动，为调查活动开展的效果，市委宣传部对全市多个基层支部的党员进行了测试，并从中抽取了1000份试卷进行调查，根据这1000份试卷的成绩（单位：分，满分100分）得到如下频数分布表：
成结/分
频数 40 90 200 400 150 80 40
（1）求这1000份试卷成绩的平均数？（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.
（2）假设此次测试的成绩服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差，已知的近似值为6.61，以样本估计总体，假设有84.14%的学生的测试成绩高于市教育局预期的平均成绩，则市教育局预期的平均成绩大约为多少？（结果保留一位小数）
（3）该市教育局准备从成绩在内的120份试卷中用分层抽样的方法抽取6份，再从这6份试卷中随机抽取3份进行进一步分析，记为抽取的3份试卷中测试成绩在内的份数，求的分布列和数学期望.
参考数据：若，则，
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高二数学参考答案
1-8DBAAC BDB
9.BC 10.AB 11.BD 12.ACD
13.5.5 14.1 15. 16.
17.解：（1）由散点图可以判断，模型更可靠；
（2）令，则建立关于的线性回归直线方程，
则，
，
关于的线性回归直线方程为，
因此，关于的回归方程为，
当时，该书每册的成本费元.
18.解：（1）当为奇数时，，
所以所有奇数项构成以为首项，公差为-1的等差数列，
所以，
当为偶数时，，所以所有偶数项构成以为首项，公比为3的等比数列，
所以，
所以
（注：若考生用不完全归纳得出通项公式，给3分；且不影响后续第（2）问得分.）
（2）
.
19.解：（1）证明：四边形为长方形，，
平面平面，平面平面平面，
平面，
平面.
同理，
又平面平面，
平面.
（2）以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
则，
设为平面的法向量，
，
令，则，
平面的一个法向量.
同理可求得平面的一个法向量，
.
二面角的大小为钝角，
二面角的余弦值为.
20.解：（1）由题意可知设直线的方程为：.
依题意又，
解得，
所以椭圆方程为.
（2）假设存在这样的值，
由
得.
所以.①
设，
则②
而.
要使以为直径的圆过点，即，
则.
所以.③
将②式代入③整理解得.
经验证使①成立.
综上可知，存在，使得以为直径的圆过点.
21.解：（1）函数定义域为，
根据题意知有解，
即有解，令，
且当时，单调递增，
当时，单调递减，
所以，所以；
（2）由是的不同极值点，
知是的两根，
即，所以①，
联立可得：②，
要证，由①代入
即证，
即，由②代入
可得③，
因为，则③等价于，
令问题转化为证明④成立，而，
在上单调递增，当④成立，即得证
（注：本题证法多样，如还可以用比值换元法.
由，得，
从而，令，则，
要证，
只需证，
即证，亦即证，下面易证，从略.）
22.解：（1）设这1000份试卷成绩的平均数为，则：
.
（2）由（1）得，而，
由于，
即，
所以市委宣传部预期平均成绩大约为75.5分；
（1）由分层抽样得抽取的6份试卷中2份在内，
4份在内，的可能取值为，
则，，
即的分布列为
0 1 2
.