河南省信阳市2022-2023学年高二下学期期末数学试题（含答案）

机密★启用前
2022~2023学年普通高中高二（下）期末教学质量检测
数学试题
本试卷共6页，22题。测试时间：120分钟。卷面总分：150分。
★祝考试顺利★
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名，准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．甲盒中有3个红球，3个白球，乙盒中有4个球，2个白球，现从甲盒中取出一球放入乙盒中，再从乙盒中取出一球，记事件A：甲盒中取出的球是红球，事件B：在乙盒中取出的球是红球，则等于
A． B． C． D．
2．设两个正态分布和的密度函数图象如图所示．则有
A．， B．， C．， D．，
3．2023年5月28日国产大飞机C919由上海飞抵北京，这标志着C919商飞成功，开创了中国商业航空的新纪元．某媒体甲、乙等四名记者去上海虹桥机场、北京首都机场和中国商飞总部进行现场报道，若每个地方至少有一名记者，每个记者只去一个地方，则甲、乙同去上海虹桥机场的概率为
A． B． C． D．
4．已知曲线在处的切线方程为，则等于
A．2 B．3 C．4 D．5
5．直上九天问苍穹，天宫六人绘新篇．2023年5月30日神州十六号发射成功，神十五与神十六乘组航天员在太空性利会师，6名航天员分两排合影留念，若从神十五和神十六每组的3名航天员中各选1人站在前排，后排的4人要求同组的2人必须相邻，则不同的站法有
A．72种 B．144种 C．180种 D．288种
6．一个盒中有10个球，其中红球7个，黄球3个，随机抽取两个，则至少有一个黄球的概率为
A． B． C． D．
7．2022年卡塔尔世界杯决赛中，阿根廷队与法国队在120分钟比赛中战平，经过四轮点球大战阿根廷队以总分战胜法国队，第三次获得世界杯冠军．其中门将马丁内斯扑出法国队员的点球，表现神勇，扑点球的难度一般比较大，假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向射门，门将也会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向来扑点球，而且门将即使方向判断正确也有的可能性扑不到球．若不考虑其他因素，在点球大战中，门将在前四次扑出点球的个数X的期望为
A． B． C． D．2
8．已知抛物线的焦点为F，C的准线与对称轴交于D，过D的直线l与C交于A，B两点，且，若FB为的平分线，则等于
A． B．8 C．10 D．
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．设X，Y为随机变量，且，若，，则
A． B． C． D．
10．展开式的有理项为
A． B．80 C． D．
11．中国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为“鳖臑”．若三棱锥为鳖臑，平面ABC，，，则
A．平面PAB B．直线PA与平面PBC所成角的正弦值为
C．二面角的余弦值为 D．三棱锥外接球的表面积为
12．随机变量的分布列如下表，
-1 0 1 2
P 2a a 2a b
则下列选项正确的是
A． B． C． D．的最大值为
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知平面的法向量，直线l的方向向量，若，则________．
14．某校高二年级1200人，期末统测的数学成绩，则这次统测数学及格的人数约为（满分150分，不低于90分为及格）________．
（附：，）
15．已知双曲线与椭圆有相同的焦点，则此双曲线的离心率为________．
16．设随机变量X所有可能的取值为1，2，…，n，且，，定义．若，则当时，的最大值为________．
四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）
某校“环境”社团随机调查了某市100天中每天空气中的PM2.5和当天到街心公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：
PM2.5 锻炼人次
5 12 25
7 10 13
10 11 7
若某天的空气中的PM2.5不高于75，则称这天“空气质量好”；若某天的空气中的PM2.5高于75，则称这天“空气质量不好”．
（1）估计该市一天“空气质量好”的概率；
（2）根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？
人次≤600 人次>600
空气质量好
空气质量不好
附：，
0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
18．（本小题满分12分）
我国元代数学家朱世杰在《四元玉鉴》中研究过高阶等差数列问题，如数列满足为等差数列，称为二阶等差数列．已知二阶等差数列1，2，4，7，……．
（1）求的通项公式；
（2）设，求的前n项和．
19．（本小题满分12分）
抖音某平台在今年6月一周的时间直播间带货3.5亿元，数据分析统计如下表：
第t天 1 2 3 4 5 6 7
交易额y（单位：千万元）
（1）通过分析，发现可用线性回归模型拟合交易额y与t的关系，请用相关系数加以说明；
（2）利用最小二乘法建立y关于t的回归方程（系数精确到0.1），并预测下一周的第一天（即第8天）的交易额．
参考数据：，，；
参考公式：相关系数；
归方程中，斜率和截距的最小二桑法估计公式分别为：，．
20．（本小题满分12分）
芯片是二十一世纪最核心的科技产品，我们一直被美国卡脖子，随着中国科技的不断发展，我们在芯片技术上取得了重大突破．有些型号的芯片已经批量生产．某芯片代工公司有3台机器生产同一型号的芯片，第1，2台生产的次品率均为1%，第3台生产的次品率为2%，生产出来的芯片混放在一起．已知第1，2，3台机器生产的芯片数分别占总数的30%，40%，30%．
（1）求任取一个芯片是正品的概率；
（2）如果取到的芯片是次品，分别求出是第1台机器，第2台机器，第3台机器生产的概率．
21．（本小题满分12分）
已知椭圆过点，点A为下顶点，且AM的斜率为．
（1）求椭圆E的方程；
（2）如图，过点作一条与y轴不重合的直线，该直线交椭圆E于C、D两点，直线AD，AC分别交x轴于H，G两点，O为坐标原点．求证：为定值，并求出该定值．
22．（本小题满分12分）
已知函数有两个零点．
（1）求a的取值范围；
（2）设，是的两个零点，证明：．
2022~2023学年普通高中高二（下）期末教学质量检测
数学参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 A B A A B D C D AC AD BCD BD
1．解析：在盒中取出一个红球，放入乙盒中，则乙盒中共有7个球，其中红球5个，所以，．或．故选A．
2．解析：根据，的几何意义知，，，故选B．
3．解析：甲、乙同去上海虹桥机场的概率为．故选A．
4．解析：记，，，∴．
又，所以，曲线在处的切线方程为，即，∴．故．故选A．
5．解析：第一排的站法有，第二排的站法有，共有站法18×8=144种．故选B．
6．解析：记抽取黄球的个数为X，则X服从超几何分布，其分布列为
，，1，2．所以，
．
或．故选D．
7．解析：依题意可得，由将每次可以扑出点球的概率为．
由将在前四次扑出点球的个数X可能的取值为0，1，2，3，4．，
，，1，2，3，4．
期望．故选C．
8．解析：，，所以．过A，B分别作准线的垂线，垂足分别为，，则．因为FB为的平分线．则，又，∴，又，∴．
∴．故选D．
9．解析：由，得，又，，
∴，．故选AC．
10．解析：通项，由，∴或，当时，，当时，．故选AD．
11．解析：该几何体可以看成是长方体中截出来的三棱锥，建立如图所示的直角坐标系，则，，，，，．
∵，∴与不垂直，BC与平面PAB不垂直，选项A错误；
设平面PBC的法向量为，
则，即
令，得平面PBC的一个法向量为．
又，设PA与平面PBC所成角为，则
所以．选项B正确；
设平面PAB的法向量为，，，
则，即
令，得平面PAB的一个法向量为．
，选项C正确；
正方体的对角线为三棱锥外接球的直径，，所以，球的表面积为．选项D正确．故选BCD．
12．解析：，得．
．
0 1 4
P a 4a b
．
当且仅当时，的最大值为．故选BD．
13．解析：∵．则，即，解得．
答案：
14．解析：依题意，，，
，，
，．
答案：190
15．解析：椭圆的焦点为，，由，得，所以，双曲线的离心率．
答案，
16．解析：当时，，
则
∵，，，∴，当且仅当时，等号成立．
所以，，．
∴．即的最大值为．
答案：
17．（10分）解析：（1）由频数分布表可知，该市一天“空气质量好”的概率为．4分
（2）2×2列联表如下：
人次≤600 人次>600
空气质量好 34 38
空气质量不好 21 7
7分
，
故有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关．10分
18．（12分）解：（1）由，，，
∴，∴．2分
所以，当时，
又，也适合，所以．6分
（2），7分
①
② 9分
①－②，得
，
∴．12分
19．（12分）解：（1），，
，
所以．
因为交易额y与t的相关系数近似为0.98，说明交易额y与t的线性相关性很强，从而可用线性回归模型拟合交易额y与t的关系．5分
（2）因为，，
所以，
．
所以y关于t的回归方程为．10分
当，代入回归方程得：（千万元）亿元．
所以预测下一周的第一天的交易额约为1.1亿元．12分
20．（12分）解：（1）记事件A：机器生产的芯片为次品，记事件：第i台机器生产的芯片，则，，
，，，2分
．
．
即任取一个芯片是正品的概率0.987．5分
（2）；7分
；9分
．11分
故如果取到的芯片是次品，是第1台机器，第2台机器，第3台机器生产的概率分别为，，．12分
21．（12分）解：（1）由题意可得，解得，．
故求椭圆E的方程为．5分
（2）证明：由题意知，直线BC的斜率存在，设直线BC：，
由整理得，．
设，，则，．
，得．7分
因为，直线AD的方程为，令，解得，
则，同理可得，
∴
．（定值） 12分
22．（12分）解：（1），
当时，，在上递增，至多一个零点；
所以，．且在上递增，在上递减，须有，∴．又时，；时，．
所以，有两个零点，a的取值范围为．5分
（2）不妨设，由，则．
构造函数，
7分
因为，，∴，即，所以，在是递增，又，所以，∴，9分
∴．
又，∴．
而，，在上递减，所以，，即，所以，．12分