五年级数学第四单元多边形的面积单元讲解教案

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第4讲 多边形的面积
（思维导图+知识梳理+例题精讲+易错专练）
一、思维导图
二、知识点梳理
知识点一：比较图形的面积
在方格纸上比较图形的面积大小的方法
(1)数方格法：观察方格纸中的各图形，数出各图形各占几个格，根据图形所占方格的数量来比较它们的面积。
(2)重叠法：借助图形变换使两个图形重叠，观察两个图形能否完全重合，来比较它们的面积。(图形的形状相同适用于此方法)
(3)拼组法：将两个图形组在一起，看是否与其他图形相同。
(4)分割移补法：两个图形的形状不同，不能完全重合，但可以把图形分割平移，变成一种比较相似的图形，再比较它们的面积。
知识点二：认识底和高
1、梯形的高：上底与下底间的垂直线段为梯形的高。
2、平行四边形的底和高：从平行四边形的顶点(或一条边上任意一点)向它的对边画垂直线段，这条垂直线段就是平行四边形的高，这条对边就是高所对应的底。
3、认识三角形的底和高：三角形有三条边，三条边都可以作底边，每条边与其所对应的顶点到这条边的垂直线段就是三角形的底和高。
知识点三：平行四边形的面积
1、通过割补法把平行四边形转化为长方形，长方形的长等于原平行四边形的底，长方形的宽等于原平行四边形的高。
平行四边形的面积=底×高;用字母表示为S=ah。
2、等底等高的平行四边形的面积相等。
知识点四：三角形的面积
1、两个完全相同的三角形能拼成一个平行四边形。平行四边形的底和高分别是三角形的底和高。
2、三角形的面积是与它等底等高的平行四边形面积的一半。
3、三角形的面积=底×高÷2，用字母表示为S=ah÷2。
4、等底等高的三角形的面积相等。
知识点五：梯形的面积
1、两个完全相同的梯形，可以拼成一个平行四边形。
2、平行四边形的底等于梯形上底与下底的和，平行四边形的高等于梯形的高。
3、梯形的面积=(上底+下底)×高÷2，用字母可以表示为S=(a+b)×h÷2。
三、例题精讲
考点一：比较图形的面积
【典型一】填一填。
（1）如图①，这个平行四边形是由图( )和图( )组合成的。
（2）如图 ，这个梯形是由图( )和图( )组合成的。
【分析】
两个完全一样的三角形，可以拼成一个平行四边形；一个平行四边形和一个三角形拼成一个梯形，据此解答。
【详解】
（1）如图①，这个平行四边形是由图②和图③组合成；
（2）如图，这个梯形是由图①和图④组合成的。
【典型二】下图中各图形的面积有什么关系，请你写出3条．
【分析】图形的面积有3种关系，即大于，等于，小于．
【详解】
第一组：①③的和等于④；
第二组：①②的和等于④；
第三组：①②的和等于③．
考点二：平行四边形的面积
【典型一】用木条和铁钉钉成一个长8dm、宽6dm的长方形．把它拉成一个平行四边形后，测得平行四边形的高是3dm（如图）．平行四边形的面积比长方形的面积减少了多少平方分米？
【分析】根据长方形的面积＝长×宽，平行四边形的面积＝底×高，求出长方形和平行四边形的面积，再用长方形的面积减去平行四边形的面积即可解答问题．
【解答】解：8×6﹣8×3
＝48﹣24
＝24（平方分米）
答：平行四边形的面积比长方形的面积减少了24平方分米．
【典型二】一个平行四边形的停车场，底是65米，高是24米．平均每辆车占地15平方米，这个停车场可停车多少辆？
【分析】根据平行四边形的面积＝底×高，先求出这个停车场的面积，平均每辆车占地15平方米，用停车场的面积再除以15即可解答问题．
【解答】解：65×24÷15
＝1560÷15
＝104（辆）
答：这个停车场可停车104辆．
考点三：三角形的面积
【典型一】一个直角三角形，其中两条直角边分别是3cm、4cm，斜边上的高是2.4cm，那么斜边长是　5　cm．
【分析】根据三角形的面积公式：S＝ah÷2，那么a＝2S÷h，把数据代入公式求出这个三角形的面积，进而求出斜边的长度，
【解答】解：3×4÷2×2÷2.4
＝12÷2.4
＝5（厘米）
答：斜边长是5厘米．
故答案为：5．
【典型二】乐乐家在一块空地上种满了鲜花（如下图）。如果每平方米土地的鲜花卖200元，一共可以卖多少元？
【分析】
根据直角三角形面积公式：S＝ab÷2（a、b为两条直角边）计算出这块空地的面积，再乘每平方米卖的钱数，即可求得一共收入多少。
【详解】
3.5×4÷2×200
＝7×200
＝1400（元）
答：一共可以卖1400元。
考点四：梯形的面积
【典型一】有一块平行四边形菜地，分成三块种菜，第一块种西红柿，第二块种辣椒，第三块种茄子．
（1）每块菜地占地面积分别是多少平方米？
（2）如果每平方米收辣椒7.5kg，辣椒地可收辣椒多少千克？
【分析】（1）根据三角形的面积公式：S＝ah÷2，平行四边形的面积公式：S＝ah，梯形的面积公式：S＝（a+b）h÷2，把数据分别代入公式解答．
（2）根据单产量×数量＝总产量，据此列式解答．
【解答】解：（1）24×25÷2＝300（平方米）
16×25＝400（平方米）
（10+34）×25÷2
＝44×25÷2
＝550（平方米）
答：西红柿的面积是300平方米，辣椒的面积是400平方米，茄子的面积是550平方米．
（2）7.5×400＝3000（千克）
答：辣椒地可收辣椒3000千克．
【典型二】如图，一块梯形草地中有一条2米宽的长方形小路，已知小路的面积是16平方米，求草地的面积．
【分析】先根据中间小路的面积和宽，求出小路的长，即梯形的高．然后根据梯形面积计算公式：梯形面积＝（上底+下底）×高÷2，列式解答即可．
【解答】解：这块梯形草地的高是：
16÷2＝8（米）
这块梯形草地的面积是：
[（4+6）+18﹣2]×8÷2
＝26×8÷2
＝104（平方米）
答：草地的面积是104平方米．
四、易错专练
一、选择题（满分16分）
1．下图是一个直角三角形和一个正方形组成的梯形，已知直角三角形的面积是15平方厘米，那么梯形的高是（ ）厘米，面积是（ ）平方厘米。
A．6；51 B．112；16.5 C．3；33 D．33；51
2．一个平行四边形的面积是20cm2，和它等底等高的三角形的面积是（ ）cm2。
A．10 B．20 C．30 D．40
3．一个梯形的上底、下底和高都扩大到原来的2倍，则面积就扩大到原来的（ ）倍。
A．6 B．4 C．8 D．2
4．下面有（ ）个图形的面积与的面积一样大。
A．4 B．3 C．2 D．1
5．一个三角形与一个平行四边形的面积相等，底也相等。如果三角形的高是6厘米，那么平行四边形的高是（ ）厘米。
A．3 B．6 C．12
6．一个梯形的面积是28平方米，下底是8米，高是4米，上底是（ ）米。
A．6 B．7 C．8 D．9
7．正确计算下图平行四边形面积的算式是（ ）。
A．12×10 B．12×9 C．9×10
8．一个直角三角形的三条边分别是3厘米、4厘米和5厘米，它的面积是（ ）平方厘米。
A．6 B．7.5 C．10 D．12
二、填空题（满分16分）
9．一个梯形的上底是18cm，如果高和下底不变，上底增加8cm，就变成了一个平行四边形，面积增加26cm2，原来这个梯形的面积是( )cm2。
10．用两个完全相同的梯形拼成一个平行四边形，已知平行四边形的底是10cm，高是4cm。每个梯形的上、下底之和是( )cm，面积是( )cm2。
11．如图：
同学们，你知道吗？笑笑和淘气在学习平行四边形的面积时，通过画图的方法探究发现，图形A的底是( )厘米，高是( )厘米，面积是( )平方厘米，还根据图形A的面积推导出图形B的面积是( )平方厘米。
12．如图直角三角形的周长是12厘米，它的面积是( )平方厘米。
13．如图平行四边形两条边的长度分别是8.5cm和5cm，其中一条边上的高是7cm。这个平行四边形的面积是( )cm2。
14．一个三角形的面积是，与它等底等高的平行四边形的面积是( )。
15．一个三角形的底是12分米，高是5分米，与这个三角形等底等高的平行四边形的面积是( )平方分米。
16．一个梯形，上底是20厘米，如果把上底延长5厘米，它就变成了面积是200平方厘米的平行四边形，原来这个梯形的面积是( )平方厘米。
三、判断题（满分8分）
17．每个三角形都有无数条高。( )
18．一个梯形的上底、下底和高都扩大到原来的2倍，则它的面积就扩大到原来的8倍。( )
19．一个平行四边形的底是8cm，高是4cm．一个底和面积与它相等的三角形，高一定是2cm． ( )
20．一个平行四边形的底增加2 cm，对应的高减少2 cm，这个平行四边形的面积不变．( )
四、图形计算题（满分12分）
21．(12分)计算下面图形的面积。（单位：米）
五、作图题（满分12分）
22．(12分)在下面方格上画上平行四边形，三角形、梯形各一个，使它们的面积都等于长方形面积。
六、解答题（满分36分）
23．(6分)一个平行四边形和一个三角形的面积相等，平行四边形的底是18分米，高是12分米，三角形的底是16分米。算一算这个三角形的高是多少厘米？
24．(6分)王叔叔用篱笆围成一个直角梯形养鸭场地（如图），其中一边靠墙，另三边用篱笆围起来，三边的篱笆总长是25米。这个养鸡场的面积是多少平方米？
25．(6分)李爷爷家有一块长方形的菜园，菜园中间有一条小路（如下图），这条小路的面积为66m2，这个菜园的实际面积是多少平方米？（单位：米）
26．(6分)一块形状是三角形的交通标志牌，底是1.2m，高是0.9m，如果用油漆刷这块标志牌的一面，每平方米用油漆0.7kg，至少用油漆多少千克？
27．(6分)一个梯形的高是8厘米，如果上底减少5厘米，它就变成一个三角形；如果上底增加3厘米，它就变成一个正方形。这个梯形的面积是多少平方厘米？
28．(6分)一块平行四边形菜地，底是18米，高是15米，平均每平方米收黄瓜3.2千克，这块地一共收黄瓜多少千克？
参考答案
1．A
【解析】
【分析】
观察图形可知，梯形高等于三角形的高也就是正方形的边长，已知三角形面积和底，根据三角形面积公式：面积＝底×高÷2，高＝面积×2÷底，代入数据，求出三角形的高，进而求出梯形的上底、下底和高的长度，再根据梯形的面积公式：面积＝（上底＋下底）×高÷2，代入数据，即可解答。
【详解】
梯形的高：15×2÷5
＝30÷5
＝6（厘米）
梯形面积：（6＋6＋5）×6÷2
＝（12＋5）×6÷2
＝17×6÷2
＝102÷2
＝51（平方厘米）
答案：A
【点评】
也可以利用正方形面积加上三角形面积的和求出梯形面积。
2．A
【解析】
【分析】
根据平行四边形面积公式：底×高，三角形的面积公式：底×高÷2，由此即可知道等底等高的三角形和平行四边形，平行四边形的面积是三角形面积的2倍，由此即可求出三角形的面积。
【详解】
20÷2＝10（平方厘米）
答案：A。
【点评】
主要考查三角形、平行四边形的面积公式，熟练掌握它们的面积公式并灵活运用。
3．B
【解析】
【分析】
梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2，上底、下底和高到扩大到原来的2倍。（上底×2＋下底×2）×高×2÷2，整理得：（上底＋下底）×2×高×2÷2，即（上底＋下底）×高÷2×4，所以面积应该是扩大了4倍。
【详解】
我们可以举个例子。比如上底＝1米，下底＝2米，高＝2米，则面积＝（1＋2）×2÷2＝3平方米。如果上底、下底和高都扩大到原来得2倍，上底＝1×2＝2米，下底＝2×2＝4米，高＝2×2＝4米，扩大2倍后得面积＝（2＋4）×4÷2＝12平方米。面积由3平方米变成12平方米，扩大到原来的4倍。
答案：B
【点评】
此题主要考查：当梯形的上底、下底和高扩大a倍，面积扩大a的平方倍。
4．B
【解析】
【分析】
由图可以看出，②是一个正方形，面积比①小；④是一个平行四边形，和①等底等高，面积相等；③⑤可以用割补法把图形转化成①；据此回答。
【详解】
由分析可得：③④⑤的面积和①一样大；
答案：B
【点评】
要熟练掌握长方形和平行四边形的面积公式。
5．A
【解析】
【分析】
假设三角形与一个平行四边形的面积，根据三角形的面积和高计算出三角形的底边，根据平行四边的面积和三角形的底边计算出平行四边形的高。
【详解】
假设三角形的面积＝平行四边形的面积＝24平方厘米
平行四边形的底：24×2÷6
＝48÷6
＝8（厘米）
平行四边形的高：24÷8＝3（厘米）
答案：A
【点评】
三角形和平行四边形面积和底都相等时，平行四边形高是三角形高的一半。
6．A
【解析】
【分析】
梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，据此可得：上底＝梯形的面积×2÷高－下底，代入数据计算即可。
【详解】
28×2÷4－8
＝56÷4－8
＝14－8
＝6（米）
答案：A
【点评】
考查了梯形面积公式的灵活运用。
7．C
【解析】
【分析】
根据平行四边形高的定义：从平行四边形一条边上的一点到它的对边引一条垂线，这点和垂足之间的线段叫做平行四边形的高。，以长12厘米的边做底，对应的高是7.5厘米；以长9厘米的边作底，对应的高是10厘米，据此解答。
【详解】
以12厘米的边作为底，面积是：12×7.5
以9厘米的边作为底，面积是：9×10
答案：C
【点评】
考查了对平行四边形高的定义的认识，正确认识平行四边形的底及对应的高及是解答的关键。
8．A
【解析】
【分析】
根据直角三角形中斜边最长，可知：两条直角边分别为3厘米和4厘米，然后根据三角形的面积＝底×高÷2进行解答即可。
【详解】
3×4÷2
＝12÷2
＝6（平方厘米）
所以答案为：A
【点评】
解答此题的关键是先判断出两条直角边的长度，然后根据三角形的面积计算公式进行解答即可。
9．143
【解析】
【分析】
梯形的上底增加8cm，就变成了一个平行四边形，则梯形的下底是18＋8＝26（cm）；增加的部分是三角形，底是8cm，面积是26cm2，根据“三角形的面积＝底×高÷2”求出高（也是梯形的高）是26×2÷8＝6.5（cm）。梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，据此求出原来这个梯形的面积。
【详解】
18＋8＝26（cm）
26×2÷8＝6.5（cm）
（18＋26）×6.5÷2
＝44×6.5÷2
＝143（cm2）
【点评】
根据平行四边形的特征求出梯形的下底；要理解增加的部分是三角形，继而求出梯形的高。
10．10 20
【解析】
【分析】
根据题意可知，两个完全一样的梯形拼成一个平行四边形，一个梯形的面积等于平行四边形面积的一半；梯形的高与拼成的平行四边形的高相等；已知平行四边形的底是10cm，平行四边形的底等于梯形的上底与下底的和，梯形的上底与下底的和是10cm；高是4cm；根据平行四边形面积公式：底×高；求出平行四边形面积，再除2，求出一个梯形的面积，据此解答
【详解】
上、下底之和是10cm
梯形面积：10×4÷2
＝40÷2
＝20（cm2）
【点评】
考查梯形面积公式推导，关键是找出梯形与平行四边形之间的关系。
11．3 4 12 12
【解析】
【分析】
观察图形可知，平行四边形A底是3厘米，高是4厘米，且平行四边形A、平行四边形B和平行四边形C是等底等高的平行四边形，这三个平行四边形面积相等；根据平行四边形面积公式：底×高；代入数据，求出平行四边形A的面积，进而求出平行四边形B的面积，据此解答。
【详解】
图形A的底是3厘米，高是4厘米，面积是12平方厘米；还根据图形A的面积推导出B的面积是12平方厘米。
【点评】
考查平行四边形面积公式的应用，关键明确等底等高的平行四边形面积相等，
12．6
【解析】
【分析】
已知三角形的周长和两条边，求出另一条边，用三角形周长减去另两条边；根据三角形面积公式：底×高÷2；因为是直角三角形，面积等于两条直角边相乘除以2，就是这个三角形的面积。
【详解】
（12－5－3）×3÷2
＝（7－3）×3÷2
＝4×3÷2
＝12÷2
＝6（平方厘米）
【点评】
考查三角形面积公式的应用，关键是熟记公式，灵活运用。
13．35
【解析】
【分析】
根据直角三角形的特征，在直角三角形中，斜边最长，由此可以确定5厘米底边对应的高是7厘米，根据平行四边形的面积公式：S＝ah，把数据代入公式解答。
【详解】
5×7＝35（cm2）
【点评】
此题主要考查平行四边形面积公式的灵活运用，关键是熟记公式，注意：底和高的对应。
14．48
【解析】
【分析】
根据平行四边形的面积＝底×高，三角形面积＝底×高÷2，可知两个图形的底和高相同，平行四边形的面积就是三角形面积的2倍。据此解答。
【详解】
24×2＝48（平方厘米）
【点评】
主要考查了平行四边形和三角形面积公式的运用及他们之间的联系。
15．60
【解析】
【分析】
根据题意可知，平行四边形的底是12分米，高是5分米，根据平行四边形的面积＝底×高，代入数据计算即可。
【详解】
12×5＝60（平方分米）
平行四边形的面积是60平方分米。
【点评】
此题考查了平行四边形的面积计算，牢记公式，解答即可。
16．180
【解析】
【分析】
梯形面积计算，先求出梯形的下底，即平行四边形的边，再求出梯形的高，即平行四边形的高，最后求梯形面积。
【详解】
梯形的下底长度：20＋5＝25（厘米）
梯形的高：
200÷25＝8（厘米）
梯形面积：
（20＋25）×8÷2
＝45×8÷2
＝180（平方厘米）
【点评】
此题考查的是平行四边形和梯形的面积计算，注意公式的正向应用和逆向应用。
17．×
【解析】
【分析】
从三角形一个顶点向它的对边作一条垂线，垂线顶点和垂足之间的线段称三角形这条边上的高。由定义可知，三角形有3个顶点、3条边，所以三角形有三条高。
【详解】
由三角形高的定义得：三角形有3条高，故原题干说法错误。
答案：×
【点评】
考查三角形高的定义，由三角形高的定义可知三角形有3条高。
18．×
【解析】
【分析】
根据梯形的面积公式：S＝（a＋b）h÷2，再根据积的变化规律，两个数相乘，一个因数扩大a倍，另一个因数扩大b倍，积就扩大它们的乘积倍。据此判断。
【详解】
根据分析可知：梯形的上底、下底和高都扩大到原来的2倍，梯形的面积就扩大到原来的2×2＝4倍。
答案：×
【点评】
此题考查的目的是理解掌握梯形的面积公式、积的变化及应用。
19．×
【解析】
【详解】
考查的主要内容是平行四边形的面积的应用问题，根据平行四边形的面积公式进行分析即可.
20．×
【解析】
【详解】
平行四边形的面积=底×高，如果一个平行四边形的底增加2cm，对应的高减少2cm，这个平行四边形的面积会变，据此判断
21．24平方米；27平方米；64平方米
【解析】
【分析】
平行四边形的面积＝底×高，三角形的面积＝底×高÷2，梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，带入数据计算即可。
【详解】
（平方米）；
12×4.5÷2
＝54÷2
＝27（平方米）；
（10.6＋5.4）×8÷2
＝16×4
＝64（平方米）
22．见详解
【解析】
【分析】
图中的长方形的面积＝4×2＝8。根据平行四边形的面积＝底×高＝8，三角形的面积＝底×高÷2＝8，梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2＝8，确定各图形底和高的格数。
【详解】
4×2＝8，平行四边形的底是4，高是2（答案不唯一）；4×4÷2＝8，三角形的底是4，高是4（答案不唯一）；（1＋3）×4÷2＝8，梯形的上底是1，下底是3，高是4（答案不唯一）。作图如下：
【点评】
根据长方形的面积确定各图形的底和高是画图的关键。
23．27厘米
【解析】
【分析】
根据平行四边形面积公式：面积＝底×高，代入数据，求出平行四边形的面积，平行四边形面积＝三角形面积，根据三角形面积公式：面积＝底×高÷2，高＝面积×2÷底，代入数据，即可解答。
【详解】
18×12×2÷16
＝216×2÷16
＝432÷16
＝27（厘米）
答：这个三角形的高是27厘米。
【点评】
熟练掌握和灵活运用平行四边形面积公式和三角形面积公式是解答的关键。
24．68平方米
【解析】
【分析】
根据题意可知，用三边的总长减去8米，就是这个梯形的上底与下底的和，再根据梯形面积公式：（上底＋下底）×高÷2，代入数据，即可解答。
【详解】
（25－8）×8÷2
＝17×8÷2
＝136÷2
＝68（平方米）
答：这个养鸡场的面积是68平方米。
【点评】
考查梯形的面积公式的应用，关键明确上底与下底的和等于三边的总长减去高的长。
25．550平方米
【解析】
【分析】
观察图形可知，这条小路是一个平行四边形。平行四边形的面积＝底×高，据此用66除以6即可求出平行四边形的高，即是长方形菜园的宽。两部分阴影通过平移组成一个长方形，长方形的面积＝长×宽，据此求出菜园的实际面积。
【详解】
66÷6＝11（米）
50×11＝550（平方米）
答：这个菜园的实际面积是550平方米。
【点评】
考查利用平移求图形面积的实际应用，根据平行四边形的面积公式求出长方形的宽是解题的关键。
26．0.378千克
【解析】
【分析】
根据题意，先利用三角形的面积公式：S＝ah÷2，求出交通标志牌的面积，每平方米的用漆量乘它的面积，进而可以求出用漆量。
【详解】
1.2×0.9÷2×0.7
＝0.54×0.7
＝0.378（千克）
答：至少要用油漆0.378千克。
【点评】
解答此题的关键是先求出交通标志牌的面积，再用面积乘每平方米的用漆量即可得解。
27．52平方厘米
【解析】
【分析】
根据题意可知，上底减少5厘米，它就变成一个三角形，说明上底是5厘米，如果上底增加3厘米，它就变成正方形，说明梯形的下底与高相等，等于8厘米；根据梯形面积公式：（上底＋下底）×高÷2，代入数据，即可解答。
【详解】
（5＋8）×8÷2
＝13×8÷2
＝104÷2
＝52（平方厘米）
答：这个梯形的面积是52平方厘米。
【点评】
考查梯形面积公式的应用，关键理解题意，找出梯形的上底和下底。
28．864千克
【解析】
【分析】
先根据平行四边形面积公式计算出这块菜地的面积，再乘每平方米收黄瓜的重量，即可求出这块地一共收黄瓜的重量。
【详解】
18×15＝270（平方米）
270×3.2＝864（千克）
答：这块地一共收黄瓜864千克。
【点评】
考查平行四边形面积公式的应用，关键是牢记公式
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