2014年新人教版高二数学（理科）上学期期中测试卷A卷（必修3，选修2-3，含详细解析）
一．选择题（共10小题）
1．某学校为了调查高三年级的200名文科学生完成课后作业所需时间，采取了两种抽样调查的方式：第一种由学生会的同学随机抽取20名同学进行调查；第二种由教务处对该年级的文科学生进行编号，从001到200，抽取学号最后一位为2的同学进行调查，则这两种抽样的方法依次为（ ）
A． 分层抽样，简单随机抽样 B．简单随机抽样，分层抽样
C． 分层抽样，系统抽样 D．简单随机抽样，系统抽样
2．某校开设A类选修课3门，B类选择课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有（ ）【来源：21cnj*y.co*m】
A． 30种 B．35种 C．42种 D．48种
3．把4名男生和4名女生排成一排，女生要排在一起，不同排法的种数为（ ）
A．A88 B． A55A44 C．A44A44 D． A85
4．要排有5个独唱和3个合唱节目的演出节目表，若合唱节目不排头，且任何两个合唱节目不相邻，则不同的法的种数（ ）www-2-1-cnjy-com
A．A88 B．A55A33 C． A55A53D． A55A83
5．将2名教师6名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和3名学生组成，不同的安排方案共有（ ）
A． 240种 B．120种 C．40种 D．20种
6．从4台A型笔记本电脑与5台B型笔记本电脑中任选3台，其中至少要有A型和B型笔记本电脑各一台，则不同的选取方法共有（ ）
A． 140种 B． 84种 C．70种 D．35种
7．用0，3，4，5，6排成无重复字的五位数，要求偶数字相邻，奇数字也相邻，则这样的五位数的个数是（ ）
A． 36 B．32 C．24 D．20
8．袋中有大小相同的5个球，分别标有1，2，3，4，5五个号码，现在有放回抽取的条件下依次取出两个球，设两个球号码之和为随机变量ξ，则ξ所有可能取值的个数是（ ）
A． 5 B．9 C．10 D．25
9．在x（1+x）6的展开式中，含x3项的系数为（ ）
A． 30 B．20 C．15 D．10
10．在二项式的展开式中，前三项的系数成等差数列，把展开式中所有的项重新排成一列，则有理项都不相邻的概率为（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（共6小题）
11．已知程序框图如图，则输出的i= ．
12．《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在20～80mg/100mL（不含80）之间，属于酒后驾车；血液酒精浓度在80mg/100mL（含80）以上时，属醉酒驾车．据有关调查，在一周内，某地区查处酒后驾车和醉酒驾车共500人．如图是对这500人血液中酒精含量进行检测所得结果的频率分布直方图，则属于醉酒驾车的人数约为 _________ ．
13．已知随机变量X的分布列如下，则EX的值等于 _______
X
1
2
3
P
m
14．如果随机变量ξ～N（﹣1，ξ2），且P（﹣3≤ξ≤﹣1）=0.4，则P（ξ≥1）= _____．
15．若（ax2+）6的展开式中x3项的系数为20，则a2+b2的最小值为 _____ ．
16．某广场中心建造一个花圃，花圃分成5个部分（如图），现有4种不同颜色的花可以栽种，若要求每部分必须栽种一种颜色的花且相邻部分不能栽种同样颜色的花，则不同的栽种方法有 ____ 21世纪教育网版权所有
种．（用数字作答）
三．解答题（共5小题）
17．对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M名学生作为样本，得到这M名学生参加社区服务的次数．根据此数据作出了频数与频率的统计表如下，频率分布直方图如图：
分组
频数
频率
[10，15）
10
0.25
[15，20）
24
n
[20，25）
m
p
[25，30）
2
0.05
合计
M
1
（1）求出表中M，p及图中a的值；
（2）若该校高三学生有240人，试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间[10，15）内的人数；
（3）在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人，求至多一人参加社区服务次数在区间[25，30）内的概率．【出处：21教育名师】
18．某射击运动员射击1次，击中目标的概率为．他连续射击5次，且每次射击是否击中目标相互之间没有影响．21*cnjy*com
（1）求在这5次射击中，恰好击中目标2次的概率；
（2）求在这5次射击中，至少击中目标2次的概率．
19．在（2x﹣3y）10的展开式中，求：
（1）二项式系数的和；
（2）各项系数的和；
（3）奇数项的二项式系数和
（4）奇数项系数和
（5）x的奇次项系数和．
20．某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有5名工人，其中有3名女工人，现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核．21·世纪*教育网
（1）求从甲、乙两组各抽取的人数；
（2）求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率；
（3）记ξ表示抽取的3名工人中男工人数，求ξ的分布列及数学期望．
21．在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为圆心的圆与直线：相切．
（1）求圆O的方程；
（2）若圆O上有两点M、N关于直线x+2y=0对称，且，求直线MN的方程；
（3）圆O与x轴相交于A、B两点，圆内的动点P使|PA|、|PO|、|PB|成等比数列，求的取值范围．
参考答案及解析
一．选择题（共10小题）
1．某学校为了调查高三年级的200名文科学生完成课后作业所需时间，采取了两种抽样调查的方式：第一种由学生会的同学随机抽取20名同学进行调查；第二种由教务处对该年级的文科学生进行编号，从001到200，抽取学号最后一位为2的同学进行调查，则这两种抽样的方法依次为（ ）
A． 分层抽样，简单随机抽样 B．简单随机抽样，分层抽样
C． 分层抽样，系统抽样 D．简单随机抽样，系统抽样
2．某校开设A类选修课3门，B类选择课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有（ ）
A． 30种 B．35种 C．42种 D．48种
答案：A
解：可分以下2种情况：①A类选修课选1门，B类选修课选2门，有C31C42种不同的选法；
②A类选修课选2门，B类选修课选1门，有C32C41种不同的选法．
∴根据分类计数原理知不同的选法共有C31C42+C32C41=18+12=30种．
故选A．
3．把4名男生和4名女生排成一排，女生要排在一起，不同排法的种数为（ ）
A．A88 B． A55A44 C．A44A44 D． A85
答案：B
解：按分步计数原理，第一步，将女生看成一个整体，则有A55种方法；
第二步，将女生排列，有A44种排法．故总共有A55A44种排法．
故选B
4．要排有5个独唱和3个合唱节目的演出节目表，若合唱节目不排头，且任何两个合唱节目不相邻，则不同的法的种数（ ）2·1·c·n·j·y
A．A88 B．A55A33 C． A55A53D． A55A83
5．将2名教师6名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和3名学生组成，不同的安排方案共有（ ）
A． 240种 B．120种 C．40种 D．20种
答案：C
解：第一步，为甲地选一名老师，有=2种选法；
第二步，为甲地选两个学生，有=20种选法；
第三步，为乙地选1名教师和3名学生，有1种选法．
故不同的安排方案共有2×20×1=40种．
故选：C．
6．从4台A型笔记本电脑与5台B型笔记本电脑中任选3台，其中至少要有A型和B型笔记本电脑各一台，则不同的选取方法共有（ ）
A． 140种 B． 84种 C．70种 D．35种
7．用0，3，4，5，6排成无重复字的五位数，要求偶数字相邻，奇数字也相邻，则这样的五位数的个数是（ ）21教育网
A． 36 B．32 C．24 D．20
答案：D
解：按首位数字的奇偶性分两类：
一类是首位是奇数的，有：A22A33；
另一类是首位是偶数，有：（A33﹣A22）A22
则这样的五位数的个数是：A22A33+（A33﹣A22）A22=20．
故选D．
8．袋中有大小相同的5个球，分别标有1，2，3，4，5五个号码，现在有放回抽取的条件下依次取出两个球，设两个球号码之和为随机变量ξ，则ξ所有可能取值的个数是（ ）2-1-c-n-j-y
A． 5 B．9 C．10 D．25
答案：B
解：根据题意，分析可得，
这是有放回抽样，号码之和可能的情况为：2、3、4、5、6、7、8、9、10，
共9种；
故选B．
9．在x（1+x）6的展开式中，含x3项的系数为（ ）
A． 30 B．20 C．15 D．10
10．在二项式的展开式中，前三项的系数成等差数列，把展开式中所有的项重新排成一列，则有理项都不相邻的概率为（ ）
A． B． C． D．
答案：D
解：展开式的通项为
∴展开式的前三项系数分别为
∵前三项的系数成等差数列
∴解得n=8
所以展开式共有9项，
所以展开式的通项为=
当x的指数为整数时，为有理项
所以当r=0，4，8时x的指数为整数即第1，5，9项为有理项共有3个有理项
所以有理项不相邻的概率P=．
故选D
二．填空题（共6小题）
11．已知程序框图如图，则输出的i= 9 ．
解：S=1，i=3不满足条件S≥100，执行循环体
S=1×3=3，i=3+2=5，不满足条件S≥100，执行循环体
S=3×5=15，i=5+2=7，不满足条件S≥100，执行循环体
S=15×7=105，i=7+2=9，满足条件S≥100，退出循环体
此时i=9
故答案为：9
12．《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在20～80mg/100mL（不含80）之间，属于酒后驾车；血液酒精浓度在80mg/100mL（含80）以上时，属醉酒驾车．据有关调查，在一周内，某地区查处酒后驾车和醉酒驾车共500人．如图是对这500人血液中酒精含量进行检测所得结果的频率分布直方图，则属于醉酒驾车的人数约为 75 ．21cnjy.com
解：∵血液酒精浓度在80mg/100ml（含80）以上时，属醉酒驾车，
通过频率分步直方图知道属于醉驾的频率是（0.005+0.01）×10=0.15，
∵样本容量是500，
∴醉驾的人数有500×0.15=75
故答案为：75．
13．已知随机变量X的分布列如下，则EX的值等于
X
1
2
3
P
m
解：由题意，，∴m=
∴EX=1×+2×+3×=
故答案为
14．如果随机变量ξ～N（﹣1，ξ2），且P（﹣3≤ξ≤﹣1）=0.4，则P（ξ≥1）= 0.1 ．
解：∵ξ～N（﹣1，σ2），∴图象关于x=﹣1对称
∵P（﹣3≤ξ≤﹣1）=0.4，
∴P（﹣1≤ξ≤1）=0.4，
∴P（ξ≥1）=0.5﹣0.4=0.1
故答案为：0.1
15．若（ax2+）6的展开式中x3项的系数为20，则a2+b2的最小值为 2 ．
解：（ax2+）6的展开式中x3项的系数为20，
所以Tr+1==，
令12﹣3r=3，∴r=3，，
∴ab=1，
a2+b2≥2ab=2，当且仅当a=b=1时取等号．
a2+b2的最小值为：2．
故答案为：2．
16．某广场中心建造一个花圃，花圃分成5个部分（如图），现有4种不同颜色的花可以栽种，若要求每部分必须栽种一种颜色的花且相邻部分不能栽种同样颜色的花，则不同的栽种方法有 72 www.21-cn-jy.com
种．（用数字作答）
解：由题意，分2种情况讨论：
第一：当选用3种颜色时②④同色，③⑤同色，共有涂色方法C43?A33=24种，
第二：4色全用时涂色方法，即②④或③⑤用一种颜色，共有C21?A44=48种，
根据分类加法原理知不同的着色方法共有24+48=72种．
故答案为72．
三．解答题（共5小题）
17．对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M名学生作为样本，得到这M名学生参加社区服务的次数．根据此数据作出了频数与频率的统计表如下，频率分布直方图如图：【来源：21·世纪·教育·网】
分组
频数
频率
[10，15）
10
0.25
[15，20）
24
n
[20，25）
m
p
[25，30）
2
0.05
合计
M
1
（1）求出表中M，p及图中a的值；
（2）若该校高三学生有240人，试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间[10，15）内的人数；
（3）在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人，求至多一人参加社区服务次数在区间[25，30）内的概率．21·cn·jy·com
解：（1）由分组[10，15）内的频数是10，频率是0.25知，，
∴M=40．
∵频数之和为40，
∴10+24+m+2=40，m=4.．
∵a是对应分组[15，20）的频率与组距的商，
∴
（2）因为该校高三学生有240人，分组[10，15）内的频率是0.25，
∴估计该校高三学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为60人．
（3）这个样本参加社区服务的次数不少于20次的学生共有m+2=6人，
设在区间[20，25）内的人为a1，a2，a3，a4，在区间[25，30）内的人为b1，b2．
则任选2人共有（a1，a2），（a1，a3），（a1，a4），（a1，b1），（a1，b2），（a2，a3），（a2，a4），（a2，b1），（a2，b2），（a3，a4），（a3，b1），（a3，b2），（a4，b1），（a4，b2），（b1，b2）15种情况，21教育名师原创作品
而两人都在[25，30）内只能是（b1，b2）一种，
∴所求概率为．
18．某射击运动员射击1次，击中目标的概率为．他连续射击5次，且每次射击是否击中目标相互之间没有影响．
（1）求在这5次射击中，恰好击中目标2次的概率；
（3）求在这5次射击中，至少击中目标2次的概率．
解：（1）设此人在这5次射击中击中目标的次数为ξ，则，因此，有在这5次射击中，恰好击中目标2次的概率为． 21*cnjy*com
（2）在这5次射击中，至少击中目标2次的概率等于1减去击中0次的概率，再减去只击中一次的概率，
故所求的概率为 ．
19．在（2x﹣3y）10的展开式中，求：
（1）二项式系数的和；
（2）各项系数的和；
（3）奇数项的二项式系数和
（4）奇数项系数和
（5）x的奇次项系数和．
解：（1）二项式系数和为++…=210．
（2）令x=y=1，各项系数和为（2﹣3）10=（﹣1）10=1．
（3）奇数项的二项式系数和为++…=29，偶数项的二项式系数和为++…=29．
（4）设（2x﹣3y）10=++…+，令x=y=1，得a0+a1+…+a10=1，
令x=1，y=﹣1，得a0﹣a1+…+a10=510，两式相加可得a0+a2+…+a10=，a1+a3+…+a9=，
故奇数项系数和为 ．
（5）由（4）可得x的奇次项的系数为a1+a3+…+a9=
20．某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有5名工人，其中有3名女工人，现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核．【版权所有：21教育】
（1）求从甲、乙两组各抽取的人数；
（2）求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率；
（3）记ξ表示抽取的3名工人中男工人数，求ξ的分布列及数学期望．
解：（1）因为甲组有10名工人，乙组有5名工人，从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核，根据分层抽样的原理可直接得到，在甲中抽取2名，乙中抽取1名．
（2）因为由上问求得；在甲中抽取2名工人，
故从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率
（3）ξ的可能取值为0，1，2，3
，
，
，
ξ
0
1
2
3
P
故Eξ==．
21．在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为圆心的圆与直线：相切．
（1）求圆O的方程；
（2）若圆O上有两点M、N关于直线x+2y=0对称，且，求直线MN的方程；
（3）圆O与x轴相交于A、B两点，圆内的动点P使|PA|、|PO|、|PB|成等比数列，求的取值范围．
解：（1）半径r==2，故圆O的方程为 x2+y2=4．
（2）∵圆O上有两点M、N关于直线x+2y=0对称，故MN的斜率等于直线x+2y=0斜率的负倒数，等于2，
设MN的方程为y=2x+b，即2x﹣y+b=0．
由弦长公式可得，圆心O到直线MN的距离等于=1．
由点到直线的距离公式可得 1=，b=±，故MN的方程为2x﹣y±=0．
（3）圆O与x轴相交于A（﹣2，0）、B（2，0）两点，圆内的动点P使|PA|、|PO|、|PB|成等比数列，
∴|PA|?|PB|=|PO|2 ，设点P（x，y），
则有 ?=x2+y2，即=x2+y2，
两边平方，化简可得 x2=y2+2．
由点P在圆内可得 x2+y2＜4，故有 0≤y2＜1．
∵=（﹣2﹣x，﹣y）?（2﹣x，﹣y）=x2+y2﹣4=2（y2﹣1）∈[﹣2，0）．
即的取值范围是[﹣2，0）．
2014年新人教版高二数学（理科）上学期期中测试卷B卷（必修3，选修2-3，含详细解析）
一．选择题（共10小题）
1．总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右一次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（ ）
7816
6572
0802
6314
0702
4369
9728
0198
3204
9234
4935
8200
3623
4869
6938
7481
A． 08 B．07 C．02 D．01
2．从6名男生和2名女生中选出3名志愿者，其中至少有1名女生的选法共有（ ）
A． 30种 B．36种 C．42种 D．60种
3．某次联欢会要安排三个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是（ ）21cnjy.com
A． 72 B． 120 C． 144 D． 168
4．用10元、5元和1元来支付20元钱的书款，不同的支付方法有（ ）
A． 3 B．5 C．9 D．12
5．分配4名水暖工去3个不同的居民家里检查暖气管道．要求4名水暖工都分配出去，并每名水暖工只去一个居民家，且每个居民家都要有人去检查，那么分配的方案共有（ ）21·cn·jy·com
A． A种 B． AA种
C．CA种 D． CCA种
6．如图，用四种不同颜色给图中的ABCDEF六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同的颜色，而且四种不同颜色要全部用完，则不同的涂色方法共有（ ）种．www.21-cn-jy.com
A． 144 B．216 C．264 D．360
7．某校高三理科实验班有5名同学报名参加甲、乙、丙三所高校的自主招生考试，每人限报一所高校．若这三所高校中每个学校都至少有1名同学报考，那么这5名同学不同的报考方法种数共有（ ） 21*cnjy*com
A． 144种 B．150种 C．196种 D．256种
8．设的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，若M﹣N=240，则展开式中x3的系数为（ ）
A． ﹣150 B．150 C．﹣500 D．500
9．随机变量X的概率分布规律为P（X=n）=（n=1，2，3，4），其中a是常数，则P（＜X＜）的值为（ ）
A． B． C． D．
10．已知△ABC外接圆O的半径为1，且?=﹣．∠C=，从圆O内随机取一个点M，若点M取自△ABC内的概率恰为，则△ABC的形状为的形状为（ ）
A． 直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
二．填空题（共6小题）
11．设甲，乙两班某此考试的平均成绩分别为 x甲=106，x乙=107，又知=6，=14，则如下几种说法：
①乙班的数学成绩大大优于甲班；
②乙班数学成绩比甲班波动大；
③甲班的数学成绩较乙班稳定．其中正确的是 ________ ．
12．随机变量ξ﹣N（10，100），若P（ξ＞11）=a，则P（9＜ξ≤ll）= _________ ．
13．执行如图的程序框图，输出的S= _________ ．
14．从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，这10个数字中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法为 _________ （用数字作答）．
15．已知y与x之间具有很强的线性相关关系，现观测得到（x，y）的四组观测值并制作了如下的对照表，由表中数据粗略地得到线性回归直线方程为=x+60，其中的值没有写上．当x等于﹣5时，预测y的值为 _________ ．
x
18
13
10
﹣1
y
24
34
38
64
16．某高校进行自主招生面试时的程序如下：共设3道题，每道题答对给10分、答错倒扣5分（每道题都必须回答，但相互不影响）．设某学生对每道题答对的概率都为，则该学生在面试时得分的期望值为 _________ 分．
三．解答题（共5小题）
17．某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，将其成绩（均为整数）分成六段[40，50），[50，60），…，[90，100]后画出如下部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：
（1）求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图；
（2） 估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）和平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（3） 从成绩是70分以上（包括70分）的学生中选两人，求这两名学生的成绩均不低于80分的概率．
18．某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数ξ的分布列为
ξ
1
2
3
4
5
P
0.4
0.2
0.2
0.1
0.1
商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元，η表示经销一件该商品的利润．
（1）求事件A：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率P（A）；
（2）求η的分布列及期望Eη．
19．的展开式中各项的二项式系数之和为256．
（1）求展开式中各项系数之和；
（2）求展开式中含x6的项；
（3）求展开式中系数的绝对值最大的项．
20．在袋子中装有10个大小相同的小球，其中黑球有3个，白球有n（2≤n≤5，且n≠3）个，其余的球为红球．
（1）若n=5，从袋中任取1个球，记下颜色后放回，连续取三次，求三次取出的球中恰有2个红球的概率；
（2）从袋里任意取出2个球，如果这两个球的颜色相同的概率是，求红球的个数；
（3）在（2）的条件下，从袋里任意取出2个球．若取出1个白球记1分，取出1个黑球记2分，取出1个红球记3分．用ξ表示取出的2个球所得分数的和，写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望Eξ．
21．已知圆C：（x+2）2+y2=4，过M（2，0）作直线L．
（1）若L和⊙C相切，求直线L的方程；
（2）若L和⊙C相交于A，B两点，当△ACB面积最大时，求直线L的方程．
参考答案及解析
一．选择题（共10小题）
1．总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右一次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（ ）
7816
6572
0802
6314
0702
4369
9728
0198
3204
9234
4935
8200
3623
4869
6938
7481
A． 08 B．07 C．02 D．01
2．从6名男生和2名女生中选出3名志愿者，其中至少有1名女生的选法共有（ ）
A． 30种 B．36种 C．42种 D．60种
答案：B
解：从6名男生和2名女生中选出3名志愿者，
共有C83种结果，其中包括不合题意的没有女生的选法，
其中没有女生的选法有C63
∴至少有1名女生的选法有C83﹣C63=56﹣20=36
故选B．
3．某次联欢会要安排三个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是（ ）21·世纪*教育网
A． 72 B． 120 C． 144 D． 168
①、将中间2个空位安排1个小品类节目和1个相声类节目，有C21A22=4种情况，
排好后，最后1个小品类节目放在2端，有2种情况，
此时同类节目不相邻的排法种数是6×4×2=48种；
②、将中间2个空位安排2个小品类节目，有A22=2种情况，
排好后，有6个空位，相声类节目有6个空位可选，即有6种情况，
此时同类节目不相邻的排法种数是6×2×6=72种；
则同类节目不相邻的排法种数是48+72=120，
故选：B．
4．用10元、5元和1元来支付20元钱的书款，不同的支付方法有（ ）
A． 3 B．5 C．9 D．12
答案：C
解：用10元、5元和1元来支付20元钱的书款，有以下几类办法：
①用2张10元钱支付；
②用1张10元钱和2张5元钱支付；
③用1张10元钱、1张5元钱5张1元钱支付；
④用1张10元钱和10张1元钱支付；
⑤用1张5元钱和15张1元钱支付；
⑥用2张5元钱和10张1元钱支付；
⑦用3张5元钱和5张1元钱支付；
⑧用4张5元钱支付；
⑨用20张1元钱支付．
故共有9种方法．
故选：C．
5．分配4名水暖工去3个不同的居民家里检查暖气管道．要求4名水暖工都分配出去，并每名水暖工只去一个居民家，且每个居民家都要有人去检查，那么分配的方案共有（ ）21教育网
再将这2人当做一个元素，与其他2人，共3个元素，分别分配到3个不同的居民家里，有A33种情况，
由分步计数原理，可得共C42A33种不同分配方案，
故选C．
6．如图，用四种不同颜色给图中的ABCDEF六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同的颜色，而且四种不同颜色要全部用完，则不同的涂色方法共有（ ）种．【来源：21cnj*y.co*m】
A． 144 B．216 C． 264 D． 360
答案：B
解：由题意，4种颜色都用到，先给A、B、C三点涂色，有种涂法，再给D、E、F涂色，因为D．E．F中必有一点用到第4种颜色，所以另外两点用到A．B．C三点所用颜色中的两种，此时涂法确定，【版权所有：21教育】
由乘法原理得=216种．
故选：B．
7．某校高三理科实验班有5名同学报名参加甲、乙、丙三所高校的自主招生考试，每人限报一所高校．若这三所高校中每个学校都至少有1名同学报考，那么这5名同学不同的报考方法种数共有（ ）
A． 144种 B．150种 C．196种 D． 256种
答案：B
解，把学生分成两类：311，221，
所以共有=150种报考方法，
故选B．
8．设的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，若M﹣N=240，则展开式中x3的系数为（ ）
A． ﹣150 B．150 C．﹣500 D．500
答案：B
解：中，令x=1得展开式的各项系数之和M=4n
根据二项式系数和公式得二项式系数之和N=2n
∵M﹣N=240
∴4n﹣2n=240解得n=4
∴的展开式的通项为=
令4﹣=3得r=2
故展开式中x3的系数为52C42=150
故选项为B
9．随机变量X的概率分布规律为P（X=n）=（n=1，2，3，4），其中a是常数，则P（＜X＜）的值为（ ）
A． B． C． D．
答案：D
解：∵P（X=n）=（n=1，2，3，4），
∴+++=1，
∴a=，
∵P（＜X＜）=P（X=1）+P（X=2）=×+×=．
故选D．
10．已知△ABC外接圆O的半径为1，且?=﹣．∠C=，从圆O内随机取一个点M，若点M取自△ABC内的概率恰为，则△ABC的形状为的形状为（ ）
A． 直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
答案：B
解：∵?=﹣，圆的半径为1，
∴cos∠AOB=﹣
又0＜∠AOB＜π，
故∠AOB=，
又△AOB为等腰三角形，
故AB=，
从圆O内随机取一个点，取自△ABC内的概率为，
即=，
∴S，
设BC=a，AC=b．∵C=，
∴，
得ab=3，…①
由AB2=a2+b2﹣2abcosC=3，得a2+b2﹣ab=3，a2+b2=6…②
联立①②解得a=b=．
∴△ABC为等边三角形．
故选：B．
二．填空题（共6小题）
11．设甲，乙两班某此考试的平均成绩分别为 x甲=106，x乙=107，又知=6，=14，则如下几种说法：www-2-1-cnjy-com
①乙班的数学成绩大大优于甲班；
②乙班数学成绩比甲班波动大；
③甲班的数学成绩较乙班稳定．其中正确的是 ②③ ．
解：①平均成绩x甲=106，x乙=107，平均水平相近，不存在说乙班的数学成绩大大优于甲班．①错．
②=6，=14，＜，乙班数学成绩比甲班波动大． ②对．
③＜，甲班的数学成绩较乙班稳定． ③对．
12．随机变量ξ﹣N（10，100），若P（ξ＞11）=a，则P（9＜ξ≤ll）= 1﹣2a ．
解：∵P（ξ＞11）=a，且正态分布曲线是以μ=10为对称轴，
∴P（ξ＜9）=P（ξ＞11）=a，
∵P（9＜ξ≤ll）=1﹣2P（ξ＞11）=1﹣2a．
故答案为：1﹣2a．
13．执行如图的程序框图，输出的S= 3 ．
解：由程序框图得：第一次运行S=1?log23，k=3；
第二次运行S=1?log23?log34，k=4；
第三次运行S=1?log23?log34?log45，k=5；
…
直到k=8时，程序运行终止，此时S=1?log23?log34…log78=?…=log28=3．【来源：21·世纪·教育·网】
故答案为：3．
15．已知y与x之间具有很强的线性相关关系，现观测得到（x，y）的四组观测值并制作了如下的对照表，由表中数据粗略地得到线性回归直线方程为=x+60，其中的值没有写上．当x等于﹣5时，预测y的值为 70 ．
x
18
13
10
﹣1
y
24
34
38
64
解：由题意，=（18+13+10﹣1）=10，=（24+34+38+64）=40，
∵线性回归直线方程为=x+60，
∵40=10+60，
∴=﹣2，
∴x等于﹣5时，预测y的值为（﹣2）×（﹣5）+60=70．
故答案为：70．
16．某高校进行自主招生面试时的程序如下：共设3道题，每道题答对给10分、答错倒扣5分（每道题都必须回答，但相互不影响）．设某学生对每道题答对的概率都为，则该学生在面试时得分的期望值为 15 分．
解：设该生在面试时的得分为X，由题设条件知X的可能取值为﹣15，0，15，30，
P（X=﹣15）==，
P（X=0）==，
P（X=15）==，
P（X=30）==，
∴EX=﹣15×+0×+15×+30×=15．
∴该学生在面试时得分的期望值为15分．
故答案为：15．
三．解答题（共5小题）
17．某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，将其成绩（均为整数）分成六段[40，50），[50，60），…，[90，100]后画出如下部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：2·1·c·n·j·y
（1）求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图；
（2） 估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）和平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（3） 从成绩是70分以上（包括70分）的学生中选两人，求这两名学生的成绩均不低于80分的概率．
解：（1）因为各组的频率和等于1，
故第四组的频率：f4=1﹣（0.025+0.015×2+0.01+0.005）×10=0.3…（2分），
频率分布直方图第四小组的纵坐标是：=0.03，
直方图如右所示
（2）依题意，60及以上的分数所在的第三、四、五、六组，
频率和为 （0.015+0.03+0.025+0.005）×10=0.75
所以，抽样学生成绩的合格率是75%
利用组中值估算抽样学生的平均分45?f1+55?f2+65?f3+75?f4+85?f5+95?f6
=45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3+85×0.25+95×0.05=71
估计这次考试的平均分是71（分）
（3）在“[70，80），[80，90），[90，100]”上的人数分别是18，15，3．
所以从成绩是70分以上（包括70分）的学生中选两人，
这两名学生的成绩均不低于80（分）的概率
18．某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数ξ的分布列为
ξ
1
2
3
4
5
P
0.4
0.2
0.2
0.1
0.1
商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元，η表示经销一件该商品的利润．【出处：21教育名师】
（1）求事件A：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率P（A）；
（2）求η的分布列及期望Eη．
解：（1）由题意知购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款的对立事件是购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款，21*cnjy*com
设A表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”．
知表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”
，
∴．
（2）根据顾客采用的付款期数ξ的分布列对应于η的可能取值为200元，250元，300元．
得到变量对应的事件的概率
P（η=200）=P（ξ=1）=0.4，
P（η=250）=P（ξ=2）+P（ξ=3）=0.2+0.2=0.4，
P（η=300）=1﹣P（η=200）﹣P（η=250）=1﹣0.4﹣0.4=0.2．
∴η的分布列为
η
200
250
300
P
0.4
0.4
0.2
∴Eη=200×0.4+250×0.4+300×0.2=240（元）．
19．的展开式中各项的二项式系数之和为256．
（1）求展开式中各项系数之和；
（2）求展开式中含x6的项；
（3）求展开式中系数的绝对值最大的项．
解：的展开式中各项的二项式系数之和2n=256?n=8．．
（1）令x=1得：各项系数和S=．．
（2）设第r+1项为（0≤r≤8，且r∈Z）
当r=3时，即为展开式中含x6的项：T4=﹣1512x6．
（3）设第r+1展开式系数的绝对值为3rC8r最大
则，又r∈N，∴r=6
所以系数绝对值最大的是第七项T7=（﹣3）6C86=（﹣3）6×28
20．在袋子中装有10个大小相同的小球，其中黑球有3个，白球有n（2≤n≤5，且n≠3）个，其余的球为红球．2-1-c-n-j-y
（1）若n=5，从袋中任取1个球，记下颜色后放回，连续取三次，求三次取出的球中恰有2个红球的概率；
（2）从袋里任意取出2个球，如果这两个球的颜色相同的概率是，求红球的个数；
（3）在（2）的条件下，从袋里任意取出2个球．若取出1个白球记1分，取出1个黑球记2分，取出1个红球记3分．用ξ表示取出的2个球所得分数的和，写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望Eξ．21教育名师原创作品
解：（1）设“从袋中任取1个球是红球”为事件A，则．
所以，．
答：三次取球中恰有2个红球的概率为．
（2）设“从袋里任意取出2个球，球的颜色相同”为事件B，则，
整理得：n2﹣7n+12=0，解得n=3（舍）或n=4．
所以，红球的个数为3个．
（3）ξ的取值为2，3，4，5，6，且，，，，．
所以ξ的分布列为
ξ
2
3
4
5
6
P
所以，．
21．已知圆C：（x+2）2+y2=4，过M（2，0）作直线L．
（1）若L和⊙C相切，求直线L的方程；
（2）若L和⊙C相交于A，B两点，当△ACB面积最大时，求直线L的方程．
解：如图，
（1）设过M（2，0）的切线方程为y﹣0=k（x﹣2），即kx﹣y﹣2k=0，
由直线和圆：（x+2）2+y2=4相切，则圆心（﹣2，0）到直线kx﹣y﹣2k=0的距离等于圆的半径，21世纪教育网版权所有
即，解得：k=．
当k=﹣时，切线方程为：．
当k=时，切线方程为：；
（2）联立，得（1+k2）x2+（4﹣4k2）x+4k2=0．
设A（x1，y1），B（x2，y2），则，
∴|AB|===，
C到AB的距离为：d=．
∴=．
当且仅当3（k2+1）=，即时等号成立．
代入△=（4﹣4k2）2﹣16k2（1+k2）＞0成立．
∴所求的直线方程为：或．
