2022-2023（上）期末考数学试题
试卷满分150分 考试用时120分钟
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.直线x－y＋1＝0的倾斜角为( )
A.30° B.45° C.120° D.150°
2.若(1＋x)9＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9，则a1＋a2＋a3＋…＋a9＝( )
A.1 B.513 C.512 D.511
3.一百零八塔，位于宁夏吴忠青铜峡市，是始建于西夏时期的喇嘛式实心塔群该塔群随山势凿石分阶而建，依山势自上而下，第一阶1座，第二阶3座，第三阶3座，第四阶5座，第五阶5座，从第五阶开始塔的数目构成一个首项为5，公差为2的等差数列，总计108座，故名一百零八塔.则该塔的阶数是（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
4.已知圆x2＋y2＋2x－2y＋a＝0截直线x＋y＋2＝0所得的弦的长度为4，则实数a的值是( )
A.－2 B.－4 C.－6 D.－8
5.2023年杭州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有
36种 B. 12种 C. 18种 D. 48
6．若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最大值为
A．2 B．3 C．6 D．8
7.已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点，则有∠MAN＝( )
A. 30° B.60° C.90° D.120°
8.已知．设为数列的前项和，则( )
A. B. C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．
9.已知正整数满足不等式，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C． D．
10．已知圆，点在圆上，则下列说法正确的是（ ）
A．圆的圆心是，半径是
B．圆的圆心是，半径是
C.直线平分成面积相等两部分
D．过点与圆相切的直线方程是
11．设为数列的前项和.若，则（ ）
A． B． C． D．数列为递减数列
12．已知抛物线与圆交于、两点，且，直线过的焦点，且与交于、两点，则下列说法中正确的是（ ）
A．
B．
C．存在某条直线，使得
D．若点，则周长的最小值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13.若二项式展开式中的第5项是常数，则自然数n的值为
14.将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案
有 种（用数字作答）．
15.已知数列{an}满足a1＝1，nan+1－(n＋1)an＝1＋2＋3＋…＋n,则数列{an}的通项公式为 .
16.已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则|AB|＋|DE|的最小值为 .
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）在下面两个条件中任选一个条件，补充在后面问题中的横线上，并完成解答．
条件①：“展开式中所有项的系数之和与二项式系数之和的比为”；
条件②：“展开式中前三项的二项式系数之和为”．
问题：已知二项式，若_____填写条件前的序号，
(1)求展开式中含项的系数；
(2)求展开式中二项式系数最大的项．
18.（12分）等比数列{an}中，a1＝1，a5＝4a3.
(1)求{an}的通项公式；
(2)记Sn为{an}的前n项和.若Sm＝63，求m.
19．（12分）直线过点且与轴、轴正半轴分别交于、两点.
(1)若直线与法向量平行，写出直线的方程；
(2)求面积的最小值；
20.（12分）设数列{an}的前n项和为Sn，已知S1＝2，an+1＝Sn＋2.
(1)求证：数列{an}为等比数列；
(2)记bn＝log2an，数列的前n项和为Tn.若Tn≥10，求λ的取值范围.
21.（12分）已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)，其焦点为F，O为坐标原点，直线l与抛物线C相交于不同的两点A，B，M为AB的中点.
(1)若p＝2，M的坐标为(1，1)，求直线l的方程.
(2)若直线l过焦点F，AB的垂直平分线交x轴于点N，求证：为定值.
22.（12分）已知点A(1，－)在椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)上，O为坐标原点，直线l：－＝1的斜率与直线OA的斜率乘积为－.
(1)求椭圆C的方程；
(2)不经过点A的直线y＝x＋t(t≠0且t∈R)与椭圆C交于P，Q两点，P关于原点的对称点为R(与点A不重合)，直线AQ，AR与y轴分别交于两点M，N，求证：|AM|＝|AN|.2022-2023（上）期末考数学试题
试卷满分150分 考试用时120分钟
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.直线x－y＋1＝0的倾斜角为( )
A.30° B.45° C.120° D.150°
解析 由题意得，直线y＝x＋1的斜率为1，设其倾斜角为α，则tan α＝1，又0°≤α＜180°，故α＝45°.
答案 B
2.若(1＋x)9＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9，则a1＋a2＋a3＋…＋a9＝( )
A.1 B.513 C.512 D.511
解析令x＝0，得a0＝1，令x＝1，得a1＋a2＋a3＋…＋a9＝29－1＝511. D
3.一百零八塔，位于宁夏吴忠青铜峡市，是始建于西夏时期的喇嘛式实心塔群该塔群随山势凿石分阶而建，依山势自上而下，第一阶1座，第二阶3座，第三阶3座，第四阶5座，第五阶5座，从第五阶开始塔的数目构成一个首项为5，公差为2的等差数列，总计108座，故名一百零八塔.则该塔的阶数是（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
【答案】C
【分析】先求出前四阶共12座，设第五阶塔的数目为，则，设从第五阶开始自上而下，每一层的塔的数目为，由等差数列的前项和可得结果.
【详解】由第一阶1座，第二阶3座，第三阶3座，第四阶5座，则前四阶共12座.
则从第五阶后共有座.
设第五阶塔的数目为，则，设从第五阶开始自上而下，每一层的塔的数目为
由从第五阶开始塔的数目构成一个首项为5，公差为2的等差数列.
所以
所以
所以由，解得或 （舍去）
所以该塔的阶数是
故选：C
4.已知圆x2＋y2＋2x－2y＋a＝0截直线x＋y＋2＝0所得的弦的长度为4，则实数a的值是( )
A.－2 B.－4 C.－6 D.－8
解析 将圆的方程化为标准方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝2－a，所以圆心为(－1，1)，半径r＝，圆心到直线x＋y＋2＝0的距离d＝＝，故r2－d2＝4，即2－a－2＝4，所以a＝－4.故选B.
答案 B
5.2023年杭州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有
A. 36种 B. 12种 C. 18种 D. 48种
【解析】分两类：若小张或小赵入选，则有选法；若小张、小赵都入选，则有选法，共有选法36种，选A.6．若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最大值为
A．2 B．3 C．6 D．8
【答案】C
【解析】由题意，F（-1，0），设点P，则有,解得，
因为，，所以
==，此二次函数对应的抛物线的对称轴为，因为，所以当时，取得最大值，选C。
7.已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点，则有∠MAN＝( )
A. 30° B.60° C.90° D.120°
解析 双曲线C：－＝1的渐近线方程为y＝±x，离心率为＝，则＝＝1＋＝，＝，故渐近线方程为y＝±x.取MN的中点P，连接AP，利用点到直线的距离公式可得|AP|＝，则cos∠PAN＝＝＝，所以cos∠MAN＝cos 2∠PAN＝2·－1＝，则∠MAN＝60°，故选 B.
8.已知．设为数列的前项和，则( )
A. B. C. D.
解：由得即
所以当时，于是
所以
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．
9.已知正整数满足不等式，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C． D．
【答案】ACD
10．已知圆，点在圆上，则下列说法正确的是（ ）
A．圆的圆心是，半径是
B．圆的圆心是，半径是
C.直线平分成面积相等两部分
D．过点与圆相切的直线方程是
【答案】ACD
【分析】将圆的方程配成标准方程，可判断AB选项，利用圆的参数方程可判断C选项，将点坐标代入直线方程可得点在线上，再根据圆心到直线的距离可判断直线与圆相切
【详解】将圆配方成标准方程为：，圆心是，半径是，故选项A正确，选项B错误；
.直线过圆心平,分成面积相等两部分故选项C
又圆心到直线的距离，故直线与圆相切，故选项D正确；
故选：ACD.
11．设为数列的前项和.若，则（ ）
A． B．
C． D．数列为递减数列
【答案】CD
【分析】根据求出数列的通项公式，进而求出前项和，然后结合选项逐项分析判断即可.
【详解】因为，
当时，，即；
当时，，即，因此，
则数列是以为首项，为公比的等比数列，
因此，故B错误；
，
所以，，故A错误；
，，，因此，故C正确；
当时，，即，因此数列为递减数列，故D正确；
故选：CD.
12．已知抛物线与圆交于、两点，且，直线过的焦点，且与交于、两点，则下列说法中正确的是（ ）
A．
B．
C．存在某条直线，使得
D．若点，则周长的最小值为
【答案】ABD
【分析】首先由对称性得点在抛物线 上，进而判断选项；
再根据韦达定理和不等式求最小值后进行判断选项C；画出大致图像，过点作准线的垂线，垂足为，交轴于，结合抛物线定义判断选项；过作垂直于准线，垂足为，结合的周长为，进而判断选项即可．
【详解】由对称性得点在抛物线 上，
所以，解得，故A正确；
设直线和双曲线交于两点，
设直线方程为，
代入抛物线方程可得：，
所以，
所以：
故
则，
当且仅当 时等号成立，故C错误；
如图，过点作准线的垂线，垂足为，交 轴于，取的中点为，过点作轴的垂线，
过作垂直于准线，垂足为，
所以 的周长为，
当且仅当点 的坐标为时取等号，故D．
故选：ABD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13.若二项式展开式中的第5项是常数，则自然数n的值为
解析 由二项式展开式的第5项C()n－4·＝16Cx－6是常数项，可得－6＝0，解得n＝12.
14.将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案
有 种（用数字作答）．
【答案】36
【解析】分两步完成：第一步将4名大学生按，2，1，1分成三组，其分法有;第二步将分好的三组分配到3个乡镇，其分法有所以满足条件得分配的方案有
15.已知数列{an}满足a1＝1，nan＋1－(n＋1)an＝1＋2＋3＋…＋n,则数列{an}的通项公式为 .
【解析】∵nan＋1－(n＋1)an＝1＋2＋3＋…＋n＝，
∴－＝－＝，
∴数列是首项为1，公差为的等差数列.＝1＋(n－1)＝，
∴an＝.
16.已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则|AB|＋|DE|的最小值为 .
解析 抛物线C：y2＝4x的焦点为F(1，0)，由题意可知l1，l2的斜率存在且不为0.不妨设直线l1的斜率为k，则l2直线的斜率为－，故l1：y＝k(x－1)，l2：y＝－(x－1).
由消去y得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴x1＋x2＝＝2＋，
由抛物线定义可知，|AB|＝x1＋x2＋2＝4＋.
同理得|DE|＝4＋4k2，
∴|AB|＋|DE|＝8＋4k2＋≥8＋2＝16.
当且仅当＝k2，即k＝±1时取等号.
故|AB|＋|DE|的最小值为16.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）在下面两个条件中任选一个条件，补充在后面问题中的横线上，并完成解答．
条件①：“展开式中所有项的系数之和与二项式系数之和的比为”；
条件②：“展开式中前三项的二项式系数之和为”．
问题：已知二项式，若_____填写条件前的序号，
(1)求展开式中含项的系数；
(2)求展开式中二项式系数最大的项．
【答案】(1)条件①②：135
(2)
【分析】（1）选择：求出各项系数和以及二项式系数和，然后建立方程即可求出的值；选择：求出前三项的二项式系数，然后建立方程求出的值.利用求得的的值求出展开式的通项公式，然后令的指数为，进而可以求解；
（2）根据二项式系数的性质即可求解．
【详解】（1）若选填条件，则由已知可得，解得，
若选填条件，则由已知可得，
整理得，解之得，或（舍）
所以二项式为，
则二项式通项，（，，，，）
当时，，
故展开式中含项的系数是，
（2）由（1）得，展开式共项，
二项式系数最大的项为．
18.（12分）等比数列{an}中，a1＝1，a5＝4a3.
(1)求{an}的通项公式；
(2)记Sn为{an}的前n项和.若Sm＝63，求m.
解 (1)设数列{an}的公比为q，由题设得an＝qn－1.
由已知得q4＝4q2，解得q＝0(舍去)，q＝－2或q＝2.
故{an}的通项公式为an＝(－2)n－1或an＝2n－1.
(2)若an＝(－2)n－1，则Sn＝.
由Sm＝63得(－2)m＝－188，此方程没有正整数解.
若an＝2n－1，则Sn＝2n－1.
由Sm＝63得2m＝64，解得m＝6.
综上，m＝6.
19．（12分）直线过点且与轴、轴正半轴分别交于、两点.
(1)若直线与法向量平行，写出直线的方程；
(2)求面积的最小值；
【分析】（1）利用两直线垂直设出一般式，代入点即可求出直线方程；
（2）设直线截距式为，代入点得到，利用基本不定式即可求出面积最小值；
【详解】（1）由题设直线，将点代入得，,故直线
（2）设直线的方程为，
将点代入得，则，
则，当且仅当，结合，即时等号成立.
故的面积最小值为12.
20.（12分）设数列{an}的前n项和为Sn，已知S1＝2，an+1＝Sn＋2.
(1)求证：数列{an}为等比数列；
(2)记bn＝log2an，数列的前n项和为Tn.若Tn≥10，求λ的取值范围.
(1)证明 由已知，得a1＝S1＝2，
则a2＝S1＋2＝4.
当n≥2时，an＝Sn－1＋2，
所以an＋1－an＝(Sn＋2)－(Sn－1＋2)＝an，
所以an＋1＝2an(n≥2).
又a2＝2a1，所以＝2(n∈N*).
所以数列{an}是首项a1＝2，公比q＝2的等比数列.
(2)解 由(1)可知an＝2n，所以bn＝n，
则＝＝λ，
所以Tn＝λ
＝λ＝.
由题意，有Tn≥10，即≥10，所以λ≥.
因为＝10≤20，
所以λ的取值范围为[20，＋∞).
21.（12分）已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)，其焦点为F，O为坐标原点，直线l与抛物线C相交于不同的两点A，B，M为AB的中点.
(1)若p＝2，M的坐标为(1，1)，求直线l的方程.
(2)若直线l过焦点F，AB的垂直平分线交x轴于点N，求证：为定值.
(1)解 由题意知直线l的斜率存在且不为0，
故设直线l的方程为x－1＝t(y－1)
即x＝ty＋1－t，设A(x1，y1)，B(x2，y2).
由得y2－4ty－4＋4t＝0，
∴Δ＝16t2＋16－16t＝16(t2－t＋1)＞0，y1＋y2＝4t，
∴4t＝2，即t＝.
∴直线l的方程为2x－y－1＝0.
(2)证明 ∵抛物线C：y2＝2px(p＞0)，∴焦点F的坐标为.
由题意知直线l的斜率存在且不为0，
∵直线l过焦点F，故设直线l的方程为x＝ty＋(t≠0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2).
由，得y2－2pty－p2＝0，
∴y1＋y2＝2pt，Δ＝4p2t2＋4p2＞0.
∴x1＋x2＝t(y1＋y2)＋p＝2pt2＋p，∴M.
∴MN的方程为y－pt＝－t.
令y＝0，解得x＝pt2＋，N，
∴|MN|2＝p2＋p2t2，|FN|＝pt2＋－＝pt2＋p，
∴＝＝2p，为定值.
22.（12分）已知点A(1，－)在椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)上，O为坐标原点，直线l：－＝1的斜率与直线OA的斜率乘积为－.
(1)求椭圆C的方程；
(2)不经过点A的直线y＝x＋t(t≠0且t∈R)与椭圆C交于P，Q两点，P关于原点的对称点为R(与点A不重合)，直线AQ，AR与y轴分别交于两点M，N，求证：|AM|＝|AN|.
(1) 解 由题意知，kOA·kl＝－·＝－＝－，
即a2＝4b2，①
又＋＝1，②
所以联立①②，解得，
所以椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)证明 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则R(－x1，－y1)，
由
得x2＋tx＋t2－1＝0，
所以Δ＝4－t2＞0，即－2＜t＜2，
又t≠0，所以t∈(－2，0)∪(0，2)，
x1＋x2＝－t，x1·x2＝t2－1.
法一 要证明|AM|＝|AN|，可转化为证明直线AQ，AR的斜率互为相反数，
即证明kAQ＋kAR＝0.
由题意知，kAQ＋kAR＝＋
＝
＝
＝＝
＝0，
所以|AM|＝|AN|.
法二 要证明|AM|＝|AN|，可转化为证明直线AQ，AR与y轴的交点M，N连线的中点S的纵坐标为－，即AS垂直平分MN即可.
直线AQ与AR的方程分别为
lAQ：y＋＝(x－1)，lAR：y＋＝(x－1)，
分别令x＝0，得yM＝－，yN＝－，
所以yM＋yN＝＋－
＝－＝－
＝－
＝－，
