2014-2015学年九年级上学期月考数学试卷

2014-2015学年九年级（上）月考数学
试卷（10月份）
　
一、选择题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分，下列每小题都给出标号为A、B、C、D的四个结论，其中只有一个是正确的．每小题选对得分；不选、选错或选出的标号超过一个的不得分．）2·1·c·n·j·y
1．（3分）已知三角形两边长分别为2和9，第三边的长为二次方程x2﹣14x+48=0的根，则这个三角形的周长为（　　）【来源：21·世纪·教育·网】
　
A．
11
B．
17
C．
17或19
D．
19
　
2．（3分）下列方程中，关于x的一元二次方程的是（　　）
　
A．
ax2+bx+c=0
B．
3（x﹣1）2=2（x+1）
C．
D．
x2+3x=x2﹣1
　
3．（3分）元旦期间，一个小组有若干人，他们之间互送贺卡一张，已知全组共送贺卡132张，则这个小组共有（　　）21教育网
　
A．
11人
B．
12人
C．
13人
D．
14人
　
4．（3分）顺次连接某个四边形各边中点得到一个正方形，则原四边形一定是（　　）
　
A．
正方形
B．
对角线互相垂直的等腰梯形
　
C．
菱形
D．
对角线互相垂直且相等的四边形
　
5．（3分）正方形具有而菱形不具有的性质是（　　）
　
A．
对角线互相平分
B．
对角线相等
　
C．
对角线平分一组对角
D．
对角线互相垂直
　
6．（3分）在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为x cm，那么x满足的方程是（　　）www-2-1-cnjy-com
　
A．
x2+130x﹣1400=0
B．
x2+65x﹣350=0
C．
x2﹣130x﹣1400=0
D．
x2﹣65x﹣350=0
　
7．（3分）在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，P是AD上的动点，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，则PE+PF的值为（　　）2-1-c-n-j-y
　
A．
B．
2
C．
D．
1
　
8．（3分）如图，在Rt△ABC中，AB=CB，BO⊥AC，把△ABC折叠，使AB落在AC上，点B与AC上的点E重合，展开后，折痕AD交BO于点F，连接DE、EF．下列结论：①tan∠ADB=2；②图中有4对全等三角形；③若将△DEF沿EF折叠，则点D不一定落在AC上；④BD=BF；⑤S四边形DFOE=S△AOF，上述结论中正确的个数是（　　）
　
A．
1个
B．
2个
C．
3个
D．
4个
　
二、填空题（本题满分21分，共有7道小题，每小题3分）
9．（3分）如果等腰三角形的一个底角是80°，那么顶角是　_________　度．
　
10．（3分）命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是　_________　．
　
11．（3分）如图，DE，FG分别是△ABC的AB，AC边的垂直平分线，连接AG，AE，已知BC=10，GE=2，∠BAC=80°，则∠GAE=　_________　，△AGE的周长是　_________　．　　21*cnjy*com
　
12．（3分）如图，点O是矩形ABCD的中心，E是AB上的点，沿CE折叠后，点B恰好与点O重合．若BC=3，则折痕CE的长为　_________　．【来源：21cnj*y.co*m】
　
13．（3分）如图，点E、F、G、H分别是任意四边形ABCD中AD、BD、BC、CA的中点，当四边形ABCD的边至少满足　_________　条件时，四边形EFGH是菱形．
　
14．（3分）某超市一月份的营业额为150万元，已知第一季度的总营业额共780万元．如果平均每月增长率为x，则由题意列方程应为　_________　．【出处：21教育名师】
　
15．（3分）如图所示，n+1个直角边长为1的等腰直角三角形，斜边在同一直线上，设△B2D1C1的面积为S1，△B3D2C2的面积为S2，…，△Bn+1DnCn的面积为Sn，则S1=　_________　，Sn=　_________　（用含n的式子表示）．
　
三、解答题
16．（5分）某新建住宅小区里，有一块三角形绿地，现准备在其中安装一个照明灯P，使它到绿地各边的距离相等．请你在图中画出安装照明灯P的位置．21教育名师原创作品
　
17．（10分）解方程
（1）3x2﹣6x﹣1=0（配方法）
（2）3x2=5（2x+1）（公式法）
　
18．（8分）如图，有一面积是150平方米的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18米），墙对面有一个2米宽的门，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长33米，求：鸡场的长和宽各为多少米？
　
19．（10分）某超市经销一种成本为40元/kg的水产品，市场调查发现，按50元/kg销售，一个月能售出500kg，销售单位每涨0.1元，月销售量就减少1kg，针对这种水产品的销售情况，超市在月成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，请你帮忙算算，销售单价定为多少？
　
20．（6分）如图，△ABC中，AB=AC，在AB上取一点E，在AC的延长线上取一点F，使CF=BE，连接EF，交BC于点D．求证：DE=DF．
　
21．（10分）如图，在?ABDC中，分别取AC、BD的中点E和F，连接BE、CF，过点A作AP∥BC，交DC的延长线于点P．21·世纪*教育网
（1）求证：△ABE≌△DCF；
（2）当∠P满足什么条件时，四边形BECF是菱形？证明你的结论．
　
22．（14分）【探究发现】
按图1、图2、图3中方式将大小不同的两个正方形放在一起，分别求出阴影部分（△ACF）的面积．（单位：厘米，阴影部分的面积依次用S1、S2、S3表示）【版权所有：21教育】
（1）S1=　_________　cm2；S2=　_________　cm2；S3=　_________　cm2．
（2）归纳总结你的发现：　_________　
【推理反思】
按图4中方式将大小不同的两个正方形放在一起，设小正方形的边长是bcm，大正方形的边长是acm，求：阴影部分（△ACF）的面积．21*cnjy*com
【应用拓展】
（1）按图4方式将大小不同的两个正方形放在一起，若大正方形的面积是80cm2，则图中阴影三角形的面积是　_________　cm2．
（2）如图5，C是线段AB上任意一点，分别以AC、BC为边在线段AB同侧构造等边三角形△ACD和等边三角形△CBE，若△CBE的边长是1cm，则图中阴影三角形的面积是　_________　cm2．
（3）如图6，菱形ABCD和菱形ECGF的边长分别为2和3，∠A=120°，则图中阴影部分的面积是　_________　．
　23．（12分）如图1，已知△ABC中，AB=10cm，AC=8cm，BC=6cm．如果点P由B出发沿BA方向点A匀速运动，同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为2cm/s．连接PQ，设运动的时间为t（单位：s）（0≤t≤4）．解答下列问题：
（1）当t为何值时，PQ∥BC．
（2）设△AQP面积为S（单位：cm2），当t为何值时，S取得最大值，并求出最大值．
（3）是否存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
（4）如图2，把△AQP沿AP翻折，得到四边形AQPQ′．那么是否存在某时刻t，使四边形AQPQ′为菱形？若存在，求出此时菱形的面积；若不存在，请说明理由．
参考答案与试题解析
3. 解：设这个小组有x人，则每人应送出x﹣1张贺卡，由题意得：
x（x﹣1）=132，
即：x2﹣x﹣132=0，
解得：x1=12，x2=﹣11（不符合题意舍去）
即：这个小组有12人，
故选：B．
4. 解：根据三角形中位线定理，顺次连接某个四边形各边中点得到一个平行四边形，它的一组邻边分别平行且等于四边形对角线的一半．因为正方形四边相等，邻边垂直，所以原四边形的对角线相等且互相垂直．
故选：D．
5. 解：正方形和菱形都满足：四条边都相等，对角线平分一组对角，对角线垂直且互相平分；
菱形的对角线不一定相等，而正方形的对角线一定相等．
故选B．
6. 解：依题意得：（80+2x）（50+2x）=5400，
即4000+260x+4x2=5400，
化简为：4x2+260x﹣1400=0，
即x2+65x﹣350=0．
故选：B．
7. 解：设AP=x，PD=4﹣x．
∵∠EAP=∠EAP，∠AEP=∠ADC；
∴△AEP∽△ADC，故=①；
同理可得△DFP∽△DAB，故=②．
①+②得=，
∴PE+PF=．故选A．
8. 解：①由折叠可得BD=DE，而DC＞DE，∴DC＞BD，∴tan∠ADB≠2，故①错误；
②图中的全等三角形有△ABF≌△AEF，△ABD≌△AED，△FBD≌△FED，（由折叠可知）
∵OB⊥AC，∴∠AOB=∠COB=90°，
在Rt△AOB和Rt△COB中，
，
∴Rt△AOB≌Rt△COB（HL），
则全等三角形共有4对，故②正确；
③∵AB=CB，BO⊥AC，把△ABC折叠，
∴∠ABO=∠CBO=45°，∠FBD=∠DEF，
∴∠AEF=∠DEF=45°，∴将△DEF沿EF折叠，可得点D一定在AC上，故③错误；
④∵OB⊥AC，且AB=CB，
∴BO为∠ABC的平分线，即∠ABO=∠OBC=45°，
由折叠可知，AD是∠BAC的平分线，即∠BAF=22.5°，
又∵∠BFD为三角形ABF的外角，
∴∠BFD=∠ABO+∠BAF=67.5°，
易得∠BDF=180°﹣45°﹣67.5°=67.5°，
∴∠BFD=∠BDF，
∴BD=BF，故④正确；
⑤连接CF，∵△AOF和△COF等底同高，
∴S△AOF=S△COF，
∵∠AEF=∠ACD=45°，
∴EF∥CD，
∴S△EFD=S△EFC，
∴S四边形DFOE=S△COF，
∴S四边形DFOE=S△AOF，
故⑤正确；
正确的有3个，
故选C．
9. 解：∵三角形是等腰三角形，
∴两个底角相等，
∵等腰三角形的一个底角是80°，
∴另一个底角也是80°，
∴顶角的度数为180°﹣80°﹣80°=20°．
故填20．
11. 解：∵∠BAC=80°，
∴∠B+∠C=180°﹣80°=100°，
∵DE，FG分别是△ABC的AB，AC边的垂直平分线，
∴AE=BE，CG=AG，
∵BC=10，GE=2，
∴AE+AG=BE+CG=10+2=12，
∴△AGE的周长是AG+AE+EG=12+2=14，
∵AE=BE，CG=AG，
∴∠B=∠EAB，∠C=∠GAC，
∴∠EAB+∠GAC=∠BAC+∠GAE=100°，
∴∠GAE=100°﹣80°=20°，
故答案为：20°，14．
12. 解：∵△CEO是△CEB翻折而成，
∴BC=OC，BE=OE，
∵O是矩形ABCD的中心，
∴OE是AC的垂直平分线，AC=2BC=2×3=6，
∴AE=CE，
在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2，
即62=AB2+32，
解得AB=3，
在Rt△AOE中，设OE=x，则AE=3﹣x，
AE2=AO2+OE2，
即（3﹣x）2=32+x2，
解得x=，
∴AE=EC=3﹣=2．
故答案为：2．
13. 解：需添加条件AB=CD．
∵E，F是AD，DB中点，
∴EF∥AB，EF=AB，
∵H，G是AC，BC中点，
∴HG∥AB，HG=AB，
∴EF∥HG，EF=HG，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵E，H是AD，AC中点，
∴EH=CD，
∵AB=CD，
∴EF=EH，
∴四边形EFGH是菱形．
故答案为：AB=CD．
14. 解：∵一月份的营业额为150万元，平均每月增长率为x，
∴二月份的营业额为150×（1+x），
∴三月份的营业额为150×（1+x）×（1+x）=150×（1+x）2，
∴可列方程为150+1050×（1+x）+100×（1+x）2=780，
即150[1+（1+x）+（1+x）2]=780．
故答案为：150[1+（1+x）+（1+x）2]=780．
15. 解：∵n+1个边长为1的等腰三角形有一条边在同一直线上，
∴S△AB1C1=×1×1=，
连接B1、B2、B3、B4、B5点，显然它们共线且平行于AC1
∵∠B1C1B2=90°
∴A1B1∥B2C1
∴△B1C1B2是等腰直角三角形，且边长=1，
∴△B1B2D1∽△C1AD1，
∴B1D1：D1C1=1：1，
∴S1=×=，
故答案为：；
同理：B2B3：AC2=1：2，
∴B2D2：D2C2=1：2，
∴S2=×=，
同理：B3B4：AC3=1：3，
∴B3D3：D3C3=1：3，
∴S3=×=，
∴S4=×=，
…
∴Sn=
故答案为：．
16. 解：如图所示：
点P就是安装照明灯的位置．
17. 解：（1）解：移项得：3x2﹣6x=1，
x2﹣2x=，
配方得：x2﹣2x+1=+1，
（x﹣1）2=，
x﹣1=±，
x1=1+，x2=1﹣．
（2）整理得：3x2﹣10x﹣5=0，
b2﹣4ac=（﹣10）2﹣4×3×（﹣5）=160，
x=，
x1=，x2=．
18. 解：设鸡场的长为x，因为篱笆总长为33米，由图可知宽为：米，
则根据题意列方程为：
x×=150，
解得：x1=15，x2=20（大于墙长，舍去）．
宽为：10米．
所以鸡场的长为15米，宽为10米．
19. 解：设销售单价定为x元，根据题意得：
（x﹣40）[500﹣（x﹣50）÷0.1]=8000．
解得：x1=60，x2=80
当售价为60时，月成本[500﹣（60﹣50）÷0.1]×40=16000＞10000，所以舍去．
当售价为80时，月成本[500﹣（80﹣50）÷0.1]×40=8000＜10000．
答：销售单价定为80元．
20. 解：作EG∥AC交BC于G，
∴∠BGE=∠ACB，∠GED=∠F，∠EGD=∠FCD．
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∴∠B=∠BGE，
∴BE=EG．
∵CF=BE，
∴CF=GE．
在△GED和△CFD中，
，
∴△GED≌△CFD（ASA），
∴DE=DF．
21（1）证明：在?ABDC中，∠BAC=∠D，AB=CD，AC=BD，
∵E、F分别是AC、BD的中点，
∴AE=DF，
在△ABE和△DCF中，，
∴△ABE≌△DCF（SAS）；
（2）解：∠P=90°时，四边形BECF是菱形．理由如下：
在?ABCD中，AB∥CD，
∵AP∥BC，
∴四边形ABCP是平行四边形，
∴∠ABC=∠P=90°，
∵E是AC的中点，
∴BE=CE=AC，
∵E、F分别是AC、BD的中点，
∴BF=CE，
又∵AC∥BD，
∴四边形BECF是平行四边形，
∴四边形BECF是菱形（邻边相等的平行四边形是菱形）．
22. 解：【探究发现】
（1）S1=S四边形ACEF﹣S△CEF=S△AFG+S正方形DEFG+S△ADC﹣S△CEF=×2×（10﹣2）+2×2+×10×10﹣×2×（2+10）=8+4+50﹣12=50（cm2）；21世纪教育网版权所有
S2=S四边形ACEF﹣S△CEF=S△AFG+S正方形DEFG+S△ADC﹣S△CEF=×4×（10﹣4）+4×4+×10×10﹣×4×（4+10）=12+16+50﹣28=50（cm2）；21cnjy.com
S3=S四边形ACEF﹣S△CEF=S△AFG+S正方形DEFG+S△ADC﹣S△CEF=×8×（10﹣8）+8×8+×10×10﹣×8×（8+10）=8+64+50﹣72=50（cm2）；21·cn·jy·com
（2）归纳总结得S△ACF=S正方形ABCD．
【推理反思】
S△ACF=S四边形ACEF﹣S△CEF=S△AFG+S正方形DEFG+S△ADC﹣S△CEF=×b×（a﹣b）+b×b+×a×a﹣×b×（b+a）=ab﹣b2+b2+a2﹣b2﹣ab=a2；www.21-cn-jy.com
【应用拓展】
（1）由推理反思得S△ACF=S正方形ABCD=×80cm2=40cm2；
（2）∵△ACD和△BCE都是等边三角形，
∴∠ACD=60°，∠CBE=60°，
∴∠ACD=∠CBE，
∴CD∥BE，
∴S△DEB=S△CBE=×1×=cm2．
（3）如图，设BF交CE于点H，
∵菱形ECGF的边CE∥GF，
∴△BCH∽△BGF，
∴=，
即=，
解得：CH=，
所以，DH=CD﹣CH=2﹣=，
∵∠A=120°，
∴∠ECG=∠ABC=180°﹣120°=60°，
∴点B到CD的距离为2×=，
点G到CE的距离为3×=，
∴阴影部分的面积=S△BDH+S△FDH
=××+××
=．
23. 解：∵AB=10cm，AC=8cm，BC=6cm，
∴由勾股定理逆定理得△ABC为直角三角形，∠C为直角．
（1）BP=2t，则AP=10﹣2t．
∵PQ∥BC，∴，即，解得t=，
∴当t=s时，PQ∥BC．
（2）如答图1所示，过P点作PD⊥AC于点D．
∴PD∥BC，
∴，
即，
解得PD=6﹣t．
S=×AQ×PD=×2t×（6﹣t）
=﹣t2+6t
=﹣（t﹣）2+，
∴当t=s时，S取得最大值，最大值为cm2．
（3）假设存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分，
则有S△AQP=S△ABC，而S△ABC=AC?BC=24，∴此时S△AQP=12．
由（2）可知，S△AQP=﹣t2+6t，
∴﹣t2+6t=12，化简得：t2﹣5t+10=0，
∵△=（﹣5）2﹣4×1×10=﹣15＜0，此方程无解，
∴不存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分．
（4）假设存在时刻t，使四边形AQPQ′为菱形，则有AQ=PQ=BP=2t．
如答图2所示，过P点作PD⊥AC于点D，则有PD∥BC，
∴，即，
解得：PD=6﹣t，AD=8﹣t，
∴QD=AD﹣AQ=8﹣t﹣2t=8﹣t．
在Rt△PQD中，由勾股定理得：QD2+PD2=PQ2，
即（8﹣t）2+（6﹣t）2=（2t）2，
化简得：13t2﹣90t+125=0，
解得：t1=5，t2=，
∵t=5s时，AQ=10cm＞AC，不符合题意，舍去，∴t=．
由（2）可知，S△AQP=﹣t2+6t，
∴S菱形AQPQ′=2S△AQP=2×（﹣t2+6t）=2×[﹣×（）2+6×]=（cm2）．
所以存在时刻t，使四边形AQPQ′为菱形，此时菱形的面积为cm2．