学科：数学
专题：概率初步（二）
主讲教师：黄炜 北京四中数学教师
重难点易错点解析
频率概率．
题一
题面：对某厂生产的直径为4cm的乒乓球进行产品质量检查，结果如下：
(1)计算各次检查中“优等品”的频率，填入表中；
抽取球数n 50 100 500 1000 5000
优等品数m 45 92 455 890 4500
优等品频率
(2)该厂生产乒乓球优等品的概率约为多少
金题精讲
题一
题面：为估计某天鹅湖中天鹅的数量，先捕捉10只，全部做上记号后放飞．过了一段时间后，重新捕捉40只，其中带有标记的天鹅有2只．据此可估算出该地区大约有天鹅______只．
用频率估计概率
满分冲刺
题一
题面：为估计某一池塘中鱼的总数目，小英将100尾做了标记的鱼投入池塘中，几天后，随机捕捞，每次捕捞后做好记录，然后将鱼放回，如此进行20次，记录数据如下：
总条数 50 45 60 48 10 30 42 38 15 10
标记数 2 1 3 2 0 1 1 2 0 1
总条数 53 36 27 34 43 26 18 22 25 47
标记数 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2
(1)估计池塘中鱼的总数．根据这种方法估算是否准确
(2)请设计另一种标记的方法，使得估计更加精准．
用频率估计概率
题二
题面：小明在操场上做游戏，他发现地上有一个不规则的封闭图形ABC．为了知道它的面积，小明在封闭图形内画出了一个半径为1m的圆，在不远处向圈内掷石子，且记录如下：
掷子次数 50次 150次 300次
石子落在⊙O内(含⊙O上)的次数m 14 43 93
石子落在图形内的次数n 19 85 186
你能否求出封闭图形ABC的面积 试试看．
用频率估计概率、几何概型
题三
题面：地面上铺满了正方形的地砖(40cm×40cm)．现在向其上抛掷半径为5cm的圆碟，圆碟与地砖间的间隙相交的概率大约是多少
用频率估计概率
思维拓展
题一
蒲丰投针问题：1777年法国科学家蒲丰 ( http: / / baike. / view / 577679.htm" \t "_blank )提出的一种计算圆周率 ( http: / / baike. / view / 3287.htm" \t "_blank )的方法——随机投针法，即著名的蒲丰投针问题．
投针步骤：
这一方法的步骤是：
(1)取一张白纸，在上面画上许多条间距为d的平行线．
(2)取一根长度为l(l(3)计算针与直线相交的概率．
18世纪，法国数学家蒲丰 ( http: / / baike. / view / 577679.htm" \t "_blank )和勒可莱尔提出的“投针问题”，记载于蒲丰 ( http: / / baike. / view / 577679.htm" \t "_blank )1777年出版的著作中：“在平面上画有一组间距为d的平行线 ( http: / / baike. / view / 67614.htm" \t "_blank )，将一根长度为l（lp=2l/(πd)(π为圆周率 ( http: / / baike. / view / 3287.htm" \t "_blank ))利用这个公式可以用概率 ( http: / / baike. / view / 45320.htm" \t "_blank )的方法得到圆周率 ( http: / / baike. / view / 3287.htm" \t "_blank )的近似值．
像投针实验一样，用通过概率实验所求的概率来估计我们感兴趣的一个量，这样的方法称为蒙特卡罗方法(Monte Carlo method)．
题二
另一个有趣的概率问题：关于蒙蒂霍尔问题：汽车与羊的概率．
讲义参考答案
重难点易错点解析
题一
答案：(1)频率依次为0.90，0.92，0.91，0.89，0.90；(2)概率是0.9．
金题精讲
题一
答案：200
满分冲刺
题一
答案：(1)先求有标记数与总条数的比得池塘鱼数条，估计可能不太准确，因为实验次数太少．
(2)可以先捞出一定数目的鱼(比如30条)，做上标记再放回，一天后，在池塘里随机捞取，每次捞50条，求带有标记和不带有标记鱼的数目比．重复实验100次，求出平均值，然后用30除以平均比值，即可估计池塘里的鱼数．
题二
答案：随实验次数的增加，可以看出石子落在⊙O内(含⊙O上)的频率趋近0.5，有理由相信⊙O面积会占封闭图形ABC面积的一半，所以求出封闭图形ABC的面积为2π.．
题三
答案：如图，当所抛圆碟的圆心在图中边框内(宽为5cm)部分时，圆碟将与地砖间的间隙相交，因此所求概率等于一块正方形地砖内的边框部分和该正方形的面积比，结果为．
思维拓展
题一
（有趣的故事）
题二
（有趣的故事）
PAGE
第 - 5 - 页学科：数学
专题：概率初步（一）
重难点易错点解析
题一：
题面：下列说法正确的是（ ）
A、两名同学5次成绩的平均分相同，则方差较大的同学成绩更稳定．
B、某班选出两名同学参加校演讲比赛，结果一定是一名男生和一名女生．
C、学校气象小组预报明天下雨的概率为0.8，则明天下雨的可能性较大．
D、为了解我市学校“阳光体育”活动开展情况，必须采用普查的方法．
金题精讲
题一：
题面：分别写有数字0，－1，－2，1，3的五张卡片，除数字不同外其他均相同，从中任抽一张，那么抽到负数的概率是（ ）
A． B． C． D．
满分冲刺
题一：
题面：为验证“掷一个质地均匀的骰子，向上的点数为偶数的概率是0.5”，下列模拟实验中，不科学的是（ ）
A．袋中装有1个红球一个绿球，它们除颜色外都相同，计算随机摸出红球的概率．
B．用计算器随机地取不大于10的正整数，计算取得奇数的概率．
C．随机掷一枚质地均匀的硬币，计算正面朝上的概率．
D．如图，将一个可以自由旋转的转盘分成甲、乙、丙3个相同的扇形，转动转盘任其自由停止，计算指针指向甲的概率．
题二：
题面：要从小强、小红和小华三人中随机选两人作为旗手，则小强和小红同时入选的概率是（ ）
A． B． C． D．
题三：
题面：有三张正面分别标有数字－2，3, 4的不透明卡片，它们除数字不同外，其余全部相同，现将它们背面朝上洗匀后，从中任取一张（不放回），再从剩余的卡片中任取一张， 则两次抽取的卡片上的数字之积为正偶数的概率是（ ）
A． B． C． D．
课后练习详解
重难点易错点解析
题一：
答案：C．
详解：根据方差的意义，概率的意义，调查方法的选择逐一作出判断：
A、两名同学5次成绩的平均分相同，则方差较小的同学成绩更稳定，故本选项错误；
B、某班选出两名同学参加校演讲比赛，结果不一定是一名男生和一名女生，故本选项错误；
C、学校气象小组预报明天下雨的概率为0.8，则明天下雨的可能性较大，故本选项正确；
D、为了解我市学校“阳光体育”活动开展情况，易采用抽样调查的方法，故本选项错误．
故选C．
金题精讲
题一：
答案：B．
详解：用是负数的卡片数除以总卡片数即为所求的概率，即可选出：
∵五张卡片分别标有0，－1，－2，1，3五个数，数字为负数的卡片有2张，
∴从中随机抽取一张卡片数字为负数的概率为．故选B．
满分冲刺
题一：
答案：D．
详解：分析每个试验的概率后，与原来掷一个质地均匀的骰子的概率比较即可：
A、袋中装有1个红球一个绿球，它们除颜色外都相同，随机摸出红球的概率是，故本选项正确；
B、用计算器随机地取不大于10的正整数，取得奇数的概率是，故本选项正确；
C、随机掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率是，故本选项正确；
D、将一个可以自由旋转的转盘分成甲、乙、丙3个相同的扇形，转动转盘任其自由停止，指针指向甲的概率是，故本选项错误．
题二：
答案：B．
详解：因为从小强、小红和小华三人中随机选两人作为旗手，共有小强和小红、小强和小华．小红和小华三种情况，小强和小红同时入选只有一种情况，所以小强和小红同时入选的概率是．故选B．
题三：
答案：C．
详解：根据题意画出树状图或列表，然后由图表求得所有等可能的结果与两次抽取的卡片上的数字之积为正偶数的情况，再利用概率公式求解即可求得答案：
画树状图得：
∵共有6种等可能的结果，两次抽取的卡片上的数字之积为正偶数的有2种情况，
∴两次抽取的卡片上的数字之积为正偶数的概率是：．故选C．学科：数学
专题：概率初步（一）
主讲教师：黄炜 北京四中数学教师
重难点易错点解析
确定性事件不只有必然事件，还有不可能事件．
题一
题面：在下列事件中：(1)投掷一枚均匀的硬币，正面朝上；(2)投掷一枚均匀的骰子，6点朝上；(3)任意找367人中，至少有2人的生日相同；(4)打开电视，正在播放广告；(5)小红买体育彩票中奖；(6)北京明年的元旦将下雪；(7)买一张电影票，座位号正好是偶数；(8)到2020年世界上将没有饥荒和战争；(9)抛掷一只均匀的骰子两次，朝上一面的点数之和可能小于2；(10)在标准大气压下，温度低于0℃时冰融化；(11)如果a，b为实数，那么a＋b＝b＋a．
确定的事件有______；随机事件有______ (只填序号)
金题精讲
题一
题面：某储蓄卡上的密码是一组四位数字号码，每一位上的数字可在0～9这10个数字中选取．某人未记准储蓄卡密码的最后一位数字，他在使用这张储蓄卡时，如果随意地按一下密码的最后一位数字，正好按对密码的概率有多少
求古典概型的概率
满分冲刺
题一
题面：如图，两个转盘中指针落在每个数字上的机会相等，现同时转动A、B两个转盘，停止后，指针各指向一个数字．小力和小明利用这两个转盘做游戏，若两数之积为非负数则小力胜；否则，小明胜．你认为这个游戏公平吗 请你利用列举法说明理由．
求古典概型的概率
题二
题面：随意安排甲、乙、丙3人在3天节日中值班，每人值班1天．
(1)这3人的值班顺序共有多少种不同的排列方法
(2)其中甲排在乙之前的排法有多少种
(3)甲排在乙之前的概率是多少
求古典概型的概率
题三
题面：经过某十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能向左转或向右转．如果这三种可能性大小相同，三辆汽车经过这个十字路口，求下列事件的概率：
(1)三辆车全部直行；
(2)两辆车向右转，一辆车向左转；
(3)至少有两辆车向左转．
求古典概型的概率
讲义参考答案
重难点易错点解析
题一
答案：(3)、(9)、(10)、(11)；
(1)、(2)、(4)、(5)、(6)、(7)、(8)．
金题精讲
题一
答案：最后一位数可以是0～9这10个数字中的一个，故正好按对密码的概率是．
满分冲刺
题一
答案：
转盘A 两个数字之积转盘B －1 0 2 1
1 －1 0 2 1
－2 2 0 －4 －2
－1 1 0 －2 －1
由列表可知，由两个转盘各转出一数字作积的所有可能情况有12种，每种情况出现的可能性相同，其中两个数字之积为非负数有7个，负数有5个，
∴P(小力获胜)，P(小明获胜)．
∴这个游戏对双方不公平．
题二
答案：(1)值班顺序共有6种排列方法；(2)甲在乙前的有3种；(3)概率为．
题三
答案：画出树形图：
由树形图可知，三辆车在十字路口随机选择的情况共有27种，每种情况出现的可能性大小相同，其中，
(1)三辆车全部继续直行的结果只有一个，P(三辆车全部继续直行)；
(2)两辆车向右转，一辆车向左转的结果有3个，
P(两辆车向右转，一辆车向左转)；
(3)至少有两辆车向左转的结果有7个，P(至少有两辆车向左转)．
PAGE
第 - 3 - 页学科：数学
专题：概率初步（二）
主讲教师：黄炜 北京四中数学教师
重难点易错点解析
题一：
题面：绿豆在相同条件下的发芽试验，结果如下表所示：
每批粒数n 100 300 400 600 1000 2000 3000
发芽的粒数m 96 282 382 570 948 1912 2850
发芽的频率 0.960 0.940 0.955 0.95 0.948 0.956 0.950
则绿豆发芽的概率估计值是（ ）
A．0.96 B．0.95 C．0.94 D．0.90
金题精讲
题一：
题面：一个不透明的盒子里有n个除颜色外其它完全相同的小球，其中有6个黄球．每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后在放回盒子，通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄球的频率稳定在30%，那么可以推算出n大约是（ ）
A．6 B．10 C．18 D．20
满分冲刺
题一：
题面：某地区为了估计该地区梅花鹿的数量，先捕捉了10只梅花鹿给它们做上标记，然后放走，待有标记的梅花鹿完全混合于鹿群后，第二次捕捉30只梅花鹿，发现其中5只有标记，从而估计这个地区的梅花鹿约有（ ）只
题二：
题面：向如图所示的正三角形区域扔沙包(区域中每一个小正三角形除颜色外完全相同)，假设沙包击中每一个小三角形是等可能的，扔沙包1次击中阴影区域的概率等于（ ）
A． B． C． D．
题三：
题面：小江玩投掷飞镖的游戏，他设计了一个如图所示的靶子，点E、F分别是矩形ABCD的两边AD．BC上的点，EF∥AB，点M、N是EF上任意两点，则投掷一次，飞镖落在阴影部分的概率是（ ）
A． B． C． D．
课后练习详解
重难点易错点解析
题一：
答案：B．
详解：根据概率的意义，在一定条件下，重复做n次试验，nA为n次试验中事件A发生的次数，如果随着n逐渐增大，频率nA/n逐渐稳定在某一数值p附近，则数值p称为事件A在该条件下发生的概率，概率是反映事件发生机会的大小的概念．因此试验次数越多，越接近概率估计值．因此，绿豆发芽的概率估计值是0.95．故选B．
金题精讲
题一：
答案：D．
详解：在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解：
由题意可得，×100%=30%，解得，n=20（个）．故选D．
满分冲刺
题一：
答案：x=60
详解：设这个地区的梅花鹿约有x只，则10：x=5：30
解之得，x=60
题二：
答案：C．
详解：求出阴影部分的面积与三角形的面积的比值即可解答：
∵阴影部分的面积与三角形的面积的比值是，
∴扔沙包1次击中阴影区域的概率等于．故选C．
题三：
答案：C．
详解：∵，
∴．
∴飞镖落在阴影部分的概率是．故选C．学科：数学
专题：概率初步（二）
主讲教师：黄炜 北京四中数学教师
重难点易错点解析
题一：
题面：对某工厂生产的大批同类产品进行合格率检查，分别抽取5件、10件、60件、150件、600件、900件、1200件、1800件，检查结果如下表所示：
抽取的件数/n 5 10 60 150 600 900 1200 1800
合格件数/m 5 8 53 131 542 820 1091 163.1
合格频率(m/n) 1 0.8 0.883 0.873 0.913 0.911 0.909 0.906
求该厂产品的合格率．
金题精讲
题一：
题面：藏羚羊是国家保护动物，某地区为估计该地区藏羚羊的只数，先捕捉20只给它们分别作上记号然后放还，带有标记的羚羊完全混合于羊群后，第二次捕捉40只，发现其中有2只有标记．从而估计这个地区有藏羚羊 只．
满分冲刺
题一：
题面：生物工作者为了估计一片山林中雀鸟的数量，设计了如下方案：先捕捉100只雀鸟，给它们做上标记后放回山林；一段时间后，再从中随机捕捉500只，其中有标记的雀鸟有5只．请你帮助工作人员估计这片山林中雀鸟的数量约为 只.
题二：
题面：用图中两个可自由转动的转盘做“配紫色”游戏：分别旋转两个转盘，若其中一
个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色，那么可配成紫色的概率是（ ）
A． B． C． D．
题三：
题面：向一个图案如下图所示的正六边形靶子上随意抛一枚飞镖，则飞镖插在阴影区域的概率为（ ）
A. B. C. D.
课后练习详解
重难点易错点解析
题一：
答案：90%．
详解：从上表的数据可看到，当抽取件数（即重复试验次数）n越大，“一件产品合格”事件发生的频率就越接近常数0.9，
所以“一件产品合格”的概率约为0.9，我们通常说该厂产品的合格率为90%．
金题精讲
题一：
答案：400．
详解：通过样本去估计总体，总体百分比约等于样本百分比．
40÷(2÷20)
=40÷10%
=400只．
故答案为400．
满分冲刺
题一：
答案：10000只．
详解：重新捕获500只，其中带标记的有5只，可以知道，在样本中，有标记的占到 ．而在总体中，有标记的共有100只，根据比例即可解答．100÷=10000只．
故答案为：10000．
题二：
答案：D．
详解：由于第二个转盘不等分，所以首先将第二个转盘中的蓝色部分等分成两部分，然后画树状图，由树状图求得所有等可能的结果与可配成紫色的情况，再利用概率公式即可求得答案：
如图，将第二个转盘中的蓝色部分等分成两部分，
画树状图得：
∵共有6种等可能的结果，可配成紫色的有3种情况，
∴可配成紫色的概率是：．故选D．
题三：
答案：A．
详解：如图，设正六边形的边长为a，则正六边形可由六个与△ABO全等的等边三角形组成，△ABO的边长也为a，高，面积为．正六边形的面积为．
阴影区域的面积为六个扇形（半径为a，圆心角为600）面积减去六个上述等边三角形面积，即．
∴飞镖插在阴影区域的概率为．故选A．学科：数学
专题：概率初步（一）
重难点易错点解析
题一：
题面：下列说法中错误的是（ ）
A．某种彩票的中奖率为1％，买100张彩票一定有1张中奖．
B．从装有10个红球的袋子中，摸出1个白球是不可能事件．
C．为了解一批日光灯的使用寿命，可采用抽样调查的方式．
D．掷一枚普通的正六面体骰子，出现向上一面点数是2的概率是．
金题精讲
题一：
题面：定义一种“十位上的数字比个位、百位上的数字都要小”的三位数叫做“V数”如“947”就是一个“V数”．若十位上的数字为2，则从1，3，4，5中任选两数，能与2组成“V数”的概率是（ ）
A． B． C． D．
满分冲刺
题一：
题面：如图，一个正六边形转盘被分成6个全等三角形，任意转动这个转盘1次，当转盘停止时，指针指向阴影区域的概率是（ ）
A． B． C． D．
题二：
题面：给甲乙丙三人打电话，若打电话的顺序是任意的，则第一个打电话给甲的概率为（ ）
A． B． C． D．
题三：
题面：“湘潭是我家，爱护靠大家”．自我市开展整治“六乱”行动以来，我市学生更加自觉遵守交通规则．某校学生小明每天骑自行车上学时都要经过一个十字路口，该十字路口有红、黄、绿三色交通信号灯，他在路口遇到红灯的概率为，遇到黄灯的概率为，那么他遇到绿灯的概率为（ ）
A． B． C． D．
课后练习详解
重难点易错点解析
题一：
答案：A．
详解：根据概率的意义，随机事件，调查方法的选择，概率公式对各选项作出判断：
A：某种彩票的中奖率为1%，是中奖的频率接近1%，所以买100张彩票可能中奖，也可能没中奖，所以A选项的说法错误；
B、从装有10个红球的袋子中，摸出的应该都是红球，则摸出1个白球是不可能事件，所以B选项的说法正确；
C、为了解一批日光灯的使用寿命，可采用抽样调查的方式，而不应采用普查的方式，所以C选项的说法正确；
D、掷一枚普通的正六面体骰子，共有6种等可能的结果，则出现向上一面点数是2的概率是，所以D选项的说法正确．
故选A．
金题精讲
题一：
答案：C．
详解：画树状图得：
∵可以组成的数有：321，421，521，123，423，523，124，324，524，125，325，425，
其中是“V数”的有：423，523，324，524，325，425六个，
∴从1，3，4，5中任选两数，能与2组成“V数”的概率是：．故选C．
满分冲刺
题一：
答案：B．
详解：确定阴影部分的面积在整个转盘中占的比例，根据这个比例即可求出转盘停止转动时指针指向阴影部分的概率：
转动转盘被均匀分成6部分，阴影部分占2份，转盘停止转动时指针指向阴影部分的概率是．
题二：
答案：B．
详解：第1个打电话给甲、乙、丙（因为次序是任意的）的可能性是相同的，所以第一个打电话给甲的概率是．故选B．
题三：
答案：D．
详解：∵他在该路口遇到红灯的概率为，遇到黄灯的概率为，
∴他遇到绿灯的概率是：1﹣﹣=．故选D．
