运用公式法—完全平方公式(2)[上学期]

运用公式法—完全平方公式(2)
教学目标
　　1.会把多项式经过适当变形，成为完全平方式的形式，能较熟练地运用完全平方公式把多项式分解因式；
　　2.通过综合运用提取公因式法、平方差公式和完全平方公式把多项式因式分解，进一步提高学生综合运用知识解决问题的能力.
教学重点和难点
　　重点：把多项式通过适当的代换、变形转化为完全平方式，运用完全平方公式分解因式.
　　难点：综合运用多种方法把多项式因式分解.
教学过程设计
　　一、导入新课
　　问：什么叫完全平方式 试举例加以说明.
　　答：形如a2±2ab+b2的式子叫做完全平方式，例如多项式9x2－12xy+4y2就是一个完全平方式.
　　问：多项式－x2－4y2+4xy是否符合完全平方式的结构特点 这样的多项式能否进行因式分解
　　这节课我们就要解决这个问题.
　　二、新课
　　例1 把－x2－4y2+4xy分解因式.
　　分析：这个多项式的两个平方项的符号均为负，因此不符合完全平方式的形式，不能直
接运用完全平方公式把它因式分解，如果把它的各项均提出一个负号，那么括号内的多项式就符合完全平方式的结构特点，从而可以运用完全平方公式分解因式.
　　解　　－x2+4y2+4xy=(x2－4xy+4y2)
　　　　　　　　　　 =－[x2－2·2x·y+(2y) 2]
　　　　　　　　　　 =－(x－2y) 2.
　　指出：
　　1.在一个多项式中，两个平方项的符号必须相同，才有可能成为完全平方式.
　　2.在对类似例1的多项式因式分解时，一般都是先把完全平方项的符号变为正的，也就是先把负号提到括号外面，然后再把括号内的多项式运用完全平方公式因式分解.
　　例2 把(x+y) 2－6(x+y)+9分解因式.
　　分析：多项式中的两个平方项分别是(x+y) 2和32，另一项6(x+y)=2·(x+y)·3，符合完
全平方式的形式，这里“x+y”相当于完全平方式中的a，“3”相当于相当于公式中的b，设a=x+y，我们可以把原式变为
　　　　　　　　　　　　(x+y) 2－6(x+y)+9=a2－6a+9，
因而能运用完全平方公式，得到(a－3) 2.
　　在解题过程中，可以把代换这一步骤省略.
　　解 (x+y) 2－6(x+y)+9=(x+y) 2－2(x+y)·3+32=(x+y－3) 2.
　　指出：把较复杂的多项式(x+y) 2－6(x+y)2+9，通过代换a=x+y，使原多项式转化为关于字母a的二次三项式a2－6a+9，从而可以用完全平方公式分解因式，这种通过代换解决问题的方法是数学中经常用到的一种重要的思想方法.
　　例3 把m2+10m(a+b)+25(a+b) 2分解因式.
　　问：观察和分析这个多项式，是否符合完全平方式形式 为什么
　　答：可以把m2+10m(a+b)+25（a+b）2写成m2+2m·5(a+b)+[5(a+b)] 2.这里m相当于完全平方式里的a，5(a+b)相当于完全平方式里的b.原式是完全平方式，可以运用完全平方公式因式分解.
　　解 m2+10m(a+b)+25(a+b) 2=m2+2m·5(a+b)+[5(a+b)] 2
　　　　　　　　　　　　 =[m+5(a+b)] 2=(m+5a+5b) 2.
　　指出：通过以上各例题可以看到，在给出的多项式中，两个平方项可以是单项式包(
数)，也可以是多项式.
　　例4 把下列各式分解因式：
　　(1)3ax2+6axy+3ay2；
　　(2)81m4－72m2n2+16n4.
　　对于(1)，请同学观察和分析，这个多项式的结构有什么特点 怎样分解因式
　　答：这个多项式的各项都有公因式3a，可以先提出，即
　　　　　　　　　　　　　　3ax2+6axy+3ay2=3a(x2+2xy+y2).
　　括号内的多项式是一个完全平方式，可以用完全平方公式因式分解.
　　对于(2)，结合这个多项式的结构特点，怎样分解因式
　　答：所给的多项式是三项式，其中第一、三项可以变形为平方项，即81m4=(9m2) 2，16n4=(4n2) 2，中间项72m2n2=2·9m2·4n2，所以这个多项式符合完全平方式形式，因此可以运用完全平方公式因式分解.
　　解　(1)3ax2+6axy+3ay2=3a(x2+2xy+y2)=3a(x+y) 2.
　　指出：如果多项式的各项有公因式，应该先提出这个公因式，再进一步分解因式.
　　(2)81m4－72m2n2+16n4=(9m2) 2－2·9m2·4n2+(4n2) 2=(9m2－4n2) 2.
　　问：做到这一步还能不能继续再分解
　　答：括号内的多项式是平方差形式，可以运用平方差公式分解因式.
　　　　原式=(9m2－4n2) 2
　　　　　　=[(3m) 2－(2n) 2] 2
　　　　　　=[(3m+2n)(3m－2n)] 2
　　　　　　=(3m+2n) 2 (3m－2n) 2.
指出：在把多项式因式分解时，应把多项式分解到不能再分解为止.
　　三、课堂练习
　　把下列各式分解因式：
　　(1)(x+y) 2－10(x+y)+25；　　　　　(2)－2xy－x2－y2；
　　(3)ax2+2a2x+a3；　　　　　　　　(4)－a2c2－c4+2ac3；
　　(5)(a+b) 2－16(a+b)+64；　　　　　(6)(x2+2x) 2+2(x2+2x)+1；
　　(7)(m2－6) 2 (m2－6)+9；　　　　　　(8)a4－8a2b2+16b4.
　　答案：
　　(1)(x+y－5) 2；　　　(2)－(x+y) 2；　　　(3)a(x+a) 2；
　　(4)－c2 (a－c) 2；　　 (5)(a+b－8) 2；　 (6)(x+1)4；
　　(7)(m+3) 2 (m－3) 2；　(8)(a+2b) 2 (a－2b) 2.
　　四、小结
　　1.当给出的多项式的结构比较复杂时，不能直接看出是否为完全平方式的形式，可以通过代换的方法或经过适当的变形(如添括号)，把原多项式化为完全平方式.
　　2.把一个多项式因式分解，首先观察这个多项式的特点，选用适当的方法因式分解.当
所给的多项式的各项有公因式时，应先提公因式；当一个多项式的两个平方项都含有负号
时，先提出负号，使括号内的多项式的平方项变为正号；当多项式是一个关于某个因式的四次三项式，可以通过代换，把这个多项式转化为二次三项式.通过这些变换，把多项式变为完全平方式，再进行因式分解.
　　五、作业
　　把下列各式分解因式：
　　(1)(x+y) 2+6(x+y)+9；　　　　　(2)a2－2a(b+c) 2+(b+c) 4；
　　(3)4－12(x－y)+9(x－y) 2；　　　　(4)(m+n) 2+4m(m+n)+4m2；
　　(5)2xy－x2－y2；　　　　　　　　(6)4xy2－4x2y－y3；
　　(7)3－6x+3x2；　　　　　　　　 (8)－a+2a2－a3；
　　(9)－4m2 (a+b) 2－12mn(a+b)－9n2； (10)(x+y) 2－4(x+y)(p－q)+4(p－q) 2.
　　答案：
　　(1)(x+y+3) 2；　　　(2)(a－b－c) 2；　　(3)(2－3x+3y) 2；
　　(4)(3m+n) 2；　　　 (5)－(x－y) 2； 　　(6)－y(2x－y) 2；
　　(7)3(1－x) 2；　　　 (8)－a(1－a) 2；　　
　　(9)－(2ma+2mb+3n) 2；(10)(x+y－2p+2q) 2.
　　课堂教学设计说明
　　1.通过设辅助元进行代换的方法，把例2中的多项式化归为一个完全平方式，从而运用完全平方公式把原多项式因式分解，从中向学生渗透化归的思想方法，即把一个未知的、复杂的、繁难的问题，归结到已知的、简单的、容易解决的问题中去，最终求得问题的解决.
这也是数学中解决问题的一种思路，从而可以培养学生在解决数学问题时的思维的目的性、方向性和主
法的模式化.
　　2.学生掌握了运用完全平方公式、平方差公式和提取公因式法把多项式因式分解，就有条件进行综合应用训练.在教学设计中通过例4和课堂练习，引导学生根据所给的多项式的结构特点，选取不同的方法把多项式因式分解，既巩固了所学的基础知识(如三种因式分解的基本方法和添括号法则等)，又培养了学生综合运用多种方法解决问题的能力.