按秘密级事项管理
丹东市 2022～2023 学年度（下）期末教学质量监测
高二数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写
在本试卷上无效．
3．本试卷共 22 题，共 150 分，共 4 页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
1．已知集合 A＝{x x 2}， B {x N * x2 x 6 0}，则 A B
A． ( ，2] B． [ 1，2] C．{0，1，2} D．{1，2}
2．设随机变量 X，Y满足Y 3X 2 1 ， X ~ B(2，)，则D(Y )
3
A 4 B 4． ． C．4 D．6
9 3
3．一个口袋里装有大小相同的 2个红球和 2个白球，从中任意取出 2个球，记事件 A=“至
少有一个是红球”，事件 B=“恰好有一个是红球”，则事件 A发生是事件 B发生的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．我国是世界上严重缺水的国家之一，某市为了制定合理的节水方案，对家庭用水情况进
行了调查，通过抽样，获得了某年 100个家庭的月均用水量（单位：t）,将数据按照 [0，1)，
[1，2)，[2，3)，[3，4)，[4，5]分成 5组，制成了如图所示的频率分布直方图，则估计全市家
庭月均用水量的平均数为
A．2.45
B．2.46
C．2.47
D．2.48
5．设 l a是曲线 y (a 0)的一条切线，则 l与坐标轴围成的三角形的面积为
x
A． a2 B． 2 a C． 2 a D． 2a2
6．某工厂产值第二年比第一年的增长率为P1，第三年比第二年的增长率为P2，P1＋P2为定
值 M，这两年平均增长率 P的最大值为
A M M． B． M－1 C． D 1
M
． －
2 2 2
高二数学试题 第 1 页（共 5 页）
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7．若 1和 9为等比数列{an}前 6项中的某两项，则a5的最小值为
A．－81 B．－27 C．－9 D．－3
8．定义在 (0, )的函数 f (x)存在导函数，且 xf (x) 1，当 x (0,a)时
A． f (x) ln x B． f (x) ln x
C f (x) f (a) ln x． D． f (x) f (a) ln x
a a
二、选择题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分．在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求．全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分。
9．下面有两组数据，第一组 (11，1)，(11.3，2)，(11.8，3)，(12.5，4)，(13.4，5)的线性回归方程为 l1：
y b 1x a 1，相关系数为 r1，第二组 (11，5)，(11.3，4)，(11.8，3)，(12.5，2)，(13.4，1)的线性回归方程
为 l2：y b 2x a 2 ，相关系数为 r2，则下列说法正确的有
A． l1与 l2的交点为 (12，3) B． r1 r2 0
C．b b 1 2 0 D． a 1 a 2 3
n
xi yi nx y
参考公式： b i 1 ， a n y b
x
x2 2i nx
i 1
10．已知 Sn为数列{an}的前 n项和， an an 1 2n 1 .
A．当 a1 1时， a6 4
B．当 a1 2时， S100 4950
C．当 Sk 2 Sk 15时， k 8
D．当 a1 0，a2 1时，数列{an}是等差数列
11．已知 A，B是两个事件， P(A) 0.4， P(B A) 0.3， P(B A) 0.2，则
A． P(AB) 0.12 B． P(B) 0.14
C． P(A B) 0.5 D． P(A B) 0.64
12．无理数 e 2.71828 是一个特殊的数，它是取自瑞士数学家欧拉（Euler）的英文首字
母，欧拉首先发现此数并称为自然对数的底数，以 e为底的对数函数 y ln x及与 y ln x
高二数学试题 第 2 页（共 5 页）
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有关的组合函数对数学、科技、生活等发展产生很大的影响.若关于 y ln x的组合函数
f (x) x ln x，当 f (x) t 存在不同的实数根 x1，x2，则
A． f (x) x 1恒成立
B 1． t的取值范围是 [ ，0]
e
C 2． x1 x2 e
D． f (x) ax2 2 (a 0)在定义域内恒成立， a的最小值为 e3
a
三、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分。
13．在某次测试中，测量结果 X服从正态分布 N(1，σ2)，若 X在(0，1)内的取值概率为 0.3，
则 X在 (0， )上的取值概率为______．
14 4 1．已知 a 0，b 0，且 a b 2，则 的最小值为______．
a b
15．已知函数 f (x) x2 4 ax在 [0， )上是单调函数，则 a的取值范围为______．
16．一批易碎货品共 10 件，由甲乙两辆运输车运送某地，甲车装有 2 个一级品，2个二级
品，乙车装有 4 个一级品，2 个二级品，到达目的地后发现甲乙两车分别打碎了一件货
品，从余下的 8 件货品中随机抽取一件，得到一级品的概率为______．（结果用既约分
数表示）
四、解答题：本题共 6小题，共 70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.（10分）
已知等差数列{an}中， a2 a6 10，a4a7 5．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求数列{| an |}的前 n项和 Sn ．
18.（12分）
电影《流浪地球》中的一句经典台词“道路千万条，安全第一条”，提醒机动车驾驶人自觉
遵守道路交通安全法规，遇行人正在通过人行横道时，应当停车让行，礼让行人.某市交警
部门从通过主干道路口的车辆驾驶员中随机抽查 100 人，调查驾驶员“不礼让行人”行为与
驾龄的关系，得到下表：
高二数学试题 第 3 页（共 5 页）
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无“不礼让行人” 有“不礼让行人” 总计
驾龄不足 2年 8 2 10
驾龄超过 2年 60 30 90
总计 68 32 100
（1）能否据此判断有 90%的把握认为“不礼让行人”行为与驾龄有关？
（2）将频率视为概率，现从该市驾龄超过 2年的驾驶员中用随机抽样的方法抽取 3人，记
被抽取的 3人中无“不礼让行人”的人数为 X，求 X的分布列和数学期望.
附：临界值表
k 0.10 0.05 0.010
P( 2 k) 2.706 3.841 6.635
参考公式： 2 n(ad bc)
2
，其中 n a b c d .
(a b)(c d )(a c)(b d )
19.（12分）
已知函数 f (x) ax3 3x2 1 .
（1）若 a 2时，求 f (x)的极值；
（2）若 f (x)在 (0, )存在唯一零点，求 a的取值范围．
20.（12分）
已知 Sn为数列{an}的前 n项和， Sn an 1．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设数列{an}的前 n项积为Tn ，若 b
n
n ( 1) log2 Tn ，求{bn}的前 n项和．
高二数学试题 第 4 页（共 5 页）
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21.（12分）
现有 5个红球和 5个黄球，将其分配到甲、乙两个盒子中，每个盒子中 5个球．
（1）求甲盒子中有 3个红球和 2个黄球的概率；
（2）已知甲盒子中有 3个红球和 2个黄球，若同时从甲、乙两个盒子中取出 i(i 1,2,3)
个球进行交换，记交换后甲盒子中的红球个数为 X，X 的数学期望为 Ei (X )，求 E3 (X ) .
22.（12分）
已知函数 f (x) a x x2 cos x x ln a(a 0，a 1) .
（1）证明： f (x)在 ( ，0)上单调递减，在 (0， )上单调递增；
（2）若 x1，x2 [ 1，1]，使 | f (x1) f (x2 ) |≥ cos1 e 2，求 a的取值范围.
高二数学试题 第 5 页（共 5 页）
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高二数学试题参考答案
一、选择题
1．D 2．C 3．A 4．B
5．C 6．C 7．B 8．D
二、选择题
9．ABC 10．ABD 11．AC 12．ACD
三、填空题
9
13．0.8 14． 15．( ， 1] [0， ) 16 29．
2 48
四、解答题
17．解：
（1）由 a2 a6 10，得 a4 5，所以 a7 1
设等差数列{an}的公差为 d，所以 a7 a4 3d 6，所以 d 2
所以等差数列{an}的通项公式为 an 2n 13 .
………………（5分）
13 2n，n 6
（2）由题意可得 an
2n 13，n 7
n 6 S (11 13 2n)n当 时， n n
2 12n
2
n 7 S 36 (1 2n 13)(n 6)当 时， n2n 12n 722
n2 12n，n 6
所以数列{an}的前 n项和 S
n .
n2 12n 72，n 7
………………（10分）
18．解：
1 2 (8 30 2 60)
2 100
（ ）由得 0.735，因为 2 0.735 2.706，
68 32 10 90
所以不能说明有 90%的把握认为“不礼让行人”行为与驾龄有关.
………………（4分）
（2）由题意可知，从驾龄超过 2年的驾驶员中抽取 1 60 2人能“礼让行人”的概率为 P ，
90 3
所以 X ~ B(3 2， )，则 X的取值分别为 0，1，2，3
3
P(X 0) C 03 (1
2
)3 1
3 27 ,
P(X 1) C1 2 (1 2)2 2 3 3 3 9 ,
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P(X 2) C 2 (2)2 (1 2 43 ) , P(X 3) C 3
2 3 8
3 3 9 3
( )
3 27 ,
X 0 1 2 3
P(X ) 1 2 4 8
27 9 9 27
2
所以 X数学期望为 E(X ) 3 2
3
………………（12分）
19．（B 版教材选择性必修第六章 109 页 4 题改编）
解法 1：
f (x)的定义域为R ， f (x) 3x(ax 2) ．
（1）若 a 2，则 f (x) 6x(x 1)．
由 f (x) 0得 x 0，或 x 1，列表：
x ( ，0) 0 (0，1) 1 (1， )
f (x) 0 0
f (x) 1 0
可知当 x 0时， f (x)取极大值1，当 x 1时， f (x)取极大值0．
………………（6 分）
（2）若 a 0 2 2，当 0 x 时， f (x) 0， f (x)单调递减，当 x 时， f (x) 0， f (x)
a a
单调递增．因为 f (0) 3 f ( ) 1 0 ，所以 f (x)在 (0, 2 )存在唯一零点当且仅当 f ( ) 0，
a a
可得 a 2．
若 a 0， f (x)在 (0, 3 )存在唯一零点 x ．
3
若 a 0，当 x 0时， f (x) 0， f (x)单调递减．因为 f (0) 1， f (1) a 2 0 ，所
以 f (x)在 (0, )存在唯一零点．
综上， a的取值范围为 ( ,0] {2}．
解法 2：
f (x)的定义域为R ， f (x) 3x(ax 2) ．
（1）若 a 2，则 f (x) 6x(x 1)．当 x 0时， f (x) 0，当 0 x 1时， f (x) 0，
当 x 1时， f (x) 0，所以 f (x)在 ( ，0)单调递增，在 (0，1)单调递减，在 (1， )单调递增．
可知当 x 0时， f (x)取极大值1，当 x 1时， f (x)取极大值0．
………………（6 分）
（2）因为 f (0) 0，所以 f (x) 1 3 0等价于 3 a 0，设 g(x) x
3 3x a，则 f (x)
x x
在 (0, )存在唯一零点等价于 g(x)在 (0, )存在唯一零点．
g (x) 3(x 1)(x 1)，当 0 x 1时，g (x) 0，g(x)单调递减，当 x 1时，g (x) 0，
g(x)单调递增，所以当 x 0时， g(x)≥ g(1) a 2 ．
若 a 2，则当 x 0时， g(x) 0， g(x)在 (0, )不存在零点．
若 a 2， f (x)在 (0, )存在唯一零点 x0 =1．
若 0 a 2，因为 g(0) a 0， g(2) 2 a 0， g(x)在 (0, )存在两个零点．
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a 0 f (x) (0, ) x 3若 ， 在 存在唯一零点 ．
3
若 a 0，因为 g(0) a 0， g( 3 a ) a( 3 a 1) 0 ，所以 g(x)在 (0, )存在唯
一零点．
综上， a的取值范围为 ( ,0] {2}．
20．解：
（1）因为 Sn an 1，当 n 2时， Sn 1 an 1 1，
a 1 1
两式作差得 2a nn an 1 0，即 ，所以数列{an}，是以公比为 的等比数列an 1 2 2
1 1
当 n 1时， a1 ，所以 an 2 2n
.
………………（6分）
n(n 1)
（2）数列{a } 1 1 1 1n 的前 n项积为T 2n 2 ... 2 ，2 2 23 2n
b ( 1)n log T ，所以 b ( 1)n 1 n(n 1)因为 n 2 n n ，令{bn}的前 n项和为M2 n
，
1 2 2 3 3 4 4 5 ... ( 1)n 1M n(n 1)所以 n ，2
2 ( 2) 4 ( 2) ... ( 1)n 1M n(n 1)n ，2
n M 2 ( 2) 4 ( 2) ... n( 2)当 为偶数时， n (2 4 ... n)2
所以M n(n 2)n .4
(n 1)(n 1) n(n 1) (n 1)2
当 n为奇数时，M n ，4 2 4
n(n 2)
，n为偶数
综上所述，M n
4
(n 1)2 .
，n为奇数 4
………………（12分）
21．解：
C 3C 2 25
（1）由题意知，甲盒子中有 3个红球和 2个黄球的概率 P 5 55 ，C10 63
………………（4分）
（2）当 i 3时，X可能的取值为 0，1，2，3，4
C 3P(X 0) 3C
3
3
1
C 35C
3
5 100
{#{QQABIQAEoggAAAAAARBCUwWwCEKQkgAAACgGQFAQoEIACANABCA=}#}
C 2 1 3 3 1 2P(X 1) 3C2C3 C3C2C3 12 33 C5C
3
5 100 25
1
P(X 2) C3C
2C 3 C 2C1 1 2 3 2 1
2 3 3 2
C2C3 C3C2C3 42 21
3 3 C5C5 100 50
C1C 2C1C 2 C 2 1 2 1P(X 3) 3 2 2 3 3C2C2C3 36 9
C 35C
3
5 100 25
1 1
P(X 4) C3C 3 9
C 3C 3
5 5 100
X 0 1 2 3 4
1 3 21 9 9
P
100 25 50 25 100
E (X ) 1 3 21 9 9 12所以 3 0 1 2 3 4 .100 25 50 25 100 5
………………（12分）
22．（改编于 2015 年新课标 2 卷理科 21 题）
解法 1：
（1） f (x)定义域为R ，设 g(x) f (x) ax ln a 2x sin x ln a．
因为 g (x) a x (ln a)2 2 cos x 0，所以 f (x)在R 单调递增函数．
而 f (0) 0，因此当 x 0时， f (x) 0，当 x 0时， f (x) 0，于是 f (x)在 ( ，0)上
单调递减，在 (0， )上单调递增．
………………（4 分）
（2）命题“存在 x1，x2 [ 1,1]， | f (x1) f (x2 ) |≥ cos1 e 2”的否定为“对任意的
x1，x2 [ 1,1]， | f (x1) f (x2 ) cos1 e 2”
由（1）对任意的 a 0且a 1 f (x)在 [ 1，0]上单调递减，在[0，1]上单调递增，故 f (x)在
x 0处取得最小值．所以对任意的 x1，x2 [ 1,1]， | f (x1) f (x2 ) | cos1 e 2 等价于
f (1) f (0) cos1 e 2
f ( 1) f (0) cos1 e 2.
即
{#{QQABIQAEoggAAAAAARBCUwWwCEKQkgAAACgGQFAQoEIACANABCA=}#}
a ln a e 1 0,
1 1 ①
ln e 1 0. a a
设 h(x) x ln x e x 1 1，则 h (x) ，当 0 x 1时，h (x) 0，h(x)单调递减，当 x 1
x
时， h (x) 0， h(x)单调递增．
1 1
因为 h( ) h(e) 0，所以当且仅当 a e时，①式成立．
e e
1
因此 a的取值范围是 (0, ] [e, ) ．
e
………………（12分）
解法 2：
（1） f (x)定义域为R ， f (x) a x ln a 2x sin x ln a．
因为 f (x) ax (ln a)2 2 cos x 0，所以 f (x)在 R 单调递增函数．
而 f (0) 0，因此当 x 0时， f (x) 0，当 x 0时， f (x) 0，于是 f (x)在 ( ，0)上
单调递减，在 (0， )上单调递增．
………………（4 分）
1 1
（2）设 g(a) f (1) f ( 1) a ln a ，则 g (a) (1 )2 0 ， g(a)单调递增，当
a a
0 a 1时， g(a) 0， f (1) f ( 1)，当 a 1时， g(a) 0， f (1) f ( 1)．
由（1）对任意的 a 0且a 1 f (x)在 [ 1，0]上单调递减，在[0，1]上单调递增，故 f (x)在
x 0处取得最小值．所以存在x1，x2∈[－1，1]， | f (x1) f (x2 ) |≥ cos1 e 2等价于
f (1)≥ f ( 1) f (1) f ( 1)
或
f (1) f (0)≥cos1 e 2.
f ( 1) f (0)≥cos1 e 2.
即
a 1, 0 a 1,
或 1 1
a ln a e 1≥0, ln e 1≥0. a a
设 h(x) x ln x e 1，则 h (x) x 1 ，当 0 x 1时，h (x) 0，h(x)单调递减，当 x 1
x
时， h (x) 0， h(x)单调递增．
h(1) h(e) 0 1因为 ，所以 a的取值范围是 (0, ] [e, )．
e e
………………（12分）
{#{QQABIQAEoggAAAAAARBCUwWwCEKQkgAAACgGQFAQoEIACANABCA=}#}
