1.3 探索三角形全等的条件（第3课时） 课件（31张PPT）

第1章 · 全等三角形
1.3 探索三角形全等的条件
第3课时　角边角(ASA)
学习目标
1.探索并掌握两个三角形全等的条件“ASA”；
2.能应用“ASA”判定两个三角形全等，并能运用“ASA”解决简单的实际问题；
3.体会观察、实验、猜想、归纳问题的方法，积累数学活动的经验.
复习回顾
探索3：有三个条件对应相等时
一角和两边
两边和夹角
两边和其中一边的对角
两角和一边
两角和夹边
两角和其中一角的对边
三角
三边
√
×
？
×
问题情景
(Thales，约公元前625～前547年)
泰勒斯(古希腊哲学家)
有一天泰勒斯发现，可以用下面的方法求出岸上一点到海中一艘船的距离．
如图，A是观察点，船P在A的正前方，过A作AP的垂线l，在垂线l上截取任意长AB，O是AB的中点．观测者从B点沿垂直于AB的BK方向走，直到点K、船P和点O在一条直线上，那么BK的距离即为船离岸的距离．
A
P
∟
l
∟
K
O
B
你知道为什么吗？
操作观察
操作1：如图，用纸板挡住了两个三角形的一部分，你能画出这两个三角形吗？如果能，你画的三角形与其他同学画的三角形能完全重合吗？
（课本17页）
操作观察
（课本17页）
相当于已知一角画三角形，我们可以画出无数个不同形状、大小的三角形.
操作观察
（课本17页）
三角形能唯一确定.
4
60°
45°
F
E
D
操作观察
4
45°
60°
A
B
C
4
60°
R
Q
P
操作2：如图，△ABC与△DEF、 △MNP能完全重合吗？动手试一试.
（实验手册附录D）
45°
操作观察
操作3：按下列作法，用直尺和圆规作△ABC，使AB＝a, ∠A＝∠α, ∠B＝∠β，
1你作的三角形与其他同学作的三角形能完全重合吗？你有什么发现？
作法：
1．作AB＝a．
2．在AB的同一侧分别作∠MAB＝∠α ，∠NBA＝∠β ，AM、BN相交于点C．
3．分别连接AB、AC．
△ABC就是所求作的三角形．
α
a
小组交流验证.
β
归纳总结
以上实践告诉我们判定两个三角形全等的一个基本事实：
两角及其夹边分别相等的两个三角形全等.
(简写成“角边角”或“ASA”)
\
A
B
C
\
D
E
F
符号语言：
∵在△ABC和△DEF中，
∠????＝∠????,?????????＝????????,?∠????＝∠????.
∴ △ABC ≌ △DEF（ASA）．
?
必须是两角“夹边”
新知应用
1.找出图中的全等三角形,并说明理由．
B
A
C
75°
7
25°
Y
X
Z
7
60°
50°
Q
P
R
110°
7
25°
70°
50°
7
W
S
T
F
D
E
110°
25°
75°
25°
7
G
M
N
60°
7
新知应用
A
P
∟
l
∟
K
O
B
理由如下:
∵PA⊥AB，KB⊥AB（已知），
∴∠PAO=∠KBO=90°（垂直定义）.
∵点O是线段AB的中点（已知），
∴AO=BO （线段中点定义）.
在△PAO和△KBO中,
∠????????????＝∠????????????（已证），???????????＝????????（已证），∠????????????＝∠????????????（对顶角相等）.???????
∴△ PAO ≌△ KBO(ASA).
∴BK=AP （全等三角形的对应边相等），
∴ BK的距离即为船离岸的距离.
?
你能说出理由了吗？试一试.
若AP∥BK，其它条件不变，结论仍然成立吗？
新知探索
例 已知：如图，在△ABC中，D是BC的中点，点E、F分别在AB、AC上，且DE//AC，DF//AB．
求证：BE＝DF，DE＝CF．
E
A
B
C
D
F
证明：∵DE∥AC，DF∥AB（已知），
∴∠EDC＝∠C，∠B＝∠FDC （两直线平行，同位角相等）.
∵D是线段BC的中点（已知），
∴BD=DC（线段中点定义）.
在△EBD和△FDC中，
∠????????????＝∠????（已知），????????=????????（已证），?∴∠????＝∠????????????（已证）.?
∴△EBD≌△FDC(ASA)，
∴BE＝DF，DE=CF（全等三角形对应边相等）.
?
新知巩固
A
B
D
C
O
1.完成下列推理过程：
在△ABC和△DCB中，
∠ABC＝∠DCB（已知）
∠ACB＝∠DBC（已知）
（ ）
∴△ABC≌△DCB（ ）
BC=CB
公共边
ASA
新知巩固
A
B
D
C
O
E
F
2. 如图，AB=DC，∠B=∠C，欲证△ABF≌△DCE，需要添加条件 ，
证明全等的理由是 ．
∠A=∠D
ASA
新知巩固
3.如图，∠C＝∠E，∠1＝∠2，BA＝DA，你能证明BC＝DE吗?
A
E
D
C
B
1
2
证明:∵ ∠1＝∠2 （已知），
∴ ∠1＋∠DAC＝∠2＋∠DAC （等式性质），
∴ ∠BAC＝∠DAE.
在△BAC和△DAE中，
∠????????????＝∠????????????（已证），???????????＝????????（已知），∠????＝∠????（已知）.???????
∴△BAC≌△DAE（ASA），
∴AC＝DE（全等三角形的对应边相等）．
?
新知巩固
4.已知：点D在AB上，点E在AC上，BE和CD相交于点O，AB=AC，∠B=∠C
(1)求证：△ABE≌△ACD
A
B
C
D
E
O
解：(1)证明 ：在△ADC和△AEB中
∠????=∠????（公共角），???????????=????????（已知），∠????＝∠????（已知）.???????
?
∴△ACD≌△ABE（ASA）
(2) ∵△ACD≌△ABE（已证）
∴AD=AE（全等三角形的对应边相等）
又∵AB=AC（已知）
∴AB-AD=AC-AE（等式性质）
∴BD=CE
(2) BD和CE相等吗?
新知归纳
①公共角相等、对顶角相等、直角相等；
②等角加(减)等角,其和(差)相等；
③同角或等角的余(补)角相等；
④根据角平分线、平行线得角相等.
证明两个三角形全等时寻找等角的常用方法：
当堂反思
阅读下题及一位同学的解答过程：如图，AB和CD相交于点O，且OA＝OB，∠A＝∠C．那么△AOD与△COB全等吗？若全等，试写出证明过程；若不全等，请说明理由．
答：△AOD≌△COB．
证明：在△AOD和△COB中，
∠????=∠?????????????=????????∠????????????=∠????????????
∴ △AOD≌△COB （ASA）．
?
A
C
B
D
O
问：这位同学的回答及证明过程正确吗？为什么？
当堂反思
阅读下题及一位同学的解答过程：如图，AB和CD相交于点O，且OA＝OB，∠A＝∠C．那么△AOD与△COB全等吗？若全等，试写出证明过程；若不全等，请说明理由．
解：这位同学的解法错误．
因为两角夹边对应相等的两个三角形全等．
本题中，∠A与∠AOD的夹边是OA，∠C与∠BOC的夹边是OC，
因为OA≠OC，所以不能证明两三角形全等．
A
C
B
D
O
课堂小结
角边角
内容
应用
找等角的常用方法
当堂检测
1. 如图，直角三角形被挡住了一部分，小明根据所学知识很快就另外画出了一个与原来完全一样的三角形，这两个三角形全等的依据是____________.
ASA
当堂检测
2.如图，在用尺规作图得到△DBC≌△ABC过程中，先作∠DBC=∠ABC，再作∠DCB=∠ACB，从而得到△DBC≌△ABC，其中运用的三角形全等的判定方法是____________.
ASA
拓展延伸
D
A
C
B
3.如图，已知∠????????????=∠????????????,????????∥????????．请将下列说明????????=????????的理由补充完整．
?
证明：∵????????∥????????（已知）
∴________________（两直线平行，内错角相等）
又∵∠????????????=∠????????????（已知）
∴_________________（等式的性质）
在△????????????和△????????????中
___________________(已证)_________________(公共边)____________________(已证)
∴△????????????≌△????????????（________）
∴????????=????????（全等三角形的对应边相等）．
?
∠ADB=∠CBD
∠ABD=∠CDB
∠ADB=∠CBD
BD=DB
∠ABD=∠CDB
ASA
当堂检测
A
B
C
D
E
F
4.如图∠ACB=∠DFE，BC=EF，那么应补充一个条件 ，才能使△ABC≌△DEF （写出一个即可）.
∠B=∠E
AC=DF
（ASA）
（SAS）
AB=DE可以吗？
×
AB∥DE
当堂检测
5.下列判断正确的是 ( )
A．有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等
B．有两边对应相等，且有一角为 30°的两个等腰三角形全等
C．有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等
D．有两边和一角对应相等的两个三角形全等
C
当堂检测
6.如图，已知点????在△????????????的外部，点????在????????边上，????????交????????于????，若 ∠????=∠????=∠????，????????=????????，则有( )
A
E
D
C
B
????
?
????
?
????
?
A． △????????????≌△????????????
?
B． △????????????≌△????????????
?
C． △????????????≌△????????????
?
D． △????????????≌△????????????
?
提示：由∠2=∠3可得∠C=∠E
D
当堂检测
7.如图，点B、E、C、F在同一条直线上，BC=EF，AB∥DE，AC∥DF.求证:△ABC≌△DEF.
证明:∵AB∥DE，AC∥DF,
∴∠B=∠DEF，∠ACB=∠F.
在△ABC和△DCE中,
∠????=∠????????????，????????＝????????,∠????????????=∠????.??
∴△ABC≌△DEF(ASA).
∴AF=DE.
?
A
C
B
D
F
E
当堂检测
A
C
B
D
F
E
8.如图，E、F 在线段AC上，DF∥BE，AE=CF．若∠A =∠C，
求证：DF=BE．
证明：∵DF∥BE（已知），
∴∠DFE＝∠BEF（两直线平行，内错角相等）.
∴∠AFD＝∠CEB（等角的补角相等）.
∵AE=CF （已知），
∴ AE-EF=CF-EF （等式性质），
即AF=CE.
在△ADF和△CBE中，
∠????＝∠????（已知），????????=??????（已证），?∠????????????＝∠????????????（已证）.?
∴△ADF≌△CBE(ASA)，
∴DF＝BE （全等三角形对应边、对应角相等）.
?
当堂检测
A
C
B
D
F
E
9.点B、F、C、E在直线l上(点F、C之间不能直接测量)，点A、D在l的异侧，AB∥DE、∠A=∠D，测得AB=DE.
(1)求证:△ABC≌△DEF;
(2)若BE=12 m，BF=4 m,求FC的长度.
解:(1)证明:∵AB∥DE，
∴∠ABC=∠DEF.
在△ABC和△DEF中,
∠????????????＝∠????????????，????????=????????，?∠????＝∠????.?
∴△ABC≌△DEF(ASA).
?
当堂检测
A
C
B
D
F
E
9.点B、F、C、E在直线l上(点F、C之间不能直接测量)，点A、D在l的异侧，AB∥DE、∠A=∠D，测得AB=DE.
(1)求证:△ABC≌△DEF;
(2)若BE=12 m，BF=4 m,求FC的长度.
解: (2)∵△ABC≌△DEF，
∴BC=EF.
∴BF+FC=EC+FC.
∴BF=EC.
∵BE=12 m，BF=4 m，
∴FC=12-4-4=4(m).