湘教版数学九年级上册 2.4一元二次方程根与系数的关系课件 16张PPT

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2.4 一元二次方程根与系数的关系
第2章 一元二次方程
教学目标
了解一元二次方程
的两个根分别是 、 ，那么：
这就是一元二次方程根与系数的关系，也叫韦达定理.
新课引入
的两个根为x1，x2， 则：
ax2+bx+c
又 ax2+bx+c=

于是 .
所以
即：
这表明，当 时，一元二次方程根与系数之间具有如下关系：
两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根的积等于常数项与二次项系数的比.
例1 根据一元二次方程根与系数的关系，求下列方程的两根 x1，x2的和与积：
( 1 )
( 2 )
( 3 )
题目探究
（1）
（2）整理得：
（3）整理得：
例2 已知关于x的方程 的一个根为-3，求它的另一个根及q的值.
解：设的另一个根为x2 ，则
解得
由根与系数之间的关系得
因此，方程的另一个根是0， q的值为0.
1．根据一元二次方程根与系数的关系，求下列方程的两根x1，x2的和与积．
(1)2x2－4x－3＝0；
(2)x2－4x＋3＝7；
(3)5x2－3＝10x＋4.
课堂练习
答案：（1）
（2）
（3）
x1＋x2＝4，x1x2＝－4　
2.已知方程 的一根为1，求它的另一个根及 m 的值.
解：设的另一个根为x2 ，则
解得
有根与系数之间的关系得
因此，方程的另一个根是 ，m的值是16.
3．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2－2(m＋1)x＋m2＋5＝0的两实数根．
(1)若(x1－1)(x2－1)＝28，求m的值；
(2)已知等腰△ABC的一边长为7，若x1，x2恰好是△ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长．
解：(1)∵x1，x2是关于x的一元二次方程
x2－2(m＋1)x＋m2＋5＝0，
∴x1＋x2＝2(m＋1)，x1·x2＝m2＋5，
∴(x1－1)(x2－1)＝x1·x2－(x1＋x2)＋1
＝m2＋5－2(m＋1)＋1＝28，
解得：m＝－4或m＝6.
∵m＝－4时原方程无解，∴m＝6；
(2)①当7为底边时，此时方程x2－2(m＋1)x＋m2＋5＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝4(m＋1)2－4(m2＋5)＝0，解得：m＝2.
∴方程变为x2－6x＋9＝0，解得x1＝x2＝3.
∵3＋3＜7，∴不能构成三角形；
②当7为腰时，设x1＝7，
代入方程得：49－14(m＋1)＋m2＋5＝0，解得：m＝10或4.
当m＝10时，方程变为x2－22x＋105＝0，解得：x＝7或15.
∵7＋7＜15，不能组成三角形；
当m＝4时方程变为x2－10x＋21＝0，解得：x＝3或7，此时三角形的周长为7＋7＋3＝17.
课堂小结
2.应用一元二次方程的根与系数关系时，
首先要把已知方程化成一般形式.
3.应用一元二次方程的根与系数关系时，
要特别注意，方程有实根的条件，即在初
中代数里，当且仅当
时，才能应用根与系数的关系.
1.一元二次方程根与系数的关系是什么
通过本小节，你有什么收获？
你还存在哪些疑问，和同伴交流。