2022-2023学年湖南省长沙市望城区八年级（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年湖南省长沙市望城区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 以下计算正确的是( )
A. B.
C. D.
2. 在平面直角坐标系中，点，则点到原点的距离为( )
A. B. C. D.
3. 如图， 位于第一象限中，已知顶点、的坐标分别为，，则顶点的坐标为( )
A.
B.
C.
D.
4. 已知一组数据、、、、的众数为，则该组数据的中位数为( )
A. B. C. D.
5. 已知，当时，；当时，，那么当时，的值为( )
A. B. C. D.
6. 古希腊几何学家海伦和我国南宋数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是，，，记，那么三角形的面积为如图，在中，，，所对的边分别为，，，若，，，则的面积为( )
A. B. C. D.
7. 如图，把图中边长为的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，且此菱形的一条对角线长为，将这四个直角三角形拼成如图所示的正方形，则图中的阴影面积为( )
A. B. C. D.
8. 甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人次射击的平均成绩是环方差分别、、、，这四人中成绩最稳定的是( )
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
9. 如图，有两棵树，一棵高米，另一棵高米，两树相距米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则它至少要飞行米．( )
A.
B.
C.
D.
10. 已知、是一次函数图象上的不同的两个点，若，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 若，都是实数，，则的值为______ ．
12. 已知正比例函数中，的值随的增大而增大，则在第______ 象限．
13. 如图，在中，，点是斜边的中点，平分，，则的长是______ ．
14. 函数中自变量的取值范围是______ ．
15. 观察以下几组勾股数，并寻找规律：请你写出有以上规律的第组勾股数：______．
，，；，，；，，；，，．
16. 如图，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长都等于，无论正方形绕点怎样转动，两个正方形重叠部分的面积都不变，则这两个正方形重叠部分的面积为______ ．
三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
计算：．
18. 本小题分
如图，矩形的对角线、相交于点，，垂足为，，求的度数．
19. 本小题分
填表，并在如图的平面直角坐标系中画出一次函数的图象．
列表：
______ ______
描点、连线：
20. 本小题分
体育课上，老师为了解女学生定点投篮的情况，随机抽取名女生进行每人次定点投篮的测试，进球数的统计如图所示．
求女生进球数的平均数、中位数、众数；
投球次，进球个以上含个为优秀，全校有女生人，估计为“优秀”等级的女生约为多少人？
21. 本小题分
已知点及在第一象限的动点，且设的面积为．
求关于的函数解析式；
求的取值范围，并根据的取值范围求出的取值范围；
当时，求点坐标．
22. 本小题分
近年来，我国着力促进教育公平，提升教育质量，加快推进教育现代化、建设教育强国、办好人民满意的教育，教育数字化工作持续推进、成果丰碗在教育数字化进程中，多媒体的作用不可小觑某教育科技公司销售，两种多媒体教学设备，这两种多媒体设备的进价与售价如表所示：该教育科技公司计划购进，两种多媒体设备共套，设购进种多媒体设备套，利润为万元．
进价万元套
售价万元套
求与之间的函数关系式；
若公司要求购进种多媒体设备的数量不超过种多媒体设备的倍，当该公司把购进的两种多媒体设备全部售出，求购进种多媒体设备多少套时，能获得最大利润，最大利润是多少万元？
23. 本小题分
已知是的算术平方根，是的立方根，求的立方根；
若，的算术平方根是，求的平方根．
24. 本小题分
某校数学兴趣小组活动：用一张矩形纸片剪出一张菱形纸片，要求菱形的各个顶点均落在矩形的边或顶点上，例如：过矩形两对角线的交点，作两条互相垂直的直线与矩形四边相交，依次连结四个交点，沿连线可剪出菱形．
请画种符合要求的示意图；
若，，求出你所作的其中一个菱形的边长．
25. 本小题分
在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象与轴、轴分别交于，两点以为边在第二象限内作正方形．
求点，的坐标；
在轴上是否存在点，使的周长最小？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，选项A错误，不符合题意；
与，不是同类二次根式，不能合并，选项B错误，不符合题意；
，选项C错误，不符合题意；
，选项D计算正确，符合题意；
故选：．
逐项计算判断出正确选项即可．
本题考查了与零指数幂、同类二次根式、幂的乘方、同底数幂相除相关的计算，掌握相关计算方法是解题关键．
2.【答案】
【解析】解：点，
点到原点的距离是：．
故选：．
根据点的坐标，可以得到点到轴和轴的距离，然后根据勾股定理即可得到点到原点的距离．
本题考查勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用勾股定理解答．
3.【答案】
【解析】解： 位于第一象限中，顶点、的坐标分别为，，
，
，
故选：．
根据平行四边形的性质得出，结合坐标系即可求解．
本题考查了平行四边形的性质，坐标与图形，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
4.【答案】
【解析】解：这组数据的众数是，
数据中的的值是，
将这组数据按照从小到大的顺序排列为：、、、、，
中间的是，
该组数据的中位数为．
故选：．
先根据众数的意义推出这组数据中的值，然后根据求一组数据的中位数的方法即可求出结果．
本题主要考查众数和中位数的意义，熟练掌握众数的意义和求中位数的方法是解决问题的关键．
5.【答案】
【解析】解：根据题意得：，
解得：，
，
当时，，
故选：．
把与的值代入中计算，求出与的值，确定出与关系式，再将的值代入计算即可求出的值．
此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
6.【答案】
【解析】解：，，，
．
．
故选：．
根据海伦秦九韶公式即可解决此题．
本题主要考查二次根式的应用，熟练掌握二次根式的化简以及运算是解决本题的关键．
7.【答案】
【解析】解：如图所示：
四边形是菱形，，，
，，，
，
，
菱形的面积，
图正方形的面积，
阴影的面积．
故选：．
先利用勾股定理求得此菱形的另一条对角线的长，再求得菱形的面积，进而可得阴影的面积是边长为的正方形的面积减去菱形的面积．
本题考查了图形的剪拼、菱形的性质、正方形的性质，解决本题的关键是掌握菱形的性质．
8.【答案】
【解析】解：因为甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，方差分别为，，，，所以丙的方差最小，即丙最稳定．
故选：．
据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
本题考查方差的意义，掌握方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定是解题的关键．
9.【答案】
【解析】解：两棵树的高度差为，间距为，
根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离．
故选：．
根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树尖进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．
本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是将现实问题建立数学模型，运用数学知识进行求解．
10.【答案】
【解析】解：、是一次函数图象上的不同的两个点，
，，且，
，
，
，
，
．
故选：．
将点，点坐标代入解析式可求，即可求解．
本题考查了一次函数图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，求出是关键，是一道基础题．
11.【答案】
【解析】解：要有意义，
，
，
，
．
故答案为：．
先根据二次根式有意义的条件求出的值，进而求出的值，最后代值计算即可．
本题主要考查了二次根式有意义的条件，代数式求值，熟知二次根式有意义的条件是被开方数大于等于是解题的关键．
12.【答案】一
【解析】解：正比例函数中，的值随的增大而增大，
，
点在第一象限．
故答案为：一．
先根据正比例函数中，的值随的增大而增大判断出的符号，进而可得出结论．
本题考查的是正比例函数的性质，熟知正比例函数的增减性与系数的关系是解题的关键．
13.【答案】
【解析】解：，点是斜边的中点，
，
平分，
，
是的中位线，
，
故答案为：．
根据直角三角形斜边上的中线性质可得，然后利用等腰三角形的三线合一性质可得，最后利用三角形的中位线定理进行计算即可解答．
本题考查了直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的性质、三角形的中位线定理，熟练掌握直角三角形斜边上的中线，以及三角形的中位线定理是解题的关键．
14.【答案】
【解析】解：有意义，
，
解得：，
故答案为：．
根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件得出，即可求解．
本题考查了求函数自变量取值范围，熟练掌握二次根式有意义的条件和分式有意义的条件是解题的关键．
15.【答案】，，
【解析】解：，，，
，，，
，，，，
第组勾股数为：
，，，
第组勾股数为，，，即，，．
故答案为：，，．
根据所给的几组勾股数可找出规律，根据此规律即可求出第五组勾股数．
考查了勾股数，此题属规律性题目，解答此题的关键是根据所给的勾股数找出规律，按照此规律即可解答．
16.【答案】
【解析】解：四边形是正方形，
，，，，，
，
四边形是正方形，
，
，
，
，
≌，
四边形的面积的面积的面积
的面积的面积
的面积
正方形的面积
，
这两个正方形重叠部分的面积为，
故答案为：．
根据正方形的性质可得，，，，，，从而可得，再根据等式的性质可得，然后利用证明≌，从而可得四边形的面积的面积正方形的面积，进行计算即可解答．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，熟练掌握正方形的性质，以及全等三角形的判定与性质是解题的关键．
17.【答案】解：
．
【解析】根据二次根式的除法运算，化简绝对值，二次根式的性质化简，负整数指数幂，进行计算即可求解．
本题考查了实数的混合运算，熟练掌握二次根式的除法运算，化简绝对值，二次根式的性质化简，负整数指数幂是解题的关键．
18.【答案】解：四边形是矩形，
，
，
又，
，
，
．
【解析】根据矩形的性质可知，根据的度数求出的度数，然后根据直角三角形的锐角互余求解即可．
本题考查了矩形的性质，熟记矩形的性质并灵活运用是解题的关键．矩形的性质：平行四边形的性质矩形都具有； 角：矩形的四个角都是直角；边：邻边垂直；对角线：矩形的对角线相等．
19.【答案】
【解析】解：列表：
描点、连线：
根据的值求出的值即可；
描点、连线即可作出一次函数的图象．
本题考查了一次函数的图象，使用两点法画一次函数的图象，不一定就选择上面的两点，而要根据具体情况，所选取的点的横、纵坐标尽量取整数，以便于描点准确．
20.【答案】解：由条形统计图可得，女生进球数的平均数为：个，
第，个数据都是，则其平均数为：，
女生进球数的中位数为：，
女生进球数的众数为：；
样本中优秀率为：，
故全校有女生人，“优秀”等级的女生为：人，
答：“优秀”等级的女生约为人．
【解析】利用条形统计图得出进球总数，进而得出平均数、众数和中位数；
利用样本中优秀率，再估计总体优秀人数．
本题主要考查了中位数、众数以及利用样本估计总体和算术平均数求法，掌握相应的定义是解题关键．
21.【答案】解：如图，过作于点，
由题意可知，，，点坐标为，
由得，；
动点在第一象限，
，，
，
，
，
，
，；
把代入中，解得，
把代入得，，
点坐标是．
【解析】根据的面积列出函数解析式即可，
根据点在第一象限内，即可得到，，进一步得到；
将代入求出的解析式中即可．
本题考查的是动点函数图象，解题的关键是利用面积公式，确定关于的函数关系式．
22.【答案】解：购进种多媒体设备套，则购进种多媒体设备套，
由题意可得：
整理得：，
与之间的函数关系式为；
由题意可得：，
解得，
在中，
，
随的增大而减小，
当时，取得最大值，此时最大利润，
答：购进种多媒体设备套时，能获得最大利润，最大利润是万元．
【解析】购进种多媒体设备套，则购进种多媒体设备套，由题意可得：，整理即可解答；
根据题意列出不等式，解出的取值范围，再根据一次函数的性质求出最大利润即可．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的不等式，写出相应的函数解析式，利用一次函数的性质求最值．
23.【答案】解：由题意知，，
，，
，，
，
的立方根为；
由题意得，
解得，
．
的算术平方根是，
，
，
的平方根为．
【解析】由算术平方根和立方根的定义可求出，，即得出，，代入中求值，再求其立方根即可；
由被开方数为非负数即可求出，由算术平方根的定义可求出，代入中求值，再求其平方根即可．
本题考查算术平方根、平方根和立方根的定义，被开方数为非负数，代数式求值．熟练掌握算术平方根、平方根和立方根的定义是解题关键．
24.【答案】解：符合要求的示意图如下：
如图，菱形边长；
如图，，，
菱形边长；
如图，设，
在中，，
，
，
解得，
菱形边长为．
【解析】根据菱形的判定即可画出符合要求的示意图；
根据菱形的性质和勾股定理即可计算出菱形的边长．
本题考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．
25.【答案】解：对于直线，令，得到；令，得到，
，，
在中，，，
根据勾股定理得：；
作轴，轴，可得，
四边形是正方形，
，，
，，
，，
，
≌≌，
，，
，，
，；
存在，
找出关于轴的对称点，连接，与轴交于点，此时周长最小，
，
，
设直线的解析式为，
把与坐标代入得：，
解得：，
即直线的解析式为，
令，得到，
即．
【解析】在直角三角形中，由与的长，利用勾股定理求出的长即可；过作轴垂线，过作轴垂线，分别交于点，，可得三角形与三角形与三角形全等，利用全等三角形对应边相等，确定出与坐标即可；
作出关于轴的对称点，连接，与轴交于点，连接，，此时周长最小，求出此时的坐标即可．
此题考查一次函数图象上点的坐标，掌握待定系数法确定一次函数解析式，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，一次函数与坐标轴的交点，勾股定理是解本题的关键．
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