2022-2023学年福建省泉州市晋江重点中学高二（下）期末联考数学试卷（含解析）

2022-2023学年福建省泉州市晋江重点中学高二（下）期末联考数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 如果一个复数的实部和虚部相等，则称这个复数为“等部复数”，若复数为“等部复数”，则实数的值为( )
A. B. C. D.
2. 已知集合，，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 在空间中，下列说法正确的是( )
A. 垂直于同一直线的两条直线平行 B. 垂直于同一直线的两条直线垂直
C. 平行于同一平面的两条直线平行 D. 垂直于同一平面的两条直线平行
4. 若，，则等于( )
A. B. C. D.
5. 若，，，则下列不等式恒成立的是( )
A. B. C. D.
6. 函数的图象大致为( )
A. B.
C. D.
7. 著名的物理学家牛顿在世纪提出了牛顿冷却定律，描述温度高于周围环境的物体向周围媒质传递热量逐渐冷却时所遵循的规律新闻学家发现新闻热度也遵循这样的规律，即随着时间的推移，新闻热度会逐渐降低，假设一篇新闻的初始热度为，经过时间天之后的新闻热度变为，其中为冷却系数假设某篇新闻的冷却系数，要使该新闻的热度降到初始热度的以下，需要经过天参考数据：( )
A. B. C. D.
8. 九章算术是我国古代著名的数学著作，书中记载有几何体“刍甍”现有一个刍甍如图所示，底面为正方形，底面，四边形，为两个全等的等腰梯形，，则该刍甍的外接球的体积为( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 如图所示，在正方体中，，分别为棱，的中点，其中正确的结论为( )
A. 直线与是相交直线
B. 直线与是平行直线
C. 直线与是异面直线
D. 直线与所成的角为
10. 已知平面向量，且，则( )
A. B. C. D.
11. 已知函数其中，，的部分图象如图所示，则下列结论正确的是( )
A. 函数的图象的周期为
B. 函数的图象关于点对称
C. 函数在区间上的最大值为
D. 直线与图象所有交点的横坐标之和为
12. 如图，直线，点是，之间的一个定点，点到，的距离分别为，点是直线上一个动点，过点作，交直线于点，则( )
A. B. 面积的最小值是
C. D. 存在最小值
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 有位男生和位女生在周日去参加社区志愿活动，从该位同学中任取人，至少有名女生的概率为______ ．
14. 已知为第二象限角，且 ______ ．
15. 已知偶函数满足，且当时，，则 ______ ．
16. 如图，在平行四边形中，已知，，，，则的值是______．
四、解答题（本大题共5小题，共60.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
已知向量，满足，．
若，的夹角为，求；
若，求与的夹角．
18. 本小题分
已知的三个内角，，所对的边分别为，，，．
求；
设，，求．
19. 本小题分
年月日，第十三届全国人民代表大会第五次会议在北京人民大会堂开幕，会议报告指出，年，国内生产总值和居民人均可支配收入明显增长．某地为了解居民可支配收入情况，随机抽取人，经统计，这人去年可支配收入单位：万元均在区间内，按，，，，，分成组，频率分布直方图如图所示，若上述居民可支配收入数据的第百分位数为．
求，的值，并估计这位居民可支配收入的平均值同一组中的数据用该组区间的中点值作代表；
用样本的频率估计概率，从该地居民中抽取甲、乙、丙人，若每次抽取的结果互不影响，求抽取的人中至少有两人去年可支配收入在内的概率．
20. 本小题分
如图所示，在四棱锥中，已知底面，且底面为梯形，，，，点在线段上，．
求证：平面；
求证：平面平面．
21. 本小题分
设函数是定义域为的偶函数．
求的值；
若在上最小值为，求的值；
若不等式对任意实数都成立，求实数的范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，
因为“等部复数”的实部和虚部相等，复数为“等部复数”，
所以，所以．
故选：．
根据已知条件，结合复数的四则运算，以及实部和虚部的定义，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，以及实部和虚部的定义，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：因为，所以“”“”，但“”推不出“”，
所以“”是“”的充分不必要条件．
故选：．
由充分、必要条件定义即可得出答案．
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，理解充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．
3.【答案】
【解析】解：垂直于同一直线的两条直线的位置关系有：平行、相交和异面，、不正确；
平行于同一平面的两条直线的位置关系有：平行、相交和异面，不正确；
根据线面垂直的性质可知：D正确；
故选：．
根据空间中线、面的位置关系理解判断、、，根据线面垂直的性质判断．
本题考查线面平行或垂直的判断方法，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：因为，所以，
又，所以．
故选：．
利用二倍角公式，求得，再判断的符号，得解．
本题考查三角函数的求值，熟练掌握二倍角公式，三角函数在各象限的符号是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：：由，得，A错误；
：，当且仅当时取等号，
所以，B错误；
：，
当且仅当且，即，时取等号，C错误；
：恒成立，
故选：．
由，得，结合选项可判断．
本题主要考查了基本不等式的应用，当两个正数的和或积为定值时，可考虑利用基本不等式求解最值或判断范围．
6.【答案】
【解析】解：根据题意，函数，其定义域为，
有，为奇函数，排除，
当时，，排除，
令，解得，排除，
故选：．
根据题意，分析函数的奇偶性，排除，再利用特殊点的函数值判断即可得答案．
本题考查函数的图象分析，涉及函数的奇偶性，特殊点的函数值的判断，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：由题意得，
，
即经过天后，热度下降到初始热度的以下，
故选：．
根据题意，列出不等式，求解即可得出答案．
本题考查根据实际问题选择函数类型，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：取，中点，，正方形中心，中点，连接，，，，如图，
依题意，平面，，点是的中点，，
等腰中，，，同理，
因此，等腰梯形的高，由几何体的结构特征知，
刍甍的外接球球心在直线上，连，，，正方形外接圆半径，
则有，而，
当点在线段的延长线含点时，视为非负数，若点在线段不含点上，视为负数，
即有，即，解得，
因此刍甍的外接球球心为，半径为，
所以刍甍的外接球的体积为．
故选：．
根据给定条件，求出点到平面的距离，再由几何体的结构特征确定球心位置，结合球面的性质求解作答．
本题考查空间几何体的外接球的体积的求法，与球有关的内切或外接问题时，关键是确定球心的位置，再利用球的截面小圆性质求解．
9.【答案】
【解析】解：在正方体中，，分别为棱，的中点，
在中，直线与是异面直线，故A错误；
在中，直线与是异面直线，故B错误；
在中，直线与是异面直线，故C正确；
在中，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
设正方体中棱长为，
则，，，，
，，
则，
直线与所成的角为，故D正确．
故选：．
在中，直线与是异面直线；在中，直线与是异面直线；在中，直线与是异面直线；在中，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线与所成的角为．
本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
10.【答案】
【解析】解：，同时平方可得，，
故，故BC错误，
，
则，解得，，故AD正确．
故选：．
将同时平方可得，，再结合向量垂直的性质，以及向量模公式，即可求解．
本题主要考查向量垂直的性质，以及向量模公式，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：由图象可得，，得，故A正确，
，，则，当时，取最小值，
则，即，，
，
，即，
当时，，故B错误，
当，则，则，故C正确，
当时，
则，
设直线与图象所有交点的横坐标为，，则，解得，故D错误．
故选：．
先利用函数图象 ，，，，从而求得函数解析式，然后利用零点，对称性及正弦三角形最值求解得结果．
本题主要考查三角函数图象的应用，考查转化能力，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：设中点为，连接，以为原点，，方向分别为，轴建立如图所示直角坐标系：
所以，，
设，，，，，，，且，，
所以，
因为，所以，
即，故，即，所以，
，
因为，所以，
因为，
故，选项A正确；
因为，所以，
即，所以，，三点共线，且为靠近的三等分点，
所以，
当且仅当，即时取等，所以选项B正确；
因为，所以，
当且仅当，即时取等，故，选项C正确：
因为，
所以．
因为且，所以，记，
可知单调递增，没有最值，即没有最值，故选项D错误．
故选：．
根据题意建立合适的直角坐标系，设出，，坐标，根据及即可找到三个点的坐标关系，分别写出即可判断；取中点为，连接，根据，可得，，三点共线，且为靠近的三等分点，即可找到面积与面积之间比例关系，进而建立面积等式，根据基本不等式即可判断，求出，再根据基本不等式可判断；写出进行化简，根据的范围即可得 的最值情况．
本题考查了平面向量数量积的性质以及平面向量在平面几何中的应用，属于较难题目．
13.【答案】
【解析】解：由题意，从该位同学中任取人，至少有名女生的概率为．
故答案为：．
根据对立事件的概率公式以及古典概型的概率计算公式化简求值即可．
本题考查古典概型的概率公式，考查对立事件的应用，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：由为第二象限的角，，
得到，
则．
故答案为：
由的范围，利用同角三角函数间的基本关系，根据的值求出的值，然后利用两角和的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化简后，把的值和的值代入即可求出值．
此题考查了两角和与差的余弦函数公式、特殊角的三角函数值及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式是解本题的关键，同时注意为第二象限角条件的应用．
15.【答案】
【解析】解：偶函数满足，且当时，，
则
．
故答案为：．
利用函数的性质推导出，由此能求出结果．
本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
16.【答案】
【解析】
【试题解析】
【分析】
本题考查向量在几何中的应用，平面向量数量积的运算，属于中档题．
由，可得，，进而由，，，，构造方程，可得答案．
【解答】
解：，
，
，
又，，
，
故，
故答案为．

17.【答案】解：由，，
又，的夹角为，
则；
由，
则，
则，
设与的夹角为，
则，
又，
则，
即与的夹角为．
【解析】由平面向量数量积运算，结合向量模的运算求解即可；
由平面向量数量积运算，结合向量夹角的运算求解即可．
本题考查了平面向量数量积运算，重点考查了向量夹角的运算，属基础题．
18.【答案】解：由正弦定理得，
因为，
所以，
又因为，，
所以，
又，
所以．
由余弦定理，，
可得，解得．
【解析】本题考查正弦定理及余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
由正弦定理，三角函数恒等变换化简已知等式可得，结合，可求的值．
由已知利用余弦定理即可解得的值．
19.【答案】解：由频率分布直方图，可得，
则，
居民收入数据的第百分位数为，
，
则，
联立，解得，．
估计这位居民可支配收入的平均值为：
．
根据题意，设事件，，分别为甲，乙，丙在内，
则，
“抽取人中有人在内”，且互斥，
根据概率的加法公式和事件独立性定义得：
；
“抽取人中有人在内”，
根据概率的加法公式和事件独立性定义得：
，
抽取的人中至少有两人去年可支配收入在内的概率为：
．
【解析】根据频率分布直方图的矩形面积和为，结合第百分位数的性质求出，，进而根据频率分布直方图的平均值算法求解即可；
分抽取的人中有人和人去年可支配收入在内两种情况求解即可．
本题考查频率、平均数、概率、频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
20.【答案】证明：过作交于点，连接，
因为，所以，
又，所以，
又，所以，
所以四边形为平行四边形，所以，
又平面，平面，
所以平面；
在梯形中，，，，，
所以，
所以，即，
因为平面，平面，
所以，又，
所以平面，又平面，
所以平面平面，
【解析】先证四边形为平行四边形，可证，进而可证平面；
先证，，进而可证平面，再由面面垂直的判定定理证明平面平面．
本题考查线面平行的证明和面面垂直的证明，属中档题．
21.【答案】解：函数是定义域为的偶函数，
可得，即为，
化为，
由，可得，即；
，
设，由，递增，可得，
设，对称轴为，
当时，在递增，可得的最小值为，
解得，舍去；
当时，在处取得最小值，且为，
解得舍去，
综上可得，；
不等式即为，
设，原不等式即为，即有在恒成立，
因为在单调递增，可得的最小值为，
则，即的取值范围是．
【解析】由偶函数的定义可得，结合恒等式的性质可得的值；
求得的解析式，设，可得，设，对称轴为，讨论对称轴与区间的关系，可得最小值，求得的值；
将原不等式化为，设，可得在恒成立，运用对勾函数的单调性求得最小值，可得所求范围．
本题考查函数的奇偶性和单调性的判断和运用，以及不等式恒成立问题解法，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
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