2022-2023学年河北省石家庄市栾城区七年级（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年河北省石家庄市栾城区七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共14小题，共28.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 计算：( )
A. B. C. D.
2. 、、为同一平面内的三条直线，若与不平行，与不平行，那么下列判断正确的是( )
A. 与一定不平行 B. 与一定平行
C. 与一定互相垂直 D. 与可能相交或平行
3. 澳大利亚昆士兰大学的科学家在海底下约公里深处的沙岩中，发现了一种世界上最小的神秘生物，它们的最大身长只有米，甚至比已知的最小细菌还要小，将用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
4. 如图，下列说法中，正确的是( )
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
5. 如图，有一张边长为的正方形纸板，在它的四角各剪去边长为的正方形然后将四周突出的部分折起，制成一个无盖的长方体纸盒用表示其底面积与侧面积的差，则可因式分解为( )
A.
B.
C.
D.
6. 乐乐观察“抖空竹”时发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：如图，已知，，，则的度数是( )
A. B. C. D.
7. 下列计算不正确的是( )
A. B. C. D.
8. 下列命题中，真命题的个数是( )
过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
图形平移前后，对应点连线平行；
内错角相等；
相等的角是对顶角；
直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短；
A. B. C. D.
9. 如图，木条、、通过、两处螺丝固定在一起，且，，将木条、木条、木条看作是在同一平面内的三条直线、、，若使直线、直线达到平行的位置关系，则下列描述正确的是( )
A. 木条、固定不动，木条绕点顺时针旋转
B. 木条、固定不动，木条绕点逆时针旋转
C. 木条、固定不动，木条绕点逆时针旋转
D. 木条、固定不动，木条绕点顺时针旋转
10. 在中，已知两边长分别为和若第三边长为奇数，则第三边的长为( )
A. B. C. D. 或
11. 下列变形中，错误的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
12. 如图，三角形的角平分线、中线、高的画法错误的个数是( )
A. B. C. D.
13. 已知关于的不等式组的最小整数解是，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
14. 在探究“过直线外一点作已知直线的平行线”的活动中，王玲同学通过如下的折纸方式找到了符合要求的直线，在这个过程中她可能用到的推理依据组合是( )
平角的定义；
邻补角的定义；
角平分线的定义；
同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等．
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
15. 若，，则______，______，______．
16. 已知在直角三角形中，，将此直角三角形沿射线方向平移，到达直角三角形的位置如图所示，其中点落在边的中点处，此时边与边相交于点，如果，，那么四边形的面积 ______ ．
17. 如图，点在的延长线上，于点，交于点，若，，则的度数为______．
18. 小丽在计算时，把写成后，发现可以连续运用平方差公式进行计算用类似的方法计算： ______ ．
19. 如图，长方形的周长为，面积为，则的值为______ ．
20. 一副三角板如图放置，则 ______
三、解答题（本大题共5小题，共54.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
21. 本小题分
解方程组：；
解不等式组：．
22. 本小题分
若不等式的解集中的每一个值，都能使关于的不等式成立，求的取值范围．
23. 本小题分
阅读下列材料，并完成相应任务．
小学我们就知道三角形内角和是，怎样说理呢？已知三角形，请对说理要求用两种方法
24. 本小题分
求证：能被整除．
25. 本小题分
某经销商计划购进，两种农产品．已知购进种农产品件，种农产品件，共需元；购进种农产品件，种农产品件，共需元．
，两种农产品每件的价格分别是多少元？
该经销商计划用不超过元购进，两种农产品共件，且种农产品的件数不超过种农产品件数的倍．如果该经销商将购进的农产品按照种每件元，种每件元的价格全部售出，那么购进，两种农产品各多少件时获利最多？
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，
故选：．
根据负整数指数幂解答即可．
此题考查负整数指数幂，关键是根据负整数指数幂解答．
2.【答案】
【解析】解：根据题意可得图形：
根据图形可知：若与不平行，与不平行，则与可能相交或平行，
故选：．
根据关键语句“若与不平行，与不平行，”画出图形，图形有两种情况，根据图形可得答案．
此题主要考查了相交线，平行线，关键是弄清题意，根据题意正确画出图形．
3.【答案】
【解析】解：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．表示时关键要确定的值以及的值．
4.【答案】
【解析】解：由，不能得到，故本选项错误；
B.若，则，故本选项错误；
C.若，则，故本选项错误；
D.若，则，故本选项正确；
故选：．
同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；依据平行线的判定方法得出结论．
此题主要考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是解题关键．
5.【答案】
【解析】
解：由图可知，底面积为，
侧面积为，
，
提取公式，
，
，
故选：．
【分析】本题考查了因式分解的应用，灵活提取公因式是解本题的关键．
先表示出底面积和侧面积，然后求它们的差，再提取公因式分解因式即可．
6.【答案】
【解析】解：延长交于点．
，，
．
，，
．
故选：．
延长交于点先利用平行线的性质求出，再利用三角形外角和内角的关系求出．
本题主要考查了平行线的性质，掌握“两直线平行，同位角相等”、“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和”是解决本题的关键．
7.【答案】
【解析】解：、，正确，不合题意；
B、，正确，不合题意；
C、，原式计算错误，符合题意；
D、，正确，不合题意；
故选：．
直接利用积的乘方运算法则以及同底数幂的除法运算法则和负指数幂的性质以及零指数幂的性质分别化简得出答案．
此题主要考查了积的乘方运算以及同底数幂的除法运算和负指数幂的性质等知识，正确掌握相关运算法则是解题关键．
8.【答案】
【解析】解：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，是假命题；
在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，是假命题；
图形平移前后，对应点连线平行或共线；故是假命题；
两直线平行，内错角相等，是假命题；
相等的角不一定是对顶角，是假命题；
垂线段最短，是真命题．
故选：．
根据平行公理、图形的平移、平行线的性质定理判断即可．
本题考查命题与定理，解题关键在于熟练掌握各性质定义以及判定定理．
9.【答案】
【解析】解：木条、固定不动，木条绕点顺时针旋转，
，
与不平行，
故A不符合题意；
B.木条、固定不动，木条绕点逆时针旋转，
，
与不平行，
故B不符合题意；
C.木条、固定不动，木条绕点逆时针旋转，
，
，
故C符合题意；
D.木条、固定不动，木条绕点顺时针旋转，
，
与不平行，
故D不符合题意；
故选：．
根据平行线的判定定理判断求解即可．
此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键．
10.【答案】
【解析】解：因为两条边长分别为和，
所以第三边，
所以第三边，
因为第三边长为奇数，
第三边的长为或．
故选：．
先求出第三边长的取值范围，再根据条件具体确定符合条件的值即可．
本题考查了三角形的三边关系，掌握三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键．
11.【答案】
【解析】解：、不等式的两边都减，不等号的方向不变，故A正确；
B、不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变，故B错误；
C、不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变，故C正确；
D、不等式的两边都乘以同一个正数，不等号的方向不变，故D正确；
故选：．
根据不等式的两边都加或减同一个数或同一个整式，不等号的方向不变；不等式的两边都乘以同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变．
本题考查了不等式的性质，熟记不等式的性质并根据不等式的性质计算式解题．
12.【答案】
【解析】解：以上三个图都错误．
故选：．
三角形的中线是三角形的一个顶点与对边中点连接的线段；三角形的角平分线是指三角形内角的平分线与对边交点连接的线段；三角形的高是指从三角形的一个顶点向对边作垂线，连接顶点与垂足之间的线段．
三角形的高、中线和角平分线都是线段．
13.【答案】
【解析】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
不等式组的最小整数解是，
，
解得，
故选：．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大及不等式组的最小整数解求解即可．
本题考查的是一元一次不等式组的整数解，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
14.【答案】
【解析】解：如图，
第一次折纸，确定直线的垂线，
，
第二次折纸，确定的垂线，
，
，
，
即．
故选：．
第一次折纸，确定直线的垂线，根据平角的定义和垂直的定义得出角，然后再作折线的垂线，根据同旁内角互补，两直线平行判定．
本题考查了平行线的判定，熟练应用判定定理是解题的关键，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．
15.【答案】
【解析】解：；
；
．
故答案为：；；．
逆用同底数幂的乘法、同底数幂的除法、以及幂的乘方法则计算即可．
本题主要考查的是同底数幂的乘法、同底数幂的除法、积的乘方的应用，逆用法则是解题的关键．
16.【答案】
【解析】解：由平移变换的性质可知，，
，，，，
，
故答案为；．
根据平移的性质求出三角形的边长，再根据三角形的面积公式进行计算即可．
本题考查平移的性质，理解平移的性质是正确解答的前提，求出三角形的面积是得出正确答案的关键．
17.【答案】
【解析】解：，
，
，
，
，
，
故答案为：．
先由得到，再结合求得，最后结合求得的度数．
本题考查了三角形的内角和定理、垂直的定义，解题的关键是熟知三角形的内角和定理．
18.【答案】
【解析】解：
．
故答案为：．
根据平方差公式解决此题．
本题主要考查平方差公式，熟练掌握平方差公式是解决本题的关键．
19.【答案】
【解析】解：长方形的周长为，面积为，
，．
．
故答案为：．
先根据矩形的周长和面积计算出、，再因式分解后整体代入．
本题考查了整式的求值，掌握因式分解的提公因式法是解决本题的关键．
20.【答案】
【解析】解：延长交于，
是的外角，
，
同理：，
，
，
故答案为：．
延长交于，根据三角形的外角性质计算，得到答案．
本题考查的是三角形的外角性质，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
21.【答案】解：整理得：，
，得，
解得：，
把代入，得，
解得：，
所以方程组的解为；
，
解不等式，得，
解不等式，得，
所以不等式组的解集为．
【解析】整理后得出，求出，再把代入求出即可；
先根据不等式的性质求不等式的解集，再根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集即可．
本题考查了解二元一次方程组和解一元一次不等式组，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解的关键，能根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集是解的关键．
22.【答案】解：解不等式得：，
解关于的不等式，
得，
不等式的解集中的每一个值，都能使关于的不等式成立，
，
解得：．
【解析】求出不等式的解，再求出不等式的解集，得出关于的不等式，求出即可．
本题主要对解一元一次不等式组，不等式的性质等知识点的理解和掌握，能根据已知得到关于的不等式是解此题的关键．
23.【答案】证明：法一：如图，过点作直线，
，
，两直线平行，内错角相等，
，
，
三角形内角和是，
法二：如图，延长至，过点作，
两直线平行，同位角相等，
两直线平行，内错角相等，
，
，
三角形内角和是．
【解析】利用平线的性质即可得答案．
本题考查三角形内角和定理，掌握平行线的性质是解题关键，
24.【答案】证明：原式
．
所以能被整除．
【解析】观察、、这三个数，都可以写成底数为的数：、、，提取公因式，整理求证．
本题是因式分解在学科内的综合运用，难点是整理为底数为的幂的形式，主要考查了提取公因式法．
25.【答案】 解：设每件种农产品的价格是元，每件种农产品的价格是元，
依题意得：
解得：．
答：每件种农产品的价格是元，每件种农产品的价格是元；
设该经销商购进件种农产品，则购进件种农产品，
依题意得：
解得：．
设两种农产品全部售出后获得的总利润为元，则．
，
随的增大而减小，
当时，取得最大值，此时．
答：当购进件种农产品，件种农产品时获利最多．


【解析】
【分析】
设每件种农产品的价格是元，每件种农产品的价格是元，根据“购进种农产品件，种农产品件，共需元；购进种农产品件，种农产品件，共需元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设该经销商购进件种农产品，则购进件种农产品，利用总价单价数量，结合购进种农产品的件数不超过种农产品件数的倍且总价不超过元，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，设两种农产品全部售出后获得的总利润为元，利用总利润每件的销售利润销售数量，即可得出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
【解答】
解：设每件种农产品的价格是元，每件种农产品的价格是元，
依题意得：
解得：．
答：每件种农产品的价格是元，每件种农产品的价格是元；
设该经销商购进件种农产品，则购进件种农产品，
依题意得：
解得：．
设两种农产品全部售出后获得的总利润为元，则．
，
随的增大而减小，
当时，取得最大值，此时．
答：当购进件种农产品，件种农产品时获利最多．
【点评】
本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式．
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