第一章直线与圆知识点清单 高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

新教材 北师大2019版 数学选择性必修第一册
第一章知识点清单
目录
第一章 直线与圆
§1 直线与直线的方程
1. 1　一次函数的图象与直线的方程
1. 2　直线的倾斜角、斜率及其关系
1. 3　直线的方程
1. 4　两条直线的平行与垂直
1. 5　两条直线的交点坐标
1. 6　平面直角坐标系中的距离公式
§2 圆与圆的方程
2. 1　圆的标准方程　
2. 2　圆的一般方程
2. 3　直线与圆的位置关系
2. 4　圆与圆的位置关系
第一章 直线与圆
§1 直线与直线的方程
1. 1　一次函数的图象与直线的方程
1. 2　直线的倾斜角、斜率及其关系
一、直线的倾斜角
1. 定义
在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线l，把x轴(正方向)按逆时针方向绕着交点旋转到和直线l首次重合时所成的角，称为直线l的倾斜角. 通常倾斜角用α表示. (直线的倾斜角是反映直线的倾斜程度的量，每一条直线都有倾斜角)
2. 范围
当直线l和x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0. 因此，直线的倾斜角α的取值范围为[0，π).
二、斜率的两点式
1. 经过不同两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线l的斜率k= (x1≠x2).
(1)斜率是一个比值，它与P1，P2两点在直线上的位置无关，而与两点横、纵坐标之差的顺序有关(即x2-x1，y2-y1中x2与y2对应，x1与y1对应).
(2)运用斜率的两点式的前提条件是“x1≠x2”，也就是直线不与x轴垂直，而当直线与x轴垂直时，直线的倾斜角为90°，斜率不存在.
三、直线的斜率与倾斜角的关系
　　由正切函数的概念可知，倾斜角不是的直线，它的斜率k和它的倾斜角α满足k=tan α.
当α∈时，斜率k≥0，且k随倾斜角α的增大而增大；
当α∈时，斜率k<0，且k随倾斜角α的增大而增大；
当α=时，直线l与x轴垂直，此时直线l的斜率不存在.
四、直线的斜率与方向向量的关系
若k是直线l的斜率，则v=(1，k)是它的一个方向向量；
若直线l的一个方向向量的坐标为(x，y)，其中x≠0，则它的斜率k=.
五、倾斜角与斜率的关系及应用
1. 直线的倾斜角与斜率的关系
(1)当直线的倾斜角α满足0°≤α<90°时，斜率非负，倾斜角越大，斜率越大；
(2)当直线的倾斜角α满足90°<α<180°时，斜率为负，倾斜角越大，斜率越大；
(3)k=tan α的图象如图所示.
由斜率k的范围截取函数图象，进而可得倾斜角α的范围；
反过来，由倾斜角α的范围截取函数图象，进而可得斜率k的范围.
六、直线斜率的应用
1. 若点A，B，C都在某条斜率存在的直线上，则任意两点的坐标都可以确定这条直线的斜率，即kAB=kAC(或kAB=kBC或kAC=kBC)；反之，若kAB=kAC(或kAB=kBC或kAC=kBC)，则直线AB与AC(或AB与BC或AC与BC)的倾斜角相同，又过同一点A(或B或C)，所以点A，B，C在同一条直线上.
2. 形如的范围(最值)问题，可以利用的几何意义(过定点(a，b)与动点(x，y)的直线的斜率)，借助图形将求范围(最值)问题转化为求斜率的范围(最值)问题，从而简化运算过程.
1. 3　直线的方程
一、直线方程的几种形式
名称 已知条件 方程 适用范围
点斜式 点P(x0，y0)和斜率k y-y0=k(x-x0) 不垂直于x轴的直线
斜截式 斜率k，在y轴上的截距b y=kx+b 不垂直于x轴的直线
两点式 点P1(x1，y1)和P2(x2，y2) = (其中x1≠x2，y1≠y2) 不垂直于坐标轴的直线
截距式 在x轴上的截距a，在y轴上的截距b +=1(其中ab≠0) 不垂直于坐标轴且不过原点的直线
一般式 Ax+By+C=0 (其中A，B不全为0) 平面内所有直线
*点法式 点P(x0，y0)和法向量n=(A，B) A(x-x0)+B(y-y0)=0 平面内所有直线
二、截距
　　直线与y轴交点的纵坐标叫作直线在y轴上的截距，直线与x轴交点的横坐标叫作直线在x轴上的截距.
三、求直线的方程
1. 求直线方程的几种常见设法
(1)已知直线上一点的坐标，且斜率存在，可设直线方程为点斜式；
(2)已知直线的斜率，可设直线方程为斜截式；
(3)已知直线(不经过原点)在x轴，y轴上的截距，可设直线方程为截距式或斜截式；
(4)已知直线上两点的坐标(横、纵坐标均不相同)，可设直线方程为两点式，也可先求出斜率，再用直线方程的点斜式求解.
2. 关键技巧：
(1)已知一点的坐标，求过该点的直线方程，若斜率存在，则一般选用直线方程的点斜式，再由其他条件确定直线的斜率.
(2)已知直线的斜率求直线方程，一般选用直线方程的斜截式，再由其他条件确定直线上的一个点或者在y轴上的截距.
(3)已知两点坐标，求过这两点的直线方程，一般选用直线方程的两点式，若这两点是与坐标轴的交点，就用直线方程的截距式.
(4)无论选用什么形式的直线方程，都要注意各方程的限制条件，对特殊情况下的直线要单独讨论.
四、直线过定点问题
1. 过定点的直线系方程
当一条直线过定点P0(x0，y0)时，我们可设直线方程为y-y0=k(x-x0)，当k取遍所给范围内的每一个值后，这个方程就表示满足条件的经过定点P0(x0，y0)的不与x轴垂直的所有直线，这个方程就叫作过定点P0(x0，y0)的直线系方程. 由于y-y0=k(x-x0)不能表示过点P0(x0，y0)且与x轴垂直的直线，因此过定点P0(x0，y0)的直线系方程
y-y0=k(x-x0)中不含方程x=x0.
2. 如何求直线所经过的定点
(1)将直线方程化为y-y0=k(x-x0)的形式，则直线过定点(x0，y0).
(2)应用分离参数的方法，将直线方程化为a1x+b1y+c1+λ(a2x+b2y+c2)=0的形式，由求出定点坐标.
(3)特殊值法，对方程中的参数赋两个不同的特殊值，可得到关于x，y的两个方程，联立并解得x，y的值，即得定点坐标(x，y).
1. 4　两条直线的平行与垂直 1. 5　两条直线的交点坐标
一、两条直线的位置关系
1. 直线l1：y=k1x+b1，l2：y=k2x+b2，l3：A1x+B1y+C1=0，l4：A2x+B2y+C2=0的位置关系如表所示(其中l3的法向量为m=(A1，B1)，l4的法向量为n=(A2，B2))：
位置关系 l1，l2满足的条件 l3，l4满足的条件 l3，l4的法向量满足的条件
平行 k1=k2，b1≠b2 A1B2-A2B1=0且A1C2-A2C1
≠0(或B1C2-B2C1≠0) m∥n
垂直 k1k2=-1 A1A2+B1B2=0 m·n=0
相交 k1≠k2 A1B2-A2B1≠0 m，n不共线
2. 如果两条直线的斜率都不存在，那么它们的倾斜角都是90°，从而它们互相平行或重合；如果两条直线中一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0，那么这两条直线互相垂直.
二、 两条直线的交点坐标
1. 设两条直线的方程为l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0.
若方程组
(1)有无数组解，则两条直线重合；
(2)有唯一一组解，则两条直线相交，此解就是交点坐标；
(3)无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行，反之，亦成立.
2. 过两条直线交点的直线系方程
若已知直线l1：A1x+B1y+C1=0与l2：A2x+B2y+C2=0相交，则方程A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(其中λ∈R，这个方程表示的直线可以是l1，但不能是l2)表示过l1和l2的交点的直线系方程.
三、根据直线的位置关系求参数
1. 对于两条不重合的直线l1：y=k1x+b1，l2：y=k2x+b2(其中b1≠b2)，
若l1∥l2，则k1=k2；若l1⊥l2，则k1k2=-1；若l1与l2相交，则k1≠k2.
2. 已知两直线平行或垂直求参数的问题，要先考虑直线的斜率是否存在，若斜率存在，则依据斜率间的关系求解；若斜率不存在，则需注意特殊情形. 也可以利用直线方程的一般式，设l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0，l1∥l2 A1B2-A2B1=0且B1C2-B2C1≠0(或A1C2-A2C1≠0)；l1⊥l2 A1A2+B1B2=0.
3. 对于两直线l1：y=k1x+b1，l2：y=k2x+b2平行的问题，除了要求k1=k2，还需确定
b1≠b2，后者在解题中容易被忽略.
1. 6　平面直角坐标系中的距离公式
一、距离公式
名称 适用情况 公式
两点间的距离公式 点A(x1，y1)，B(x2，y2)之间的距离 |AB|=
点到直线的距离公式 点P(x0，y0)到直线Ax+By+C=0(其中A，B不全为0)的距离 d=
两条平行直线间 的距离公式 两条平行直线Ax+By+C1=0和Ax+By+C2=0(其中A，B不全为0，且C1≠C2)间的距离 d=
二、对称问题
1. 点关于点的对称
若点M(x0，y0)关于点P(a，b)的对称点为N(x，y)，则由中点坐标公式可得
2. 点关于直线的对称
设点M(x0，y0)关于直线l：Ax+By+C=0(A，B均不为0)的对称点为N(x，y)，则点N的坐标可由方程组求得.
3. 直线关于点的对称
　　求一条不垂直于坐标轴的直线关于点P(a，b)的对称直线的方程时，可在该直线上取两个特殊点，再求它们关于点P的对称点的坐标，然后利用两点式求其对称直线的方程.
4. 直线关于直线的对称
求直线l1关于直线l对称的直线l2时，可利用直线l1上的点A关于直线l的对称点A'必在直线l2上进行求解.
三、利用对称解决线段和、差的最值问题
1. 在直线l上求一点P，使P到两个定点的距离之和最小
(1)当两定点A，B在直线l的异侧时，由“两点之间线段最短”及“三角形中任意两边之和大于第三边”可知，当P为直线AB与l的交点时，点P到两定点的距离之和最小,最小值为|AB|. 如图①，在直线l上任取一点P'，则|P'A|+|P'B|≥|AB|=|PA|+|PB|.
(2)当两定点A，B在直线l的同侧时，作点A关于直线l的对称点A'，连接A'B交直线l于点P，此时点P到两定点A，B的距离之和最小，最小值为|A'B|.
如图②，在直线l上任取一点P'，则|P'A|+|P'B|≥|A'B|=|PA|+|PB|.
2. 在直线l上求一点P，使点P到两定点的距离之差的绝对值最大
(1)当两定点A，B在直线l的同侧时(A，B的连线与l不平行)，直线AB交直线l于点P. 此时，点P到两定点的距离之差的绝对值最大，最大值为|AB|.
如图③，在直线l上任取一点P'，则有||P'B|-|P'A||≤|AB|=||PB|-|PA||.
(2)当两定点A，B在直线l的异侧时，作点A关于直线l的对称点A'，直线A'B交直线l于点P. 此时，点P到两定点的距离之差的绝对值最大，最大值为|A'B|.
如图④，在直线l上任取一点P'，则有||P'B|-|P'A||≤|A'B|=||PB|-|PA||.
§2 圆与圆的方程
2. 1　圆的标准方程　 2. 2　圆的一般方程
一、圆的标准方程
1. 圆心为C(a，b)，半径为r的圆的标准方程是(x-a)2+(y-b)2=r2.
2. 特别地，当a=b=0时，方程为x2+y2=r2，表示以坐标原点为圆心，r为半径的圆.
二、 圆的一般方程
1. 圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(其中D2+E2-4F>0)，其圆心为，
半径为.
2. 圆的一般方程在代数结构上的典型特征
(1)x2，y2的系数相同，且不等于0；
(2)不含xy项.
三、点与圆的位置关系
点(x0，y0)与 圆的位置关系 判断方法
若圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2 若圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0
点在圆内 (x0-a)2+(y0-b)2点在圆上 (x0-a)2+(y0-b)2=r2 ++Dx0+Ey0+F=0
点在圆外 (x0-a)2+(y0-b)2>r2 ++Dx0+Ey0+F>0
四、圆的标准方程的求法
1. 直接代入法
　　确定圆心坐标和半径，直接代入圆的标准方程即可.
(1)利用已知条件确定圆心C(a，b)及半径r.
(2)利用几何性质，确定圆心C(a，b)及半径r.
①圆心与切点的连线垂直于圆的切线；
②圆心到切线的距离等于圆的半径；
③圆的半径r，弦长的一半h与弦心距d满足r2=h2+d2；
④圆的弦的垂直平分线过圆心；
⑤已知过圆心的直线l及圆上两点，则两点连线(圆的弦)的垂直平分线m(m与l不重合)与直线l的交点即为圆心.
2. 待定系数法
(1)根据题意，设所求圆的标准方程或一般方程；
(2)根据已知条件建立关于参数的方程组；
(3)解方程组，求出参数的值；
(4)将参数的值代入所设的方程中，即可得到所求圆的方程.
五、与圆有关的轨迹问题
1. 求与圆有关的轨迹问题的方法
(1)直接法：直接根据已知条件列出方程.
(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程.
(3)代入法：找到要求点与已知点的关系，将已知点的坐标用要求点的坐标表示并代入已知点的坐标满足的关系式.
2. 直接法求轨迹方程的一般步骤
(1)建立适当的坐标系，用(x，y)表示曲线上任意一点M的坐标；
(2)列出适合条件P的点M的集合{M|P(M)}；
(3)用坐标表示P(M)，列出方程f(x，y)=0；
(4)化方程f(x，y)=0为最简形式；
(5)证明以化简后方程的解为坐标的点都是曲线上的点.
　　也可简记为：建系、设点、列式、化简、证明.
2. 3　直线与圆的位置关系
一、直线与圆的位置关系
1. 一般地，已知直线l：Ax+By+C=0(A，B不全为0)和圆C：(x-a)2+(y-b)2=r2，则圆心C(a，b)到直线l的距离d=，由 消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，其判别式为Δ.
位置关系 相离 相切 相交
代数法 Δ<0 Δ=0 Δ>0
几何法 d>r d=r d公共点个数 0 1 2
二、直线与圆的位置关系
1. 直线与圆的位置关系有三种：相交、相切、相离. 主要区别是直线与圆的公共点的个数.
2. 常见的直线与圆的位置关系的判断方法有三种：代数法、几何法、直线系法.
(1)代数法：将直线与圆的方程联立，消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，利用Δ判断位置关系.
(2)几何法：计算圆心到直线的距离，再与半径比较大小即可.
(3)直线系法：若直线恒过定点，可通过点与圆的位置关系及其他条件判断直线与圆的位置关系.
三、圆的切线
1. 过点P(x0，y0)的圆的切线方程的求法
(1)点P在圆上时，求切点与圆心连线所在直线的斜率，若斜率存在且不为0，记为k，则k切线=-；若斜率为0，则切线斜率不存在；若斜率不存在，则切线斜率为0.
(2)点P在圆外时，设切线斜率为k，列出切线方程，利用圆心到切线的距离等于半径r，解出k即可(若仅求出一个k值，则有一条斜率不存在的切线).
2. 切线长的求法
过圆外一点P可作圆的两条切线，我们把点P与切点之间的线段的长称为切线长. 切线长可由勾股定理来计算.
如图，过圆外一点P(x0，y0)作圆(x-a)2+(y-b)2=r2的切线，则切线长为.
四、弦长问题
1. 弦长的求法
几何法 利用圆的半径r，圆心到直线的距离d，弦长l之间的关系r2=d2+解题
交点法 若直线与圆的交点坐标易求出，则直接用两点间的距离公式求弦长
公式法 设直线m：y=kx+b与圆的两交点分别为(x1，y1)，(x2，y2)，将直线方程与圆的方程联立，消去y后利用根与系数的关系得弦长 l=|x1-x2|=
2. 圆的中点弦问题
(1)若线段AB是圆C的弦，D是弦AB的中点，则在解题中可应用以下性质：
①AB⊥CD，如果斜率kAB，kCD都存在，则kAB·kCD=-1；
②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x0，y0)，则x0=，y0=.
(2)解决与中点弦有关的问题，有下列三种常见方法：
①利用根与系数的关系求出中点坐标；
②设出弦的两个端点的坐标,代入圆的方程，利用作差法求出斜率，此法即为点差法
③利用圆本身的几何性质，即圆心与非直径的弦中点的连线与弦垂直解决问题.
五、利用代数式的几何意义求解最值问题
1. 形如z=的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；形如z=ax+by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；形如z=(x-a)2+(y-b)2的最值问题，可转化为两点间距离的平方的最值问题.
2. 利用所给式子的几何意义解题，充分体现数形结合以及转化的数学思想.
2. 4　圆与圆的位置关系
一、圆与圆的位置关系
　　已知两圆C1：(x-x1)2+(y-y1)2=，C2：(x-x2)2+(y-y2)2=，且r2>r1，联立两圆方程得到方程组，两圆圆心距d=|C1C2|.
位置关系 外离 外切 相交 内切 内含
图形表示
几何特征 d>r1+r2 d=r1+r2 r2-r1代数特征 方程组无实数
解 方程组有一组实数解 方程组有两组实数解 方程组有一组实数解 方程组无实数解
公切线条数 4 3 2 1 0
二、圆与圆的位置关系
1. 判断圆与圆的位置关系的一般步骤
(1)分别求出两圆的圆心坐标和半径r1，r2；
(2)求两圆的圆心距d；
(3)比较d与|r1-r2|，r1+r2的大小；
(4)根据大小关系确定圆与圆的位置关系.
三、两圆的公共弦问题
1. 求两圆的公共弦所在直线的方程
设圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0，圆C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0，
联立
①-②，得(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0. ③
若两圆交点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B的坐标适合方程①②，也适合方程③，因此方程③就是经过两圆交点的直线方程.
当两圆相交时，(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0是经过两圆交点的直线方程，即公共弦所在直线的方程.
当两圆外离时，(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0是垂直于两圆圆心连线的一条直线方程.
当两圆相切时，(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0是两圆的一条公切线方程.
若两圆是等圆，则(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0是以两圆圆心为端点的线段的垂直平分线的方程.
2. 两圆公共弦长的求法
(1)几何法：先求出两圆公共弦所在直线的方程，再利用圆的半径、弦心距、弦长的一半构成的直角三角形求解；
(2)代数法：联立两圆的方程，求出交点坐标，再利用两点间的距离公式求解.
3. 求经过两圆交点的圆的方程的方法
一般地，过圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0与圆C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0交点的圆的方程可设为x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ∈R，λ≠-1)，然后由其他条件求出λ即得圆的方程.