第21章一元二次方程数学活动 教学设计（表格式） 人教版数学九年级上册

课题：数学活动——三角点阵中前n行的点数计算
学 科：数学 执教教师：
执教班级： 课时安排： 1个课时
学情分析 九年级学生的数学思维已有一定程度的发展，具有一定分析推理能力，同时，在讨论、探索、交流学习等方面有较为丰富的知识和经验，在学习本节课之前，学生学习过简单的点阵规律，并且会解一元二次方程。通过本节课的学习，学生可以对一元二次方程的解法加以巩固，同时可以培养学生数学模型的建构，学会用方程的思想解决问题，并且可以掌握数列求和的一种方法——倒序相加法，为以后学习数列奠定基础。
教学目标 1.通过推理归纳探索发现三角点阵中前 n行的点数计算；掌握如何运用一元二次方程解决三角点阵中前n行的点数计算问题； 2.学会有条理的思考、分析，发展数学思维能力和推理归纳意识； 3.培养敢于实践、勇于发现、大胆创新的精神，增强兴趣，树立好数学的信心。
教学重点 探索三角点阵中前n行的点数和的计算公式,运用一元二次方程的知识和三角点阵中前n行的点数和的计算公式解决问题。
教学难点 探索三角点阵中前n行的点数和的计算公式并能运用计算公式解决问题。
教学环节 教学内容 师生活动 设计意图
创设情境 引入课题 活动一 三角点阵中，从上往下有无数多行， （1）其中第一行有____个点，第二行有_____个点 ,第三行有_____个点,…… 那么第n行有_____个点。 （2）前1行的点数和：1 前2行的点数和：4 前3行的点数和：_____ 前4行的点数和：_____ …… 前n行的点数和 :____ 假设三角点阵中前n行的点数和为100，求n的值。 学生思考，分析，回答。 通过简单的问题串引出本章学习内容，每个学生都能参与，引起学生的学习兴趣，可以激发学习热情。同时学生在数学活动的过程中他们也能够获得数学的基础知识 、基本技能与基本思想,提高数学素养。
提出问题 合作探究 三角点阵中，从上往下有无数多行， （1）其中第一行有_____个点，第二行有_____个点, …… 第n行有_____个点； （2） 前1行的点数和：_____ 前2行的点数和：_____ 前3行的点数和：_____ 前4行的点数和：_____ …… 前 n 行的点数和 用试验的方法，由上而下逐行相加其点数，可以得到结果，但是当n很大的时候，我们怎样能快速地得出答案呢？ 前n行的点数和： 1+2+3+······+（n-2）+（n-1）+n= 倒序相加法： 变形为：2×[1+2+3+······+（n-2）+（n-1）+n] = [1 +2+3+······+（n-2）+（n-1）+n]+ [n+（n- 1）+（n-2）+······+3 +2+ 1]=（1+n）+（2+n-1）+（3+n） ····（n-2+3）+（n-1+2）+（n+1） =n(n+1) 所以归纳得到： 1+2+3+ ······ +（n-2）+（n-1）+n= 所以，这个三角点阵中前n行的点数和为 . 学生独立分析，尝试解决，归纳规律，然后回答。 学生先独立思考，尝试解决，然后小组进行讨论。 回答讨论结果，学生可以根据已有知识求出前n行的点数和为 . （思路是第一个数和最后一个数相加，第二个数和倒数第二个数相加，第三个数和倒数第三个数相加） 学生认真听讲倒序相加法。 在教师的引导下，学生对三角点阵进行独立分析，从而激发学生课堂回答问题的积极性，培养学生独立思考的能力。 在小组讨论中，学生都能参与其中，经历、拓展、提升与交流数学活动经验,激发学习热情，同时培养学生合作探究的能力。 培养学生利用旧知得到新知的能力。 在教师的指导下，学生学习新知识。
自主探究 解决问题 假设三角点阵中前n行的点数和为 300，求n的值。 三角点阵中前 n 行的点数和能是 600 吗？如果能，求出 n；如果不能，试用一元二次方程说明道理。 学生独立完成，完成后交流结果。 =300 n 2 + n - 600 = 0 解方程： n1 = 24， n2 = -25（舍去） =600 n 2 + n - 1200 = 0 △= 无法开平方得出整数，方程无整数根，所以不存在点数和为 600 的情况。 运用一元二次方程解决三角点阵中前n行的点数计算问题。 运用一元二次方程解决三角点阵中前n行的点数计算问题。
巩固提高 拓展延伸 如果把图中的三角点阵中各行的点数依次换为 2，4，6，……， （1）你能观察出第n行点数的规律吗？ （2）前n行的点数和满足什么规律呢？ （3）这个三角形点阵中前 n 行的点数和能是600吗？如果能，求出n；如果不能，试用一元二次方程说明道理。 学生独立思考，尝试解决，遇到问题进行讨论。 通过自主活动探究让学生根据所学的知识 ，归纳出这个三角点阵前 n 行的点数计算规律，使学生对三角点阵前 n行的点数计算规律认识更深刻，同时加深了对倒序相加法的理解和运用。使学生能够理清本节课需要掌握的知识，完善自己的知识结构。
学会应用 深化主题 1、放铅笔的V形槽如图，每往上一层可以多放一支铅笔，现有190支铅笔，则要放多少层？ 2、观察图1至图4中小黑点的摆放规律，并按照这样的规律继续摆放，记第n个图中小黑点的个数为s。 （1）对图形进行分析比较，找出规律，再经过计算得出第n个图形中小黑点的个数。 （2）假设第n个图中小黑点的个数为91，求 n 的值。 观察下图给出的四个点阵，s表示每个点阵中的点的个数，按照图形中的点的个数变化规律，猜想第n个点阵中的点的个数s为（ ）
A．3n－2 B．3n－1
C．4n＋1 D．4n－3 解：设190支铅笔，可放n层，根据题意列方程得， n（n+1）=190， 整理得，n2+n-380=0， 解得n1=19，n2=-20（舍去） 答：设190支铅笔，可放19层。 解：根据图形分析可知：（用s表示图中小黑点的个数） n=1时，s=1+1×0=21； n=2时，s=1+2×1=3； n=3时，s=1+3×2=7； n=4时，s=1+4×3=13； ……； 故第n个图中小黑点的个数为1+n（n-1）， 所以，s=n2-n+1。 学生独立完成，完成后交流结果。 巩固本节课的学习内容，做到当堂知识当堂清。通过实践环节，加强数学思维的训练。 课后加强巩固本节课的学习内容。运用一元二次方程解决三角点阵中前n行的点数计算问题。加强实践环节，重视数学思维的训练，全面提高学生的数学素质。
收获与体会 你学到了什么？ 学生进行归纳总结，畅谈本节课的收获. 注重课堂小结 ，激发学生参与的主动性，为每一个学生的发展与表现创造机会。
布置作业 每人设计一组有规律、美观的点阵图，画出前4个点阵，并仿照三角形点阵的探索提出问题，然后在小组内交流自己的设计方案。 学生课后认真合作完成。 加强实践环节，重视数学思维的训练，促进学生兴趣 、个性、特长等自主、和谐发展，从而全面提高学生的数学素质。