2022-2023学年山西省大同市阳高四中高二（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年山西省大同市阳高四中高二（下）期末数学试卷
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 为虚数单位，则( )
A. B. C. D.
2. 已知函数在点处的切线的倾斜角是，则的值为( )
A. B. C. D.
3. 已知双曲线的离心率，且其右焦点为，则双曲线的方程为( )
A. B. C. D.
4. 曲线和曲线围成的图形面积是( )
A. B. C. D.
5. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的左焦点作一条直线与椭圆相交于，两点，若且，则的离心率为( )
A. B. C. D.
6. 已知函数的大致图象如图所示，则的解析式可能为( )
A.
B.
C.
D.
7. 若，满足约束条件则的最大值是( )
A. B. C. D.
8. 已知等边三角形的边长为，则的值为( )
A. B. C. D.
9. 成都大运会某志愿者服务小队由四川大学名学生和电子科技大学名学生组成，现用分层抽样的方法从上述所有学生中抽取名学生进行应急知识检测，则从四川大学学生中抽取的人数为( )
A. B. C. D.
10. 甲、乙、丙、丁四支足球队进行单循环比赛每两个球队都要进行一场，每场比赛的计分方法是：胜者得分，负者得分，平局两队各得分．全部比赛结束后，四队的得分为：甲分，乙分，丙分，丁分，则( )
A. 甲胜乙 B. 乙胜丙 C. 乙平丁 D. 丙平丁
11. 以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，其变换后得到线性回归方程，则( )
A. B. C. D.
12. 是指空气中直径小于或等于微米的颗粒物也称可人肺颗粒物为了探究车流量与的浓度是否有关，现采集到某城市周一至周五某一时间段车流量与的浓度的数据如下表，由最小二乘法求得回归直线方程表中一个数据模糊不清，请你推断出该数据为( )
时间 周一 周二 周三 周四 周五
车流量万辆
的浓度微克立方米
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知函数，其中是自然对数的底数．若，则实数的取值范围是______．
14. 如图，在长方体中，，，动点，分别在线段和上给出下列四个结论：
存在点，，使得是等边三角形；
三棱锥的体积为定值；
设直线与所成角为，则；
至少存在两组，，使得三棱锥的四个面均为直角三角形．
其中所有正确结论的序号是______ ．
15. 若复数满足，则 ______ ．
16. 已知若关于的方程有五个相异的实数根，则的取值范围是______ ．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
如图，四棱锥的底面是直角梯形，，，，底面，且，．
证明：平面；
求二面角的余弦值．
18. 本小题分
高二班的一个研究性学习小组在网上查知，某珍贵植物种子在一定条件下发芽成功的概率为，该研究性学习小组又分成两个小组进行验证性实验．
第组做了次这种植物种子的发芽实验每次均种下一粒种子，求他们的实验至少有次成功的概率；
第二小组做了若干次发芽试验每次均种下一粒种子，如果在一次实验中种子发芽成功就停止实验，否则将继续进行下次实验，直到种子发芽成功为止，但发芽实验的次数最多不超过次，求第二小组所做种子发芽实验的次数的概率分布列和期望
19. 本小题分
已知函数，，．
当时，证明：时，恒成立；
若在处的切线与垂直，求函数在区间上的值域；
若方程有两个不同的根，求实数的取值范围．
20. 本小题分
十九大以来，某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的政策要求，带领广大农村地区人民群众脱贫奔小康经过不懈的奋力拼搏，新农村建设取得巨大进步，农民年收入也逐年增加，为了制定提升农民收入力争早日脱贫的工作计划，该地扶贫办统计了年位农民的年收入并制成如图频率分布直方图：
根据频率分布直方图，估计位农民的年平均收入单位：千元同一组数据用该组数据区间的中点值表示；
由频率分布直方图，可以认为该贫困地区农民收入服从正态分布，其中近似为年平均收入，近似为样本方差，经计算得，利用该正态分布，求：
在扶贫攻坚工作中，若使该地区约有的农民的年收入高于扶贫办制定的最低年收入标准，则最低年收入大约为多少千元？
为了调研“精准扶贫，不落一人”的政策要求落实情况，扶贫办随机走访了位农民若每位农民的年收入互相独立，记这位农民中的年收入高于千元的人数为，求．
附参考数据：，若随机变量服从正态分布，则，，．
21. 本小题分
已知复数．
若复数在复平面内对应的点位于实轴上方不包括实轴，求，满足的条件；
若，求，的值．
22. 本小题分
某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山为估计一林区某种树木的材积量，随机选取了棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积单位：和材积量单位：，得到如下数据：
样本号 总和
根部横截面积
材积量
由散点图知根部横截面积与材积量线性相关，并计算得．
估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；
求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的回归直线方程；
现测量了该林区棵这种树木的根部横截面积，并得到这些树木的根部横截面积总和为利用中所求的回归直线方程，估计这些树木的总材积量．
附：回归直线方程的斜率，截距．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：则．
故选：．
根据已知条件，结合复数的运算法则，即可求解．
本题主要考查复数的运算法则，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：易知，
因为在处，切线倾斜角为，
故，
解得．
故选：．
根据切线的倾斜角求出斜率，然后令导数等于斜率，即可解出的值．
本题考查导数的几何意义和切线方程的求法，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：双曲线的离心率，且其右焦点为，
可得，，则，
所以双曲线的方程为：．
故选：．
利用双曲线的离心率以及焦点坐标，求解，，推出，然后得到双曲线方程．
本题考查双曲线的简单性质的应用，是双曲线方程的求法，是基础题．
4.【答案】
【解析】解：联立得，，所以曲线和曲线围成的图形面积
．
故选：．
求曲线和曲线围成的图形面积，首先求出两曲线交点的横坐标、，然后求在区间上的积分．
对于求平面图形的面积问题，首先应画出平面图形的大致形状，根据图形特点，选择相应的积分变量和被积函数，并确定被积区间，解答的关键是找到被积函数的原函数．
5.【答案】
【解析】解：依题意，直线为线段的垂直平分线，所以，
由椭圆定义知，所以，
所以，在中，，
在中，，所以，
即，化简得，
即，即，解得椭圆的的离心率．
故选：．
依题意，直线为线段的垂直平分线，进而可得，求解即可．
本题考查考生逻辑推理能力、数学运算求解能力，属中档题．
6.【答案】
【解析】解：由题意，函数图象关于轴对称，即函数为偶函数，排除、，
选项C：由可得，
当或时，，函数单调递增，当或时，，函数单调递减，
易得函数的极小值点为和，与图象不符，排除．
故选：．
由已知结合函数的奇偶性及极值点检验选项即可判断．
本题主要考查了由函数图象检验函数的解析式，体现了数形结合思想的应用，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：作出可行域如下图阴影部分所示，
表示到原点距离的平方，
由图象可知，的最大值为．
故选：．
作出可行域，结合图象即可得到答案．
本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解法一：．
解法二：等边三角形的边长为，
．
故选：．
由平面向量的线性运算和数量积运算计算可得．
本题考查平面向量的线性运算和数量积运算，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：都大运会某志愿者服务小队由四川大学名学生和电子科技大学名学生组成，
则四川大学和电子科技大学学生人数之比为：：，
现用分层抽样的方法从上述所有学生中抽取名学生进行应急知识检测，
故从四川大学学生中抽取的人数为．
故选：．
根据已知条件，结合分层抽样的定义，即可求解．
本题主要考查分层抽样的定义，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：甲、乙、丙、丁四支足球队部比赛场次场，总得分为分，
由比赛计分规则：胜者得分，负者得分，平局两队各得分，
在场比赛中有场比赛是平局，即，
丁得分，即，丁在场比赛中有场是平局，
丙得分，即，丙在场比赛中有场是平局，
而乙得分，即，乙在场比赛中有局是平局，乙可能平丙，乙可得平丁．
故选：．
甲、乙、丙、丁四支足球队总比赛场次场，总得分分，由比赛计分规则可得出在场比赛中有场比赛是平局，丁在场比赛有场是平局，丙在场比赛中有场是平局，乙在场比赛中有局是平局，由此能求出结果．
本题考查命题真假的判断，考查简单的合理推等基础知识，考查推理论证能力，是基础题．
11.【答案】
【解析】解：，
，
，其变换后得到线性回归方程，
，解得．
故选：．
先对取对数，再结合线性回归方程，即可求解．
本题主要考查线性回归方程的应用，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：设模糊不清的数据为，
则，，
可得样本点的中心为，
代入，得，解得．
故选：．
设模糊不清的数据为，求出样本点的中心的坐标，代入线性回归方程，即可求得值．
本题考查线性回归方程，明确线性回归方程横过样本点的中心是关键，是基础题．
13.【答案】
【解析】解：因为，
所以函数为奇函数，
又，所以函数为增函数，
由，可知，，即，解之得，
故答案为：．
先判断函数的奇偶性，再利用导数研究函数的单调性，去解不等式即可．
本题主要考查函数的奇偶性、单调性的综合应用，利用导数研究函数的单调性，属于中档题．
14.【答案】
【解析】解：建立空间直角坐标系，如图，
则，，
设，，
则，，，，
则，，，
，
若是等边三角形无解，
故错误；
由题意，在长方体中，到平面的距离为，到边的距离为，
所以，故正确；
由，，
，
若，则，
若，则，
，
，
，
，则，
，
综上，所以错误，
当为中点，与重合时，如图，
此时，，，
又，
故DE，
所以，
因为，
所以，
所以，即三棱锥的四个面均为直角三角形，
当与重合，与重合时，如图，
显然，，，，
故三棱锥的四个面均为直角三角形，
综上可知，至少存在两组，，使得三棱锥的四个面均为直角三角形，故正确．
故答案为：．
利用等体积转化，求三棱锥的体积，判断；建立空间直角坐标系，利用坐标表示，，，即可判断；利用坐标表示异面直线所成角的余弦值，即可判断；找到点，的位置，即可判断．
本题考查立体几何的综合运用，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于中档题．
15.【答案】
【解析】解：复数满足，
则，
故，，
则．
故答案为：．
根据已知条件，结合复数的四则运算，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：的图象如图所示，
由，
可得或，
由图象可知，有两个根，则有三个根，
则，
解得．
故答案为：．
根据题意可得或，作出函数的图象，由图象观察可知有两个根，则有三个根，由此可得，进而得到答案．
本题考查函数零点与方程根的关系，考查运算求解能力，属于中档题．
17.【答案】证明：取的三等分点，且，连结，，如图所示：
又因为，所以．
因为，所以，
所以四边形是平行四边形．所以，
又直线平面，平面，所以平面．
解：以为原点，分别以，，所在直线为轴、轴和轴，
建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，，，．
，，设平面的法向量为，
则，即．
，，
设平面的法向量为，
则，即．
所以，
由图可知，二面角的余弦值为．
【解析】首先取的三等分点，且，连结，，得到，从而得到四边形是平行四边形，即可得到，再利用线面平行的判定即可证明平面．
以为原点，分别以，，所在直线为轴、轴和轴，建立空间直角坐标系，再利用空间向量法求解二面角即可．
本题主要考查线面平行的证明，二面角的计算，空间向量及其应用，空间想象能力的培养等知识，属于中等题．
18.【答案】解：至少有次发芽成功，即有次、次、次发芽成功，
所以所求概率；
，
，
，
，
．
的概率分布列为：
所以 ．
【解析】本题考查次独立重复试验中恰好发生次的概率，考查离散型随机变量的分布列、期望、独立重复试验的概率等知识，解题时要认真审题，仔细解答，注意解题公式的灵活运用．
由题设条件知，种下粒种子至少有次成功的概率相当于次独立重复试验中恰好发生三次、四次、五次的概率．至少有次成功的概率等于次、次、次发芽成功的概率之和．
的所有可能值为，，，，，分别求其概率，列出分布列，再求期望即可．
19.【答案】解：证明：已知，函数定义域为，
当时，，
可得，
所以函数在单调递增，
此时，
故时，恒成立；
已知，函数定义域为，
可得，
若在处的切线与垂直，
此时，
解得，
所以，
当时，
解得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
又，，，
因为，
所以函数在区间上的值域为；
要使有两个不同的零点，
即直线与函数的图象有两个不同的交点，
不妨设，函数定义域为，
可得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以，
当时，；当时；，
要使有两个不同的交点，
则，
故实数的取值范围为
【解析】由题意，将代入函数的解析式中，对函数进行求导，利用导数得到函数的单调性和最值，进而即可求证；
对函数进行求导，得到，根据在处的切线与垂直，列出等式求出的值，代入导函数中得到函数的单调性，结合端点值即可得到值域范围；
将有两个不同的零点，转化成直线与函数的图象有两个不同的交点，构造函数，对进行求导，利用导数的几何意义得到函数的单调性和最值，进而即可求解．
本题考查利用导数研究函数的单调性和最值以及不等式恒成立问题，考查了逻辑推理、转化思想和运算能力．
20.【答案】解：由题意，根据频率分布直方图的平均数的计算公式可得：
千元，
故估计位农民的年平均收入千元；
由题意知，随机变量，
，
所以时，满足题意，
即最低年收入大约为千元；
由，
每个农民的年收入高于千元的事件的概率为，
则，其中，
所以．
【解析】利用频率分布直方图中平均数的计算方法求解即可；
利用随机变量，由正态分布的对称性求解即可；
利用正态分布的对称性求出每个农民的年收入高于千元的事件的概率，再利用二项分布的期望计算公式，即可得到答案．
本题考查了频率分布直方图的理解与应用，平均数计算公式的应用，正态分布曲线对称性的运用以及二项分布数学期望计算公式的运用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．
21.【答案】解：复数在复平面内对应的点位于实轴上方不包括实轴，
，．
，
，解得，．
【解析】根据已知条件，结合复数的几何意义，即可求解．
根据已知条件，结合复数相等的条件，即可求解．
本题主要考查复数的几何意义，以及复数相等的条件，属于基础题．
22.【答案】解：由题意得：，
估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积为，平均一棵的材积量为；
，
，
故该林区这种树木的根部横截面积与材积量的回归直线方程为；
因为，所以，
将代入中，得到，
则估计这些树木的总材积量为．
【解析】利用平均数公式计算出即可；
利用题干数据，代入公式，计算出，得到线性回归方程；
将代入到线性回归方程中，计算出，从而求出这些树木的总材积量．
本题考查了线性回归方程的求解以及用线性回归方程作出预测，属于中档题．
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