河北省石家庄市正定县2022-2023学年下学期七年级期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年河北省石家庄市正定县七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共16个小题，每小题2分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（2分）下列方程：
①x2+y2＝1；
②；
③2x+3y＝0；
④；
其中二元一次方程有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2分）我国质检总局规定，针织内衣等直接接触皮肤的制品，每千克的衣物上甲醛含量应在0.000075千克以下．将0.000075用科学记数法表示为（　　）
A．7.5×105 B．7.5×10﹣5 C．0.75×10﹣4 D．75×10﹣6
3．（2分）如图，用三角板作△ABC的边AB上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2分）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（　　）
A．a（x﹣y）＝ax﹣ay B．x3﹣x＝x（x+1）（x﹣1）
C．（x+1）（x+3）＝x2+4x+3 D．x2+2x+1＝x（x+2）+1
5．（2分）如果a＝﹣0.32，b＝﹣3﹣2，c＝（﹣）﹣2，d＝（﹣）0，那么a、b、c、d的大小关系为（　　）
A．a＜b＜c＜d B．a＜d＜c＜b C．b＜a＜d＜c D．c＜a＜d＜b
6．（2分）如果关于x的不等式2x+a＞0的解集在数轴上表示如下图，那么a的值为（　　）
A．﹣2 B．2 C．﹣6 D．6
7．（2分）方程组中，若未知数x、y满足x+y＞0，则m的取值范围是（　　）
A．m＞﹣4 B．m≥﹣4 C．m＜﹣4 D．m≤﹣4
8．（2分）已知是方程2x﹣ay＝3的一个解，那么a的值是（　　）
A．1 B．3 C．﹣3 D．﹣1
9．（2分）下列式子一定成立的是（　　）
A．若ac2＝bc2，则a＝b
B．若ac＞bc，则a＞b
C．若a＞b，则ac＞bc2
D．若a＜b，则a（c2+1）＜b（c2+1）
10．（2分）已知方程组和有相同的解，则a，b的值为（　　）
A． B． C． D．
11．（2分）如图，下列条件中，不能判断直线l1∥l2的是（　　）
A．∠1＝∠3 B．∠2＝∠3 C．∠4＝∠5 D．∠2+∠4＝180°
12．（2分）如图，已知AB∥DE，∠ABC＝70°，∠CDE＝140°，则∠BCD的值为（　　）
A．70° B．50° C．40° D．30°
13．（2分）我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？如果设木条长x尺，绳子长y尺，那么可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
14．（2分）已知关于x的不等式组的整数解共有5个，则a的取值范围是（　　）
A．﹣3＜a＜﹣2 B．﹣3＜a≤﹣2 C．﹣3≤a≤﹣2 D．﹣3≤a＜﹣2
15．（2分）如图，∠A＝60°，∠B＝70°，将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC内，若∠2＝80°，则∠1的度数为（　　）
A．20° B．30° C．40° D．无法确定
16．（2分）如图，在△ABC 中，点D、E、F分别在三边上，E是AC的中点，BD＝2DC，AD，BE，CF交于一点G，S△BGD＝16，S△AGE＝6，则△ABC的面积是（　　）
A．30 B．28 C．56 D．60
二、填空题（共4小题，17-19题每题3分，20题每空2分，共13分）
17．（3分）因式分解：a2﹣2ab+b2﹣1＝　 　．
18．（3分）自来水公司为某小区A改造供水系统，如图沿路线AO铺设管道和BO主管道衔接（AO⊥BO），路线最短，工程造价最低，根据是　 　．
19．（3分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，∠EAD＝5°，∠B＝50°，求∠C的度数 　 　．
20．（4分）在△ABC中，∠A＝160°．第一步：在△ABC上方确定一点A1，使∠A1BA＝∠ABC，∠A1CA＝∠ACB，如图①，则∠A1的度数为 　 　；第二步：在△A1BC上方确定一点A2，使∠A2BA1＝∠A1BA，∠A2CA1＝∠A1CA，如图②．照此下去，至多能进行 　 　步．

三、解答题（本大题共6个大题，共55分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
21．（10分）（1）解方程组：；
（2）解不等式组并写出不等式组的整数解．
22．（10分）（1）先化简，再求值：a（a﹣3b）+（a+b）2﹣a（a﹣b）其中a＝1，．
（2）是小明完成的一道作业，请你参考小明的方法解答下面的问题：
小明的作业计算：85×（﹣0.125）5 解：85×（﹣0.125）5＝（﹣8×0.125）5 ＝（﹣1）5 ＝﹣1
①42020×（﹣0.25）2020；
②；
③若 2×4n×16n＝219，直接写出n的值．
23．（7分）边长为b的小1，从边长为a的大正方形中剪掉一个【探究】如图1方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成图2的长方形．
（1）请你分别表示出这两个图形中阴影部分的面积：图1 　 　，图2 　 　．
（2）比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式：　 　（用字母a，b表示）．
【应用】请应用这个公式完成下列各题：
①已知2m﹣n＝3，2m+n＝4，则4m2﹣n2的值为　 　；
②计算：（x﹣3）（x+3）（x2+9）．
【拓展】计算（2+1）（22+1）（2++1）（22+1）…（232+1）的结果为 　 　．
24．（8分）已知如图：AD∥BC，E、F分别在DC、AB延长线上．∠DCB＝∠DAB，AE⊥EF，∠DEA＝30°．
（1）猜想：DC与AB的位置关系，并说明理由．
（2）求∠AFE的大小．
25．（10分）某中学为打造书香校园，计划购进甲、乙两种规格的书柜放置新购进书，调查发现，若购买甲种书柜3个，乙种书柜2个，共需资金1020元；若购买甲种书柜44个，乙种书柜3个，共需资金1440元．
（1）甲、乙两种书柜的单价分别是多少？
（2）若该校计划购进这两种规格的书柜共20个，其中乙种书柜的数量不少于甲种书柜的数量，学校至多能够提供资金4320元，请你帮助学校设计可以选择的购买方案．
26．（10分）已知∠MON＝90°，点A，B分别在射线OM，ON上运动（不与点O重合）
观察：
（1）如图1，若∠OBA和∠OAB的平分线交于点C，∠ACB＝　 　°
猜想：
（2）如图2，随着点A，B分别在射线OM，ON上运动（不与点O重合）．若BC是∠ABN的平分线，BC的反向延长线与∠OAB的平分线交于点E，∠E的大小会变吗？如果不会，求∠E的度数；如果会改变，说明理由．
拓展：
（3）如图3，在（2）基础上，小明将△ABE沿MN折叠，使点E落在四边形ABMN内点E′的位置．求∠BME′+∠ANE′的度数．
2022-2023学年河北省石家庄市正定县七年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共16个小题，每小题2分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（2分）下列方程：
①x2+y2＝1；
②；
③2x+3y＝0；
④；
其中二元一次方程有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】利用二元一次方程的定义，逐一分析给出的四个方程即可．
【解答】解：∵①方程x2+y2＝1是二元二次方程；②方程3x+＝4是分式方程；③方程2x+3y＝0是二元一次方程；④方程+＝7是二元一次方程，
∴二元一次方程有2个．
故选：B．
本题考查了二元一次方程的定义，牢记“含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程”是解题的关键．
2．（2分）我国质检总局规定，针织内衣等直接接触皮肤的制品，每千克的衣物上甲醛含量应在0.000075千克以下．将0.000075用科学记数法表示为（　　）
A．7.5×105 B．7.5×10﹣5 C．0.75×10﹣4 D．75×10﹣6
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：将0.000075用科学记数法表示为：7.5×10﹣5．
故选：B．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
3．（2分）如图，用三角板作△ABC的边AB上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据高线的定义即可得出结论．
【解答】解：A，C，D都不是△ABC的边AB上的高，
故选：B．
本题考查的是作图﹣基本作图，熟知三角形高线的定义是解答此题的关键．
4．（2分）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（　　）
A．a（x﹣y）＝ax﹣ay B．x3﹣x＝x（x+1）（x﹣1）
C．（x+1）（x+3）＝x2+4x+3 D．x2+2x+1＝x（x+2）+1
【分析】根据因式分解的意义即可判断．
【解答】解：因式分解是指将一个多项式化为几个整式的乘积，
故选：B．
本题考查因式分解的意义，解题的关键是正确理解因式分解的意义，本题属于基础题型．
5．（2分）如果a＝﹣0.32，b＝﹣3﹣2，c＝（﹣）﹣2，d＝（﹣）0，那么a、b、c、d的大小关系为（　　）
A．a＜b＜c＜d B．a＜d＜c＜b C．b＜a＜d＜c D．c＜a＜d＜b
【分析】根据负整数指数幂、有理数的乘方、零指数幂的定义将a、b、c、d的值计算出来即可比较出其值的大小．
【解答】解：因为a＝﹣0.32＝﹣0.09，
b＝﹣3﹣2＝﹣＝﹣，
c＝（﹣）﹣2＝＝9，
d＝（﹣）0＝1，
所以c＞d＞a＞b．
故选：C．
本题主要考查了
（1）零指数幂，负整数指数幂和有理数的乘方运算：负整数指数为正整数指数的倒数；任何非0数的0次幂等于1．
（2）有理数比较大小：正数＞0；0＞负数；两个负数，绝对值大的反而小．
6．（2分）如果关于x的不等式2x+a＞0的解集在数轴上表示如下图，那么a的值为（　　）
A．﹣2 B．2 C．﹣6 D．6
【分析】先根据在数轴上表示不等式解集的方法得出不等式的解集，再把a当作已知条件得出不等式的解集，与求出的不等式解集相比较即可．
【解答】解：∵由题意可知，不等式的解集为x＞3，
解不等式2x+a＞0得，x＞﹣，
∴﹣＝3，解得a＝﹣6．
故选：C．
本题考查的是解一元一次不等式，熟知不等式的基本性质是解答此题的关键．
7．（2分）方程组中，若未知数x、y满足x+y＞0，则m的取值范围是（　　）
A．m＞﹣4 B．m≥﹣4 C．m＜﹣4 D．m≤﹣4
【分析】①+②得出3x+3y＝4+m，求出x+y＝，根据x+y＞0得出＞0，再求出不等式的解集即可．
【解答】解：，
①+②，得3x+3y＝4+m，
x+y＝，
∵方程组中，未知数x、y满足x+y＞0，
∴＞0，
解得：m＞﹣4，
故选：A．
本题考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解和解一元一次不等式等知识点，能求出关于m的不等式是解此题的关键．
8．（2分）已知是方程2x﹣ay＝3的一个解，那么a的值是（　　）
A．1 B．3 C．﹣3 D．﹣1
【分析】把方程的解代入方程，把关于x和y的方程转化为关于a的方程，然后解方程即可．
【解答】解：∵是方程2x﹣ay＝3的一个解，
∴满足方程2x﹣ay＝3，
∴2×1﹣（﹣1）a＝3，即2+a＝3，
解得a＝1．
故选：A．
本题主要考查了二元一次方程的解．解题关键是把方程的解代入原方程，使原方程转化为以系数a为未知数的方程．
9．（2分）下列式子一定成立的是（　　）
A．若ac2＝bc2，则a＝b
B．若ac＞bc，则a＞b
C．若a＞b，则ac＞bc2
D．若a＜b，则a（c2+1）＜b（c2+1）
【分析】根据不等式的性质进行判断即可．
【解答】解：A．若c＝0，则ac2＝bc2，
但a与b不一定相等，
则A不符合题意；
B．若ac＞bc，c＜0，
那么a＜b，
则B不符合题意；
C．若a＞b，c＝0，
那么ac＝bc2，
则C不符合题意；
D．若a＜b，则c2+1＞0，
那么a（c2+1）＜b（c2+1），
则D符合题意；
故选：D．
本题考查不等式的性质，根据不等式的性质并结合反例进行判断是解题的关键．
10．（2分）已知方程组和有相同的解，则a，b的值为（　　）
A． B． C． D．
【分析】因为方程组和有相同的解，所以把5x+y＝3和x﹣2y＝5联立解之求出x、y，再代入其他两个方程即可得到关于a、b的方程组，解方程组即可求解．
【解答】解：∵方程组和有相同的解，
∴方程组的解也它们的解，
解得：，
代入其他两个方程得，
解得：，
故选：D．
本题主要考查了二元一次方程的解及二元一次方程组的解法，正确理解题意，然后根据题意得到关于待定系数的方程组，解方程组是解答此题的关键．
11．（2分）如图，下列条件中，不能判断直线l1∥l2的是（　　）
A．∠1＝∠3 B．∠2＝∠3 C．∠4＝∠5 D．∠2+∠4＝180°
【分析】根据平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行分别进行分析即可．
【解答】解：A、根据内错角相等，两直线平行可判断直线l1∥l2，故此选项不合题意；
B、∠2＝∠3，不能判断直线l1∥l2，故此选项符合题意；
C、根据同位角相等，两直线平行可判断直线l1∥l2，故此选项不合题意；
D、根据同旁内角互补，两直线平行可判断直线l1∥l2，故此选项不合题意；
故选：B．
此题主要考查了平行线的判定，关键是掌握平行线的判定定理．
12．（2分）如图，已知AB∥DE，∠ABC＝70°，∠CDE＝140°，则∠BCD的值为（　　）
A．70° B．50° C．40° D．30°
【分析】延长ED交BC于F，根据平行线的性质求出∠MFC＝∠ABC＝70°，求出∠FDC＝30°，根据三角形外角性质得出∠BCD＝∠MFC﹣∠MDC，代入求出即可．
【解答】解：延长ED交BC于F，如图所示：
∵AB∥DE，∠ABC＝70°，
∴∠MFC＝∠ABC＝70°，
∵∠CDE＝140°，
∴∠FDC＝180°﹣140°＝30°，
∴∠BCD＝∠MFC﹣∠MDC＝70°﹣30°＝40°，
故选：C．
本题考查了三角形外角性质，平行线的性质，解此题的关键是求出∠MFC的度数，注意：两直线平行，同位角相等．
13．（2分）我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？如果设木条长x尺，绳子长y尺，那么可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【分析】直接利用“绳长＝木条+4.5；绳子＝木条﹣1”分别得出等式求出答案．
【解答】解：设木条长x尺，绳子长y尺，那么可列方程组为：
．
故选：A．
此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，正确得出等量关系是解题关键．
14．（2分）已知关于x的不等式组的整数解共有5个，则a的取值范围是（　　）
A．﹣3＜a＜﹣2 B．﹣3＜a≤﹣2 C．﹣3≤a≤﹣2 D．﹣3≤a＜﹣2
【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，根据已知得出关于a的不等式组，即可得出选项．
【解答】解：
∵解不等式①得：x≥a，
解不等式②得：x＜3，
∴不等式组的解集为a≤x＜3，
∵关于x的不等式组的整数解共有5个，
∴﹣3＜a≤﹣2，
故选：B．
本题考查了解一元一次不等式组，不等式组的整数解的应用，解此题的关键是能根据不等式组的解集和已知得出关于a的不等式组．
15．（2分）如图，∠A＝60°，∠B＝70°，将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC内，若∠2＝80°，则∠1的度数为（　　）
A．20° B．30° C．40° D．无法确定
【分析】先根据三角形内角和定理求出∠C的度数，故可得出∠3+∠4的度数，根据四边形的内角和等于360°即可得出结论．
【解答】解：∵△ABC中，∠A＝60°∠B＝70°，∠2＝80°，
∴∠C＝180°﹣60°﹣70°＝50°，
∴∠3+∠4＝∠A+∠B＝60°+70°＝130°，
∴∠1＝360°﹣（∠A+∠B）﹣（∠3+∠4）﹣∠2＝360°﹣130°﹣130°﹣80°＝20°．
故选：A．
本题考查的是三角形内角和定理及翻折变换，熟知图形翻折不变性的性质是解答此题的关键．
16．（2分）如图，在△ABC 中，点D、E、F分别在三边上，E是AC的中点，BD＝2DC，AD，BE，CF交于一点G，S△BGD＝16，S△AGE＝6，则△ABC的面积是（　　）
A．30 B．28 C．56 D．60
【分析】根据BD＝2DC得出△BGD和△CGD面积之间的关系，根据E是AC的中点得出△AGE和△CGE面积之间的关系，从而求出△BCE的面积，再根据BE是△ABC的中线即可求出△ABC的面积．
【解答】解：∵BD＝2DC，
∴S△BGD＝2S△CGD＝16，
∴S△CGD＝8，
∵E是AC的中点，
∴S△AGE＝S△CGE＝6，
∴S△BCE＝S△BGD+S△CGD+S△CGE
＝16+8+6
＝30，
∵E是AC的中点，
∴S△ABC＝2S△BCE＝2×30＝60，
故选：D．
本题考查了三角形面积的求法，熟知三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形．
二、填空题（共4小题，17-19题每题3分，20题每空2分，共13分）
17．（3分）因式分解：a2﹣2ab+b2﹣1＝　（a﹣b+1）（a﹣b﹣1）　．
【分析】先将该多项式分组，再运用公式法进行因式分解．
【解答】解：a2﹣2ab+b2﹣1
＝（a2﹣2ab+b2）﹣1
＝（a﹣b）2﹣12
＝（a﹣b+1）（a﹣b﹣1），
故答案为：（a﹣b+1）（a﹣b﹣1）．
此题考查了运用分组法和公式法进行因式分解的能力，关键是能准确确定分解方法．
18．（3分）自来水公司为某小区A改造供水系统，如图沿路线AO铺设管道和BO主管道衔接（AO⊥BO），路线最短，工程造价最低，根据是　垂线段最短　．
【分析】过直线外一点作直线的垂线，这一点与垂足之间的线段就是垂线段，且垂线段最短．据此作答．
【解答】解：根据是：直线外一点与直线上各点连接而得到的所有线段中，垂线段最短．
故答案为：垂线段最短．
此题主要考查垂线段最短在实际生活中的应用．
19．（3分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，∠EAD＝5°，∠B＝50°，求∠C的度数 　60°　．
【分析】由垂直的定义，角平分线的定义以及三角形内角和定理进行计算即可．
【解答】解：∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∵∠B＝50°，
∴∠BAD＝90°﹣50°＝40°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠CAE＝∠BAC＝40°﹣5°＝35°，
∴∠BAC＝2×35°＝70°，
∴∠C＝180°﹣50°﹣70°
＝60°，
故答案为：60°．
本题考查三角形内角和定理，角平分线以及垂直的定义，掌握三角形内角和是180°，角平分线的定义是正确解答的前提．
20．（4分）在△ABC中，∠A＝160°．第一步：在△ABC上方确定一点A1，使∠A1BA＝∠ABC，∠A1CA＝∠ACB，如图①，则∠A1的度数为 　140°　；第二步：在△A1BC上方确定一点A2，使∠A2BA1＝∠A1BA，∠A2CA1＝∠A1CA，如图②．照此下去，至多能进行 　7　步．

【分析】根据三角形内角和是180°，推出另外两角之和，依次类推可得出规律，依据三角形角不能为0，推出进行的步数即可．
【解答】解：∵∠A＝160°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝20°，
∵∠A1BA＝∠ABC，∠A1CA＝∠ACB，
∴∠A1BC+∠A1CB＝2（∠ABC+∠ACB）＝40°，
∴∠A1＝180°﹣（∠A1BC+∠A1CB）＝140°，
同理∠A2＝120°，
∠A3＝100°，
……
∠An＝180°﹣20（n+1），
∴当n＝8时，∠A8＝0，
∴至多能进行七步．
故答案为：140°，7．
本题考查了三角形的内角和定理，三角形内角和是180°，知道一个角的度数，可以求出另外两角和的度数．
三、解答题（本大题共6个大题，共55分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
21．（10分）（1）解方程组：；
（2）解不等式组并写出不等式组的整数解．
【分析】（1）利用加减消元法求解即可；
（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，即可求出整数解．
【解答】解：（1）①×2+②，得：11x＝22，
解得x＝2，
将x＝2代入①，得：8﹣y＝5，
解得y＝3，
∴方程组的解为；
（2）解不等式+3≥x，得：x≤3，
解不等式1﹣2（x﹣1）＜4﹣x，得：x＞﹣1，
则不等式组的解集为﹣1＜x≤3，
所以不等式组的整数解为0，1，2，3．
本题考查的是解二元一次方程组和一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
22．（10分）（1）先化简，再求值：a（a﹣3b）+（a+b）2﹣a（a﹣b）其中a＝1，．
（2）是小明完成的一道作业，请你参考小明的方法解答下面的问题：
小明的作业计算：85×（﹣0.125）5 解：85×（﹣0.125）5＝（﹣8×0.125）5 ＝（﹣1）5 ＝﹣1
①42020×（﹣0.25）2020；
②；
③若 2×4n×16n＝219，直接写出n的值．
【分析】（1）先展开，再去括号，合并同类项，化简后将a，b的值代入计算即可；
（2）①逆用积的乘方法则可得答案；
②逆用积的乘方法则；
③化为同底数，可得关于n的方程，即可解得答案．
【解答】解：（1）原式＝a2﹣3ab+a2+2ab+b2﹣a2+ab
＝a2+b2，
当a＝1，b＝﹣时，
原式＝12+（﹣）2
＝1+
＝；
（2）①42020×（﹣0.25）2020
＝[4×（﹣0.25）]2020
＝（﹣1）2020
＝1；
②原式＝[×（﹣）×]11×（﹣）2×
＝（﹣1）11××
＝﹣1××
＝﹣；
③∵2×4n×16n＝219，
∴2×22n×24n＝219；
∴26n+1＝219；
∴6n+1＝19，
解得n＝3，
∴n的值为3．
本题考查整式的混合运算，解题的关键是掌握整式相关运算的法则．
23．（7分）边长为b的小1，从边长为a的大正方形中剪掉一个【探究】如图1方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成图2的长方形．
（1）请你分别表示出这两个图形中阴影部分的面积：图1 　a2﹣b2　，图2 　（a+b）（a﹣b）　．
（2）比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式：　1　（用字母a，b表示）．
【应用】请应用这个公式完成下列各题：
①已知2m﹣n＝3，2m+n＝4，则4m2﹣n2的值为　12　；
②计算：（x﹣3）（x+3）（x2+9）．
【拓展】计算（2+1）（22+1）（2++1）（22+1）…（232+1）的结果为 　264﹣1　．
【分析】（1）图①阴影部分的面积为两个正方形的面积差，即a2﹣b2，而图②的阴影部分为长为（a+b），宽为（a﹣b）的矩形，可表示出面积为（a+b）（a﹣b）．
（2）由图①与图②的面积相等，可以得到乘法公式；
①利用公式将4m2﹣n2写成（2m﹣n）（2m+n）进而求出答案．
②连续两次利用平方差公式进行计算即可．
将原式转化为（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1），再连续使用平方差公式，得出最后的结果．
【解答】解：【探究】（1）图①阴影部分的面积为两个正方形的面积差，即a2﹣b2；图②的阴影部分为长为（a+b），宽为（a﹣b）的矩形，其面积为（a+b）（a﹣b）．
故答案为：a2﹣b2，（a+b）（a﹣b）；
（2）由图①与图②的面积相等，可以得到乘法公式，（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，
故答案为：（a+b）；（a﹣b）＝a2﹣b2；
【应用】①4m2﹣n2＝（2m﹣n）（2m+n）＝3×4＝12．
故答案为：12．
②（x﹣3）（x+3）（x2+9）＝（x2﹣9）（x2+9）＝x4﹣81；
【拓展】（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1），
＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1），
＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1），
＝（24﹣1）（24+1）（28+1）…（232+1），
＝（28﹣1）（28+1）…（232+1），
＝264﹣1．
故答案为：264﹣1．
考查平方差公式，掌握平方差公式的结构特征是正确应用的前提．
24．（8分）已知如图：AD∥BC，E、F分别在DC、AB延长线上．∠DCB＝∠DAB，AE⊥EF，∠DEA＝30°．
（1）猜想：DC与AB的位置关系，并说明理由．
（2）求∠AFE的大小．
【分析】（1）由AD∥BC，得到∠CBF＝∠DAB，而∠DCB＝∠DAB，因此∠CBF＝∠DCB，即可证明CD∥AB；
（2）由DC∥AB，得到∠EAF＝∠DEA＝30°，由直角三角形的性质得到∠AFE＝90°﹣∠EAF＝60°．
【解答】解：（1）CD∥AB，理由如下：
∵AD∥BC，
∴∠CBF＝∠DAB，
∵∠DCB＝∠DAB，
∵∠CBF＝∠DCB，
∴CD∥AB；
（2）∵DC∥AB，
∴∠EAF＝∠DEA＝30°，
∵AE⊥EF，
∴∠AEF＝90°，
∴∠AFE＝90°﹣∠EAF＝60°．
本题考查平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
25．（10分）某中学为打造书香校园，计划购进甲、乙两种规格的书柜放置新购进书，调查发现，若购买甲种书柜3个，乙种书柜2个，共需资金1020元；若购买甲种书柜44个，乙种书柜3个，共需资金1440元．
（1）甲、乙两种书柜的单价分别是多少？
（2）若该校计划购进这两种规格的书柜共20个，其中乙种书柜的数量不少于甲种书柜的数量，学校至多能够提供资金4320元，请你帮助学校设计可以选择的购买方案．
【分析】（1）设每个甲种书柜的价格是x元，每个乙种书柜的价格是y元，根据“若购买甲种书柜3个，乙种书柜2个，共需要资金1020元；若购买甲种书柜4个，乙种书柜3个，共需要资金1440元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买m个甲种书柜，则购买（20﹣m）个乙种书柜，根据“乙种书柜的数量不少于甲种书柜的数量，且学校至多能提供资金4320元”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为整数，即可得出各购买方案．
【解答】解：（1）设每个甲种书柜的单价是x元，每个乙种书柜的单价是y元，
依题意得：，
解得：．
答：甲种书柜的单价是180元，乙种书柜的单价是240元．
（2）设购买m个甲种书柜，则购买（20﹣m）个乙种书柜，
依题意得：，
解得：8≤m≤10，
又∵m为整数，
∴m可以取8，9，10，
∴该校共有3种购买方案，
方案1：购买8个甲种书柜，12个乙种书柜；
方案2：购买9个甲种书柜，11个乙种书柜；
方案3：购买10个甲种书柜，10个乙种书柜．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
26．（10分）已知∠MON＝90°，点A，B分别在射线OM，ON上运动（不与点O重合）
观察：
（1）如图1，若∠OBA和∠OAB的平分线交于点C，∠ACB＝　135　°
猜想：
（2）如图2，随着点A，B分别在射线OM，ON上运动（不与点O重合）．若BC是∠ABN的平分线，BC的反向延长线与∠OAB的平分线交于点E，∠E的大小会变吗？如果不会，求∠E的度数；如果会改变，说明理由．
拓展：
（3）如图3，在（2）基础上，小明将△ABE沿MN折叠，使点E落在四边形ABMN内点E′的位置．求∠BME′+∠ANE′的度数．
【分析】（1）根据三角形的内角和定理角平分线的定义计算即可．
（2）利用三角形的外角的性质，三角形内角和定理构建关系式解决问题即可．
（3）根据翻折不变性，三角形内角和定理，三角形的外角的性质构建关系式解决问题即可．
【解答】解：观察：（1）∵∠MON＝90°，
∴∠OAB+∠OBA＝90°，
∵∠OBA和∠OAB的平分线交于点C，
∴∠ABC＝∠OBA，∠BAC＝∠OAB，
∴∠ABC+∠BAC＝（∠OBA+∠OAB）＝45°，
∴∠CBA＝180°﹣45°＝135°
故答案为135．
猜想：（2）∵AE是∠BAO的平分线
∴∠BAE＝∠BAO，
∵BC是∠ABN的平分线，
∴∠CBA＝∠NBA，
∵∠NBA＝∠O+∠BAO，
∴∠CBA＝（∠O+∠BAO）＝45°+∠BAE，
∵∠CBA＝∠E+∠BAE，
∴∠E+∠BAE＝45°+∠BAE，
即∠E＝45°．
拓展：（3）由折叠可得，∠EMN＝∠E′MN，∠E N M＝∠E′NM，
∴2∠EMN+∠BM E′＝180°，2∠ENM+∠ANE′＝180°，
∴∠BM E′＝180°﹣2∠EMN，∠ANE′＝180°﹣2∠ENM，
∴∠BM E′+∠ANE′＝360°﹣2（∠EMN+∠ENM），
∵∠EMN+∠ENM＝180°﹣∠E，∠E＝45°，
∴∠BM E′+∠ANE′＝360°﹣2（∠EMN+∠ENM）
＝360°﹣2（180°﹣∠E）
＝2∠E
＝90°．
本题考查三角形内角和定理，三角形的外角的性质，翻折变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．