1.3《 线段的垂直平分线》 第1课时 教学课件 (共19张PPT)数学北师大版 八年级下册

(共19张PPT)
第一章 三角形的证明
1.3 线段的垂直平分线
第 1 课时
学习目标
1．经历“探索—发现—猜想—证明”的过程，进一步体会证明的必要性，增强证明意识和能力.
2．证明线段垂直平分线的性质定理，探索并证明线段垂直平分线的判定定理，进一步发展推理能力.
情境导入
如图，A，B表示路边的两个花店，要在A，B一侧建造一个花卉基地，使它到两个花店的距离相等，花卉基地应建在什么位置
A
B
探究新知
证明：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等
已知：如图，直线MN⊥AB，垂足为C，且AC=BC，P是MN上的任意一点.
求证：PA=PB.
证明：∵MN⊥AB，
∴∠PCA＝∠PCB=90°．
又∵AC＝CB，PC＝PC，
∴△PCA≌△PCB（SAS）．
∴PA＝PB（全等三角形的对应边相等）．
A
B
C
N
M
P
探究新知
定理
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等
几何语言：
∵AC＝BC，MN⊥AB，
∴PA＝PB．
P
C
B
A
M
N
探究新知
想一想
能写出上面这个定理的逆命题吗？它是真命题吗？
到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．
已知：如图，线段AB，PA＝PB．
求证：点P在线段AB的垂直平分线上．
探究新知
证法1：过点P作直线MN⊥AB，垂足为C．则PC是△PAB的高．
∵PA＝PB，
∴△PAB是等腰三角形，
∴PC是△PAB的中线（三线合一）
∴AC＝BC．
∴直线MN是线段AB的垂直平分线．
∴点P在线段AB的垂直平分线上．
探究新知
证法2：过点P作线段AB的垂线PC，垂足为C．则∠PCA＝∠PCB＝90°．
在Rt△PCA和Rt△PCB中，
∵PA＝PB，PC＝PC
∴Rt△PCA≌Rt△PCB（HL）．
∴AC＝BC．
又PC⊥AB，
∴点P在线段AB的垂直平分线上．
C
探究新知
证法3：取AB的中点C，过PC作直线
∵AP=BP，PC=PC．AC=CB，
∴△APC≌△BPC(SSS)．
∴∠PCA=∠PCB(全等三角形的对应角
相等)
又∵∠PCA+∠PCB=180°，
∴∠PCA=∠PCB=∠90°，即PC⊥AB，
∴P点在AB的垂直平分线上．
C
探究新知
证法4：过P点作∠APB的角平分线．
∵AP=BP，∠1=∠2，PC=PC，
△APC≌△BPC(SAS)．
∴AC=BC，∠PCA=∠PCB．
又∵∠PCA+∠PCB=180°，∴∠PCA=∠PCB=90°，
∴P点在线段AB的垂直平分线上．
C
1
2
探究新知
判定定理
到一条线段两个端点距离相等的点，
在这条线段的垂直平分线上
几何语言：
∵PA＝PB，
∴点P在AB的垂直平分线上．
典例精析
例 已知：如图，在 △ABC 中，AB = AC，O 是 △ABC 内一点，且 OB = OC．
求证：直线 AO 垂直平分线段BC．
证明：∵ AB = AC，
∴ 点 A 在线段 BC 的垂直平分线上．
同理，点 O 在线段 BC 的垂直平分线上．
∴ 直线 AO 是线段 BC 的垂直平分线
（两点确定一条直线）．
课堂练习
1．三角形纸片上有一点P，量得PA＝3 cm，PB＝3 cm，则点P一定（ ）．
A．是边AB的中点 B．在边AB的中线上
C．在边AB的高上 D．在边AB的垂直平分线上
2．如图，在△ABC中，EF是AC的
垂直平分线，AF＝12，BF＝3，
则BC＝__________．
D
15
课堂练习
3．如图，BD垂直平分CE，ED＝3 cm，△ABE的周长为11 cm，则△ACE的周长为__________．
17 cm
课堂练习
4．如图，△ABC中，BC＝7，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D，E，AC的垂直平分线分别交AC，BC于点F，G．求△AEG的周长．
解：DE，GF分别是AB，AC的垂直平分线，
∴BE＝AE，CG＝AG．
∴△AEG的周长＝AE＋EG＋AG
＝BE＋EG＋CG
＝BC＝7．
答：△AEG的周长为7．
课堂练习
5．如下图，AD⊥BC，BD＝DC，点C在AE的垂直平分线上，AB、AC、CE的长度有什么关系？AB＋BD与DE有什么关系？
解：∵AD⊥BC，BD＝DC，
∴AD是BC的垂直平分线．∴AB＝AC．
∵点C在AE的垂直平分线上，∴AC＝CE．
∴AB＝AC＝CE．
∵AB＝CE，BD＝DC，
∴AB＋BD＝CD＋CE．即AB＋BD＝DE．
课堂练习
6．如下图，AB＝AC，MB＝MC．直线AM是线段BC的垂直平分线吗？
A
B
C
D
M
解：∵AB＝AC，
∴点A在BC的垂直平分线上．
∵MB＝MC，
∴点M在BC的垂直平分线上．
∴直线AM是线段BC的垂直平分线．
课堂小结
1．性质定理
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．
2．判定定理
到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．
再见