2021-2022学年黑龙江省哈尔滨市高二（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一.单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的4个选项中，有且只有一项是符合题目要求。）
1．（5分）抛物线y＝4x2的焦点坐标是（ ）
A．（0，1） B．（0，2） C．（0，4） D．（0，）
【答案】D
【分析】将原方程化为抛物线的标准方程，即可求解．
【解答】解：∵抛物线的标准方程为，
∴，，
∴抛物线的焦点坐标为．
故选：D．
2．（5分）圆x2+y2﹣2x+10y+7＝0的圆心坐标为（ ）
A．（1，﹣5） B．（1，5） C．（﹣1，5） D．（2，﹣10）
【答案】A
【分析】将圆的一般方程化成标准方程可得圆心的坐标．
【解答】解：x2+y2﹣2x+10y+7＝0化为标准方程可得：（x﹣1）2+（y+5）2＝19，
所以圆心的坐标为（1，﹣5），
故选：A．
3．（5分）以双曲线＝﹣1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】先求出双曲线的顶点和焦点，从而得到椭圆的焦点和顶点，进而得到椭圆方程．
【解答】解：双曲线 的顶点为（0，﹣2）和（0，2），焦点为（0，﹣4）和（0，4）．
∴椭圆的焦点坐标是为（0，﹣2）和（0，2），顶点为（0，﹣4）和（0，4）．
∴椭圆方程为 ．
故选：D．
4．（5分）如图为陕西博物馆收藏的国宝——唐 金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，玲珑娇美，巧夺天工，是唐朝金银细作的典范之作．该杯的主体部分可以近似看作是双曲线＝1（a＞0，b＞0）的右支与y轴及平行于x轴的两条直线围成的曲边四边形ABMN绕y轴旋转一周得到的几何体，若该金杯主体部分的上口外直径为，下底座外直径为，且杯身最细之处到上杯口的距离是到下底座距离的2倍，则杯身最细之处的周长为（ ）
A．2π B．3π C．2π D．4π
【答案】C
【分析】把点M，N的坐标代入双曲线的方程，解得a，b，即可得出答案．
【解答】解：由题意可得M（，4），N（，﹣2），
所以双曲线C过点M，N，
所以，解得a＝，b＝3，
所以身最细之处的周长为2×π×＝2π．
故选：C．
5．（5分）一个正三角形的顶点都在抛物线y2＝4x上，其中一个顶点在坐标原点，这个三角形的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据抛物线方程先设其中一个顶点是（x，2），根据正三角形的 性质＝tan30°＝求得x，进而可得另两个顶点坐标，最后根据面积公式求得答案．
【解答】解：设其中一个顶点是（x，2）
因为是正三角形
所以＝tan30°＝
即
解得x＝12
所以另外两个顶点是（12，4）与（12，﹣4）
三角形的面积12 （4+4）＝48
故选：A．
6．（5分）双曲线的渐近线方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由双曲线的性质及方程，直接求解双曲线的渐近线的方程．
【解答】解：由双曲线方程可得渐近线方程为：，
故选：C．
7．（5分）椭圆＝1的焦点F1和F2，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点在y轴上，那么|PF1|：|PF2|的值为（ ）
A．7：1 B．5：1 C．9：2 D．8：3
【答案】A
【分析】由题设知F1（﹣3，0），F2（3，0），由线段PF1的中点在y轴上，设P（3，b），把P（3，b）代入椭圆 ＝1，得．再由两点间距离公式分别求出|PF1|和|PF2|，由此得到|PF1|与|PF2|的比值．
【解答】解：由题设知F1（﹣3，0），F2（3，0），
∵线段PF1的中点在y轴上，
∴P（3，b），把P（3，b）代入椭圆 ＝1，得 ．
∴|P F1|＝，|P F2|＝．
．
故选：A．
8．（5分）设F1，F2是双曲线C：﹣＝1（a＞0．b＞0）的左，右焦点，O是坐标原点．过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P，若|PF1|＝|OP|，则C的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【分析】方法一：先根据点到直线的距离求出|PF2|＝b，再求出|OP|＝a，在三角形F1PF2中，由余弦定理可得|PF1|2＝|PF2|2+|F1F2|2﹣2|PF2| |F1F2|cos∠PF2O，代值化简整理可得a＝c，问题得以解决．
方法二：如图，解直角三角形即可求出b＝a，c＝a，问题得以解决．
【解答】解：方法一：双曲线C：﹣＝1（a＞0．b＞0）的一条渐近线方程为y＝x，
∴点F2到渐近线的距离d＝＝b，即|PF2|＝b，
∴|OP|＝＝＝a，cos∠PF2O＝，
∵|PF1|＝|OP|，
∴|PF1|＝a，
在三角形F1PF2中，由余弦定理可得|PF1|2＝|PF2|2+|F1F2|2﹣2|PF2| |F1F2|COS∠PF2O，
∴6a2＝b2+4c2﹣2×b×2c×＝4c2﹣3b2＝4c2﹣3（c2﹣a2），
即3a2＝c2，
即a＝c，
∴e＝＝，
方法二：过F1作F1Q⊥直线y＝x，垂足为Q，
则|F1Q|＝|PF2|＝b，
则|OP|＝|OQ|＝a，
∴|PQ|＝2a，
∵|PF1|＝|OP|＝a，
∴（a）2＝b2+（2a）2，
∴b＝a，c＝a，
∴e＝＝，
故选：C．
二.多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）
（多选）9．（5分）经过点P（4，﹣2）的抛物线的标准方程为（ ）
A．y2＝x B．x2＝8y C．x2＝﹣8y D．y2＝﹣8x
【答案】AC
【分析】根据题意，分析可得抛物线可能开口向右，也可能开口向下．故可设抛物线的标准方程为y2＝2px，或x2＝﹣2my，把点P（4，﹣2）代入方程可得p值，即得抛物线方程．
【解答】解：根据题意，点P（4，﹣2）在第四象限，故抛物线可能开口向右，也可能开口向下．
故可设抛物线的标准方程为y2＝2px，或x2＝﹣2my，
把点P（4，﹣2）代入方程可得p＝或m＝4，
故抛物线的标准方程y2＝x 或x2＝﹣8y，
故选：AC．
（多选）10．（5分）已知圆方程为：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝4与直线x+my﹣m﹣2＝0，下列选项正确的是（ ）
A．直线与圆必相交
B．直线与圆不一定相交
C．直线与圆相交且所截最短弦长为
D．直线与圆可以相切
【答案】AC
【分析】先求出直线的定点，再结合两点之间的距离公式和平面几何知识，即可求解．
【解答】解：由题意，圆（x﹣1）2+（y﹣1）2＝4的圆心C（1，1），半径r＝2，
直线x+my﹣m﹣2＝0变形可得x﹣2+m（y﹣1）＝0，
则直线恒过定点A（2，1），
∵，
∴点A在圆内，
∴直线与圆必相交，故A正确，BD错误，
由平面几何知识可知，当直线与过定点A和圆心的直线垂直时，
弦长有最小值，
则弦长为＝，故C正确．
故选：AC．
（多选）11．（5分）已知抛物线C1：y2＝8x的焦点F与双曲线C2：的右焦点重合，且C1与C2交于A，B两点，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线的离心率
B．抛物线的准线被双曲线所截得的线段长度为
C．|AF|＝6+3
D．在抛物线上存在点P使得△PAB为直角三角形
【答案】ACD
【分析】求解双曲线的离心率判断A；抛物线的准线为x＝﹣2，代入双曲线方程，求解抛物线的准线被双曲线所截得的线段长度判断B；求解|AF|判断C；判断三角形的直角是，联立抛物线与圆的方程，推出结果即可判断D．
【解答】解：由题，得t＝2，故双曲线为，离心率，A正确；
抛物线的准线为x＝﹣2，代入，解得，所以抛物线的准线被双曲线所截得的线段长度为，B错误；
联立解得（舍），则，C正确；
若抛物线上存在点P（x0，y0）（x0＞0）使得△PAB为直角三角形，由C选项知，只能是，
即以线段AB为直径的圆与抛物线C1有异于A，B的交点．联立，
解得x1＝xA，x2＝xA﹣8，因为，故存在，D正确，
故选：ACD．
（多选）12．（5分）关于曲线+x|x|＝1的以下描述，正确的是（ ）
A．该曲线的范围为：y∈R，x≤1
B．该曲线既关于x轴对称，也关于y轴对称
C．该曲线与直线2x+y＝0有两个公共点
D．该曲线上的点到坐标原点的距离的最小值为1
【答案】AD
【分析】先利用绝对值的定义进行分类讨论去掉绝对值，得到曲线方程对应的图象，然后利用图象对四个选项进行逐一分析判断即可．
【解答】解：曲线+x|x|＝1，
当x≥0时，曲线方程可化为，此时曲线为椭圆的右半部分，
当x＜0时，曲线方程可化为，此时曲线为双曲线的右半部分，
作出曲线对应的图象如图所示，
由图可知，y∈R，x≤1，故选项A正确；
由图可知，曲线关于x轴对称，不关于y轴对称，故选项B错误；
因为直线2x+y＝0时双曲线的渐近线，与双曲线没有交点，与椭圆只有一个交点，
故该曲线与直线2x+y＝0有一个公共点，故选项C错误；
因为点（1，0）到原点的距离最小，所以曲线上的点到原点距离的最小值为1，故选项D正确．
故选：AD．
三.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）
13．（5分）椭圆x2+4y2＝16上点的纵坐标的取值范围是 [﹣2，2] ．
【答案】见试题解答内容
【分析】化简方程为椭圆的标准方程，然后写出结果即可．
【解答】解：椭圆x2+4y2＝16的标准方程为：，
可得y∈[﹣2，2]．
故答案为：[﹣2，2]．
14．（5分）设抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，抛物线上一点M（3，y0）到F的距离为6，则y0＝ ±6 ．
【答案】±6．
【分析】求出抛物线的焦点和准线方程，运用抛物线的定义，可得3+＝6，求得p＝6，进而得到抛物线方程，代入M的坐标，可得y0．
【解答】解：抛物线C；y2＝2px（p＞0）的焦点为F（，0），准线为l：x＝﹣，
由抛物线的定义可得，|MF|＝3+＝6，
解得p＝6，即有抛物线的方程为y2＝12x，
将x＝3代入抛物线方程，可得y0＝±6．
故答案为：±6．
15．（5分）已知双曲线的离心率是，则双曲线的右焦点坐标为 （，0） ．
【答案】（，0）．
【分析】根据题意，由双曲线的离心率公式，变形分析可得＝＝3，求出a2的值，进而可得c的值，由双曲线的焦点公式可得答案．
【解答】解：根据题意，双曲线的离心率是，即e＝＝，
变形可得：＝＝3，解可得a2＝2，
则有c＝＝，
故双曲线的右焦点坐标为（，0）；
故答案为：（，0）．
16．（5分）设椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1，F2，过F2作x轴的垂线与C相交于A，B两点，F1B与y轴相交于点D，若AD⊥F1B，则椭圆C的离心率等于 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据条件分别求出A，B，D的坐标，利用AD⊥F1B，建立方程关系即可得到结论．
【解答】解：连接AF1，∵OD∥AB，O为F1F2的中点，
∴D为BF1的中点，
又AD⊥BF1，∴|AF1|＝|AB|．
∴|AF1|＝2|AF2|．
设|AF2|＝n，则|AF1|＝2n，|F1F2|＝n，
∴e＝＝＝＝＝．
四、解答题（本大题共70分）
17．（10分）根据下列条件求圆的方程．
（1）圆心在点O（0，0），半径r＝3；
（2）以点A（2，5）、B（4，1）为直径．
【答案】（1）x2+y2＝9．（2）（x﹣3）2+（y﹣3）2＝5．
【分析】（1）根据圆心与半径，即可直接求解．
（2）根据A，B两点的坐标，即可直接求出圆的坐标，再结合两点之间的距离公式，即可求解．
【解答】解：（1）∵圆心在点O（0，0），半径r＝3，
∴所求圆的方程为x2+y2＝9．
（2）∵要求圆的圆心为AB的中点，
∴圆心坐标为（3，3），
∴＝．
∴所求圆的方程为（x﹣3）2+（y﹣3）2＝5．
18．已知椭圆上一点P到它的左右两个焦点的距离和是6，
（1）求a及椭圆离心率的值．
（2）若PF2⊥x轴（F2为右焦点），且P在y轴上的射影为点Q，求点Q的坐标．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据椭圆的定义，利用椭圆上一点P到它的左右两个焦点的距离和是6，可求a的值，从而求出椭圆离心率的值；
（2）先确定P的横坐标，再确定P的纵坐标，根据P在y轴上的射影为点Q，可求点Q的坐标．
【解答】解：（1）∵椭圆上一点P到它的左右两个焦点的距离和是6
∴2a＝6
∴a＝3
∵b＝2，c2＝a2﹣b2
∴c＝
∴
（2）∵PF2⊥x轴（F2为右焦点），
∴P的横坐标为
∵P在椭圆上
∴
∵P在y轴上的射影为点Q，
∴点Q的坐标为．
19．已知椭圆4x2+y2＝1及直线y＝x+m．
（1）当直线与椭圆有公共点时，求实数m的取值范围．
（2）求被椭圆截得的最长弦所在直线方程．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）当直线与椭圆有公共点时，直线方程与椭圆方程构成的方程组有解，等价于消掉y后得到x的二次方程有解，故△≥0，解出即可；
（2）设所截弦的两端点为A（x1，y1），B（x2，y2），由（1）及韦达定理可把弦长|AB|表示为关于m的函数，根据函数表达式易求弦长最大时m的值；
【解答】解：（1）由得5x2+2mx+m2﹣1＝0，
当直线与椭圆有公共点时，Δ＝4m2﹣4×5（m2﹣1）≥0，即﹣4m2+5≥0，
解得﹣，
所以实数m的取值范围是﹣；
（2）设所截弦的两端点为A（x1，y1），B（x2，y2），
由（1）知，，，
所以弦长|AB|＝＝＝ ＝，
当m＝0时|AB|最大，此时所求直线方程为y＝x．
20．已知两定点O（0，0），P（3，0），动点M到定点O的距离与到定点P的距离比值是．
（1）求点M的轨迹方程；
（2）现有一直线l：3x+4y﹣12＝0与两坐标轴交点为A、B，试求△ABM面积的取值范围．
【答案】（1）（x+1）2+y2＝4．（2）[]．
【分析】（1）根据已知条件，结合两点之间的距离公式，即可求解．
（2）根据两点之间的距离公式，求得|AB|＝5，令dM表示点M到AB的距离，dC表示圆心到直线l的距离，
故S△ABM＝dM＝，再结合dC﹣r≤dM≤dC+r，即1≤dM≤5，即可求解．
【解答】解：（1）设点M的坐标为（x，y），
由题意可得，，
则，化简整理可得，x2+y2+2x﹣3＝0，
故点M的轨迹方程为（x+1）2+y2＝4．
（2）由题意，不妨设A为与x轴的交点，B为与y轴的交点，
故A（4，0），B（0，3），|AB|＝，
令dM表示点M到AB的距离，dC表示圆心到直线l的距离，
故S△ABM＝dM＝，
则dC＝，
故dC﹣r≤dM≤dC+r，即1≤dM≤5，
故，
故△ABM面积的取值范围为[]．
21．已知双曲线C：＝1与椭圆＝1有相同的焦点，且过点，直线l交双曲线于A、B两点，且原点O到直线l的距离为．
（1）求双曲线C的方程；
（2）证明：OA⊥OB．
【答案】（1）双曲线C的方程为；
（2）证明过程见解析．
【分析】（1）由椭圆方程求得焦点坐标，再由题意列关于a，b的方程组，求解a与b的值，则双曲线方程可求；
（2）当直线l的斜率不存在时，直线方程为x＝﹣或x＝，求得A与B的坐标，即可证明，有OA⊥OB；
当直线l的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝kx+b，A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线方程与双曲线方程，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系及向量数量积证明OA⊥OB．
【解答】（1）解：由椭圆＝1，得c＝，
得双曲线C：＝1的焦点坐标为（，0），（，0），
又双曲线过点，
∴，解得a2＝1，b2＝2，
∴双曲线C的方程为；
（2）证明：当直线l的斜率不存在时，直线方程为x＝﹣或x＝，
可得A（，），B（，﹣）或A（，），B（﹣，﹣），
可得，有OA⊥OB；
当直线l的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝kx+b，A（x1，y1），B（x2，y2），
联立，得（2﹣k2）x2﹣2kbx﹣b2﹣2＝0．
，，
y1y2＝（kx1+b）（kx2+b）＝
＝＝，
由原点O到直线l的距离为，得，即b2＝2（k2+1），
∴＝．
∴OA⊥OB．
综上可得，OA⊥OB．
22．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）过点T（），且半焦距c＝．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）如图，已知D（，0），A（2，1），过点B（3，0）的直线l与椭圆相交于P，Q两点，直线AP，AQ与x轴分别相交于M，N两点，试问|DM| |DN|是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，请说明理由．
【答案】见试题解答内容
【分析】（Ⅰ）由题意列关于a，b，c的方程组，求解可得a，b的值，则椭圆方程可求；
（Ⅱ）设直线l的方程，求得的直线AP及AQ的方程，求得M和N点坐标，将直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理可得及两点之间的距离公式，化简即可求得，|DM| |DN|＝为定值．
【解答】解：（Ⅰ）由题意，，解得：a＝，b＝，c＝，
∴椭圆的标准方程为：；
（Ⅱ）设直线l的方程为x＝my+3，P（x1，y1），Q（x2，y2）．
直线AP的方程为y﹣1＝（x﹣2），令y＝0，解得：x＝，
∴M（，0），可得，即M（，0），同理可得：N（，0），
联立，消去x，整理得（2+m2）y2+6my+3＝0．
由Δ＝36m2﹣12（2+m2）＞0，可得m2＞1．
∴y1+y2＝﹣，y1y2＝，
|DM| |DN|＝＝
＝＝
＝＝
∴|DM| |DN|为定值，且|DM| |DN|＝．2021-2022学年黑龙江省哈尔滨市高二（上）期中数学试卷
一.单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的4个选项中，有且只有一项是符合题目要求。）
1．（5分）抛物线y＝4x2的焦点坐标是（ ）
A．（0，1） B．（0，2） C．（0，4） D．（0，）
2．（5分）圆x2+y2﹣2x+10y+7＝0的圆心坐标为（ ）
A．（1，﹣5） B．（1，5） C．（﹣1，5） D．（2，﹣10）
3．（5分）以双曲线＝﹣1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为（ ）
A． B．
C． D．
4．（5分）如图为陕西博物馆收藏的国宝——唐 金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，玲珑娇美，巧夺天工，是唐朝金银细作的典范之作．该杯的主体部分可以近似看作是双曲线＝1（a＞0，b＞0）的右支与y轴及平行于x轴的两条直线围成的曲边四边形ABMN绕y轴旋转一周得到的几何体，若该金杯主体部分的上口外直径为，下底座外直径为，且杯身最细之处到上杯口的距离是到下底座距离的2倍，则杯身最细之处的周长为（ ）
A．2π B．3π C．2π D．4π
5．（5分）一个正三角形的顶点都在抛物线y2＝4x上，其中一个顶点在坐标原点，这个三角形的面积是（ ）
A． B． C． D．
6．（5分）双曲线的渐近线方程是（ ）
A． B． C． D．
7．（5分）椭圆＝1的焦点F1和F2，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点在y轴上，那么|PF1|：|PF2|的值为（ ）
A．7：1 B．5：1 C．9：2 D．8：3
8．（5分）设F1，F2是双曲线C：﹣＝1（a＞0．b＞0）的左，右焦点，O是坐标原点．过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P，若|PF1|＝|OP|，则C的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
二.多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）
（多选）9．（5分）经过点P（4，﹣2）的抛物线的标准方程为（ ）
A．y2＝x B．x2＝8y C．x2＝﹣8y D．y2＝﹣8x
（多选）10．（5分）已知圆方程为：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝4与直线x+my﹣m﹣2＝0，下列选项正确的是（ ）
A．直线与圆必相交
B．直线与圆不一定相交
C．直线与圆相交且所截最短弦长为
D．直线与圆可以相切
（多选）11．（5分）已知抛物线C1：y2＝8x的焦点F与双曲线C2：的右焦点重合，且C1与C2交于A，B两点，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线的离心率
B．抛物线的准线被双曲线所截得的线段长度为
C．|AF|＝6+3
D．在抛物线上存在点P使得△PAB为直角三角形
（多选）12．（5分）关于曲线+x|x|＝1的以下描述，正确的是（ ）
A．该曲线的范围为：y∈R，x≤1
B．该曲线既关于x轴对称，也关于y轴对称
C．该曲线与直线2x+y＝0有两个公共点
D．该曲线上的点到坐标原点的距离的最小值为1
三.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）
13．（5分）椭圆x2+4y2＝16上点的纵坐标的取值范围是 ．
14．（5分）设抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，抛物线上一点M（3，y0）到F的距离为6，则y0＝ ．
15．（5分）已知双曲线的离心率是，则双曲线的右焦点坐标为 ．
16．（5分）设椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1，F2，过F2作x轴的垂线与C相交于A，B两点，F1B与y轴相交于点D，若AD⊥F1B，则椭圆C的离心率等于 ．
四、解答题（本大题共70分）
17．（10分）根据下列条件求圆的方程．
（1）圆心在点O（0，0），半径r＝3；
（2）以点A（2，5）、B（4，1）为直径．
18．已知椭圆上一点P到它的左右两个焦点的距离和是6，
（1）求a及椭圆离心率的值．
（2）若PF2⊥x轴（F2为右焦点），且P在y轴上的射影为点Q，求点Q的坐标．
19．已知椭圆4x2+y2＝1及直线y＝x+m．
（1）当直线与椭圆有公共点时，求实数m的取值范围．
（2）求被椭圆截得的最长弦所在直线方程．
20．已知两定点O（0，0），P（3，0），动点M到定点O的距离与到定点P的距离比值是．
（1）求点M的轨迹方程；
（2）现有一直线l：3x+4y﹣12＝0与两坐标轴交点为A、B，试求△ABM面积的取值范围．
21．已知双曲线C：＝1与椭圆＝1有相同的焦点，且过点，直线l交双曲线于A、B两点，且原点O到直线l的距离为．
（1）求双曲线C的方程；
（2）证明：OA⊥OB．
22．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）过点T（），且半焦距c＝．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）如图，已知D（，0），A（2，1），过点B（3，0）的直线l与椭圆相交于P，Q两点，直线AP，AQ与x轴分别相交于M，N两点，试问|DM| |DN|是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，请说明理由．
