河北省保定市高阳中学2014-2015学年高二上学期期中考试数学（文）试题

高阳中学2014-2015学年高二上学期期中考试数学文试题
一．选择题（每小题5分，共60分）
1.命题:“x∈R,”的否定是( )
A.x∈R, B.x∈R,
C.x∈R, D.x∈R,
2. 在如图所示的“茎叶图”表示的数据中，众数和中位数分别（　　）
Ａ．23与26　　　　　
B．24与30
C．31与26
D．26与30　　
3.命题“设、、，若则”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为（ ）
A.0 B.2 C.3 D.4
4 ．如图所示,程序框图(算法流程图)的输出结果是
（　　）
A． B． C． D．
5. 某学校组织学生参加英语测试,成绩的频率分布直方图如图,数据的分组依次为,若低于60分的人数是15人,则该班的学生人数是（　　）

A． B． C． D．
6.已知条件，条件，
则是的（　　 ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件
7. 某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表
广告费用x（万元）
4
2
3
5
销售额y（万元）
49
26
39
54
根据上表可得回归方程中的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为
A．63． 6万元 B．65．5万元 C．67．7万元 D．72．0万元
8．袋中有大小相同的黄、红、白球各一个，每次任取一个，有放回地取3次，则是下列哪个是事件的概率 （ ）
A．颜色全同 B．颜色全不同 C．颜色不全同 D．无红球
9. 某单位有840名职工, 现采用系统抽样方法, 抽取42人做问卷调查, 将840人按1, 2,…840随机编号, 则抽取的42人中, 编号落入区间[481, 720]的人数为( )
A．11 B．12 C．13 D．14
10. 在一次跳伞训练中,甲.乙两位学员各跳一次,设命题是“甲降落在指定范围”,是“乙降落在指定范围”,则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（　　）
A． B． C． D．
11若为实数，则“”是的 ( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
12．设椭圆的左、右焦点分别为，以为圆心，（为椭圆中心）为半径作圆，若它与椭圆的一个交点为，且恰好为圆的一条切线，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)
13．用辗转相除法求两个数 102,238 的最大公约数是_________
14．数据5，7，7，8，10，11的标准差是
15. 某班委会由4名男生与3名女生组成，现从中选出2人担任正副班长，其中至少有1名女生当选的概率是______
16.是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上运动，则的最大值是
三．解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.（本小题满分10分）
已知F1、F2是椭圆＋＝1的两个焦点，P是椭圆上任意一点．
(1)求PF1·PF2的最大值．
(2)若∠F1PF2＝，求△F1PF2的面积；
18.（本小题满分12分）某校高三文科分为四个班．高三数学调研测试后, 随机地在各班抽取部分学生进行测试成绩统计,各班被抽取的学生人数恰好成等差数列,人数最少的班被抽取了22人．抽取出来的所有学生的测试成绩统计结果的频率分布条形图如下图所示,其中120～130(包括120分但不包括130分)的频率为0．05,此分数段的人数为5人．
(1) 问各班被抽取的学生人数各为多少人?
(2) 求平均成绩.
(3) 在抽取的所有学生中,任取一名学生, 求分数不小于90分的概率．
19．(本小题满分12分)
设p:实数x满足,其中,
实数x满足
(Ⅰ)若且为真，求实数的取值范围；
(Ⅱ)若是的充分不必要条件,求实数的取值范围.
20. （本题满分12分）已知方程,设分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数. 求方程有实根的概率;
21. （本题满分12分）若点，在中按均匀分布出现.
（１）点横、纵坐标分别由掷骰子确定，第一次确定横坐标，第二次确定纵坐标，则点落在上述区域的概率？
（２）试求方程有两个实数根的概率.
22. （本题满分12分）已知椭圆=1(a＞b＞0)的离心率e=，过点A（0，-b）和B（a，0）的直线与坐标原点距离为.
（1）求椭圆的方程；
（2）已知定点E（-1，0），若直线y=kx+2(k≠0)与椭圆相交于C、D两点，试判断是否存在k值，使以CD为直径的圆过定点E？若存在求出这个k值，若不存在说明理由.

17.解：(1)∵a＝10，∴根据椭圆的定义得PF1＋PF2＝20.∵PF1＋PF2≥2，∴PF1·PF2≤2＝2＝100，当且仅当PF1＝PF2＝10时，等号成立．∴PF1·PF2的最大值为100 ……4分
(2)设PF1＝m，PF2＝n(m>0，n>0)．根据椭圆的定义得m＋n＝20.在△F1PF2中，由余弦定理得PF＋PF－2PF1·PF2·cos∠F1PF2＝F1F，即m2＋n2－2mn·cos＝122.∴m2＋n2－mn＝144，即(m＋n)2－3mn＝144.∴202－3mn＝144，即mn＝.又∵S△F1PF2＝PF1·PF2·sin∠F1PF2＝mn·sin，∴S△F1PF2＝××＝. ……10分
18.解析:(1) 由频率分布条形图知,抽取的学生总数为人．
∵各班被抽取的学生人数成等差数列,设其公差为,由=100,解得．
∴各班被抽取的学生人数分别是22人，24人，26人，28人． ……4分
(2) 平均成绩为98分。 ……8分
(3)在抽取的学生中,任取一名学生, 则分数不小于90分的概率为0．35+0．25+0．1+0．05=0．75． ……12分
19．（I）
解：由得，
又,所以,
当时，1<,即为真时实数的取值范围是1<. …………2分
由,得,即为真时实数的取值范围是. ……4分
若为真，则真且真，
所以实数的取值范围是. ……………………6分
(Ⅱ) 是的充分不必要条件，即,且, ……………8分
设A=,B=,则,
又A==, B==}， ……………10分
则0<,且
所以实数的取值范围是. ……………12
20.解析：“方程有两个相等实根实根” 记为事件B,“方程有两个相异实根”记为事件C, “方程有实根” 记为事件A ……………1分
先后抛掷一枚骰子的基本事件总数为, ……………2分
事件由列数表易知满足事件B的有两个基本事件,; ……………5分
事件则满足条件C的数据有,有共有17个基本事件,. ……………10分
又B、C是互斥事件,故所求的概率为
∴方程有实根的概率为 ……………12分
21.解：（1）根据题意，点（p，q），在|p|≤3，|q|≤3中，即在如图的正方形区域，其中p、q都是整数的点有6×6=36个， ……………2分点M（x，y）横、纵坐标分别由掷骰子确定，即x、y都是整数，且1≤x≤3，1≤y≤3，点M（x，y）落在上述区域有（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（3，3），有9个点，所以点M（x，y）落在上述区域的概率P1= ……………6分
（2）|p|≤3，|q|≤3表示如图的正方形区域，易得其面积为36；若方程x2+2px-q2+1=0有两个实数根，则有△=（2p）2-4（-q2+1）≥0，解可得p2+q2≥1，为如图所示正方形中圆以外的区域，其面积为36-π，即方程x2+2px-q2+1=0有两个实数根的概率，P2= ……………12分
22.解：（1）直线AB方程为：bx-ay-ab＝0
　　依题意　解得　
　　∴　椭圆方程为　 ……………5分
　　（2）假若存在这样的k值，由得
　　∴　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　①
　　设， ，，则　　　　　　　　　　　　②
　　而 ……………8分
　　要使以CD为直径的圆过点E（-1，0），当且仅当CE⊥DE时，则，即
　　∴　 　　 ……………10分　　　　　　　　　　　　　③