第二十四章 圆 单元复习题 2022-2023学年人教版九年级数学上册（含解析）

人教版九年级数学上册第二十四章 圆 单元复习题
一、选择题
1．已知⊙O的直径长为4，点A，B在⊙O上，则AB的长不可能是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．8
2．如图，在中半径与弦垂直于点，且，，则的长是（　　）
A．1.5 B．2 C．3 D．4
3．下列说法中，正确的是（　　）
A．长度相等的弧是等弧
B．圆的每一条直径都是它的对称轴
C．直径如果平分弦就一定垂直弦
D．直径所对的弧是半圆
4．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠ABD＝20°，则∠BCD的度数是（　　）
A．90° B．100° C．110° D．120°
5．已知⊙O的半径是5，点P在⊙O内，则OP的长可能是(　　)
A．4 B．5 C．5.5 D．6
6．如图，为的直径，与相切于点，交的延长线于点，且．若，则半径长为（　　）
A．2 B．3 C． D．
7．如图，是的直径，弦于点E，连接，若，，则弦的长是（　　）
A． B． C． D．
8．如图，半径为5的圆O中，弦BC、ED所对的圆心角分别是∠BOC、∠EOD，已知DE＝6，∠BOC+∠EOD＝180°，则弦BC的弦心距等于（　　）
A．3 B． C．4 D．
9．如图，一个蜂巢巢房的横截而为正六边形，若对角线的长约为，则正六边形的边长为（　　）
A． B． C． D．
10．如果一个扇形的圆心角扩大为原来的2倍，半径扩大为原来的3倍，那么这个扇形的面积将扩大为原来的倍数是（　　）
A．18 B．12 C．6 D．4
二、填空题
11．已知中最长的弦为12厘米，则此圆半径为　 　厘米．
12．如图，为的直径，点C在上，点Р在线段上运动（不与O，B重合），若，设为，则的取值范围是　 　.
13．如图，A，B、C三点都在上，，过点A作的切线与的延长线交于点P，则的度数是　 　．
14．如图，正方形 和正 都内接于半径为1的 ， 与 、 分别相交于点 、 ，则 的长为　 　.
三、解答题
15．如图，已知四边形内接于.求证：.
16．如图，的直径，是的弦，，垂足为M，，求的长.
17．ΔABC为等腰三角形，O为底边BC的中点，腰AB与O相切于点D．
求证：AC是O的切线．
18．已知，，，是上的四点，延长，相交于点，若．
求证：是等腰三角形．
19．如图， 的半径 ， 于点C， .求 的长.
四、综合题
20．如图，四边形内接于，分别延长，，使它们相交于点，，且.
（1）求证：.
（2）若，点为的中点，求的半径.
21．如图，是的直径，是的弦，平分交于点D，过点D作的切线，交的延长线于点E，交的延长线于点F.
（1）求证：；
（2）若，求的长.
22．如图，四边形内接于，，是的直径，连接．
（1）求的度数；
（2）若直径为4，求的长．
23．如图，△ABC内接于☉O，∠A=60°，BE⊥AC于点E，延长线交☉O于点P。
（1）如图①，若△ABC是等边三角形，求证：OE=PE；
（2）如图②，当点A在直线BC上方运动时，（包括点B、C）作CQ⊥AB交BE于点H，
①求证：HE=PE
②若BC=3，求点H运动轨迹的长度。
答案解析部分
1．【答案】D
【解析】【解答】解：因为圆中最长的弦为直径，所以0＜AB≤4．
观察选项，只有选项D符合题意．
故答案为：D.
【分析】连接圆上任意两点间的线段就是圆的弦，过圆心的弦就是该圆的直径，而圆中最长的弦是直径，据此即可判断得出答案.
2．【答案】C
【解析】【解答】解：∵半径OC与弦AB垂直于点D，，
∴，，
∵，
∴.
故答案为：C.
【分析】根据垂径定理得AD=4，在Rt△OAD中，利用勾股定理算出OD即可.
3．【答案】D
【解析】【解答】解：A、在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，故A不符合题意；
B、圆的每一条直径所在的直线都是它的对称轴，故B不符合题意；
C、直径平分弦（弦不是直径）就一定垂直于弦，故C不符合题意；
D、直径所对的弧是半圆，故D符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据等弧的定义、圆的对称轴、垂径定理、半圆的定义，逐项进行判断，即可得出答案.
4．【答案】C
【解析】【解答】解：∵ AB是⊙O的直径 ，
∴∠ADB=90°，
又∵∠ABD=20°，
∴∠A=90°-∠ABD=70°，
∴∠BCD=180°-∠A=180°-70°=110°.
故答案为：C.
【分析】根据直径所对的圆周角是直角得∠ADB=90°，然后根据直角三角形两锐角互余得∠A的度数，最后根据圆内接四边形的对角互补可求出∠BCD的度数.
5．【答案】A
【解析】【解答】解：设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则r=5，OP=d，
∵ 点P在⊙O内 ，
∴r＞d，即OP＜5，
所以A选项满足条件.
故答案为：A.
【分析】设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内，据此判断即可得出答案.
6．【答案】B
【解析】【解答】解： 如图，连接，
∵与相切于点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴半径长为3．
故答案为：B．
【分析】连接OC，先证出，再结合可得，求出，再利用含30°角的直角三角形的性质可得，最后求出半径的长即可。
7．【答案】D
【解析】【解答】解：∵
∴
∵
∴
∵
∴
∴.
故答案为：D.
【分析】先求出OB的长，再利用勾股定理求出DE的长，由垂径定理可得CE=DE，根据CD=DE-CE即可求解.
8．【答案】A
【解析】【解答】解：作OH⊥BC于H，延长CO交圆O于点F，连接BF，如图，
∵∠BOC＋∠EOD＝180°，
而∠BOC＋∠BOF＝180°，
∴∠DOE＝∠BOF，
∴弧DE＝弧BF，
∴DE＝BF＝6，
∵OH⊥BC，
∴CH＝BH，
而CO＝OF，
∴OH为△CBF的中位线，
∴OH＝BF＝3．
故答案为：A.
【分析】作OH⊥BC于H，延长CO交圆O于点F，连接BF，先用等角的补角相等得∠DOE＝∠BOF，再利用圆心角、弧、弦的关系得到DE＝BF＝6，由OH⊥BC，根据垂径定理得CH＝BH，易得OH为△CBF的中位线，然后根据三角形中位线性质得到OH的长．
9．【答案】C
【解析】【解答】解：如图：连接交于点O，
∵六边形是正六边形，的长约为，
∴，
∵对角线的长约为
∴和约为，
∴约为，
故答案为：C.
【分析】连接BE、CF、BE与CF交于点O，根据正六边形的性质可得∠AOF=60°，OA=OD=OF，推出△AOF为等边三角形，根据AD的值可得OA=OD=5mm，据此解答.
10．【答案】A
【解析】【解答】解：设原扇形的圆心角度数为，半径为，
则：，
圆心角扩大为原来的2倍，半径扩大为原来的3倍后，面积变为：，
∴这个扇形的面积将扩大为原来的18倍；
故答案为：A．
【分析】利用扇形面积公式求解即可。
11．【答案】6
【解析】【解答】解：中最长的弦为12厘米，
的直径为12厘米，
的半径为6厘米．
故答案为：6．
【分析】根据最长的弦是直径可得答案。
12．【答案】
【解析】【解答】解：当点P位于O点时，
，
则，此时的值最小；
当点P位于B点时，根据直径所对的角是可得，此时的值最大；
由于点Р不与O，B重合，
于是.
故答案为：.
【分析】当点P位于O点时，OA=OC，由等腰三角形的性质可得∠CAB=α=30°；当点P位于B点时，根据直径所对的角是90°可得α=∠ACB=90°，据此不难得到α的范围.
13．【答案】20°
【解析】【解答】连接
∵
∴
∵过点A作的切线与的延长线交于点P
∴
∴
故答案为：20°
【分析】连接OA，根据圆周角的性质可得，再根据，利用三角形的内角和求出∠APO的度数即可。
14．【答案】1
【解析】【解答】解：如图，连接AC、BD、OF，
，
已知⊙O的半径是1，
则OF=1，
∵AO是∠EAF的平分线，
∴∠OAF=60°÷2=30°，
∵OA=OF，
∴∠OFA=∠OAF=30°，
∴∠COF=30°+30°=60°，
∴OI= ，CI= ，
∴ ，
BD=2，
故GH=1.
【分析】已知⊙O的半径是1，则OF=1，根据AO是∠EAF的平分线，求出∠COF=60°，在Rt△OIF中，求出FI的值是多少；然后判断出OI、CI的关系，再根据GH∥BD，求出GH的值是多少，再用EF的值比上GH的值，求出EF：GH的值是多少即可求GH.
15．【答案】证明：如图，连接，
∵，
∴，
∴.
【解析】【分析】连接OD、OB，由圆周角定理可得∠C=∠BOD，∠A=(360°-∠BOD)，据此证明.
16．【答案】解：如图：连接，
的直径，
，
，
，
在中，，
，
的直径为，，
，
故的长为8．
【解析】【分析】连接OA，先利用勾股定理求出AM的长，再利用垂径定理可得。
17．【答案】证明：过点O作OE⊥AC于点E，连结OD，OA，
∵AB与O相切于点D，
∴AB⊥OD，
∵△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，
∴AO是∠BAC的平分线，
∴OE=OD，即OE是O的半径，
∵AC经过O的半径OE的外端点且垂直于OE，
∴AC是O的切线。
【解析】【分析】过点O作OE⊥AC于点E，连结OD，OA，再证明OE=OD，可得OE是O的半径，再结合AC⊥OE，即可得到AC是O的切线。
18．【答案】证明：，，，是上的四点，
，
，
，
，
，即是等腰三角形．
【解析】【分析】根据圆内接四边形的性质可得∠A=∠BCE，由等腰三角形的性质可得∠E=∠BCE，推出∠A=∠E，则DA=DE，据此证明.
19．【答案】解：∵OC⊥AB，∠AOC=60°，
∴∠AOB=120°.
∵OA=2，
∴ 的长为：=.
【解析】【分析】首先由垂径定理结合已知条件可得∠AOB=120°，然后根据弧长公式：计算即可.
20．【答案】（1）证明：∵四边形内接于，
∴，
∵，
∴，
∵
∴，
∴
（2）解：如图，连接
∵，
∴是的直径，
∴，
∵
∴
∵，
∴，
∵点为的中点，
∴，
在中，，
∴的半径为
【解析】【分析】（1）根据圆内接四边形的性质可得∠A+∠BCD=180°，由邻补角的性质可得∠BCD+∠DCE=180°，则∠A=∠DCE，由等腰三角形的性质可得∠E=∠DCE，据此证明；
（2）连接AC，则AC为直径，由圆周角定理可得∠ABC=90°，根据∠A=∠AEB可得AB=BE=8，由中点的概念可得BC的值，然后利用勾股定理进行计算即可.
21．【答案】（1）证明：连接，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵为的切线，
∴，
∴.
（2）解：连结，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴.
【解析】【分析】（1）连接OD，根据角平分线的概念可得∠CAD=∠OAD，根据等腰三角形的性质可得∠OAD=∠ODA，则∠CAD=∠ODA，推出OD∥AF，根据切线的性质可得OD⊥EF，据此证明；
（2）连接OC，则△AOC为等边三角形，∠CAE=60°，由平行线的性质可得∠DOE=∠CAE=60°，则∠E=90°-∠DOE=30°，根据含30°角的直角三角形的性质可得OE=2OD=4，然后根据BE=OE-OB进行计算.
22．【答案】（1）解：∵四边形内接于，
∴，
∵，
∴；
（2）解：连接，
由圆周角定理得：，
∵是的直径，
∴，
∴，
∴
∴．
【解析】【分析】（1）利用圆内接四边形的性质可得，再结合，求出即可；
（2）连接BE，先求出，利用含30°角的直角三角形的性质求出，最后利用勾股定理求出BD的长即可。
23．【答案】（1）证明：如图所示，连接OC，PC，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°
∴∠BPC=∠BAC=60° ，
∵圆O是△ABC的外接圆，
∴圆O是△ABCC三边的垂直平分线的交点，
∴∠BAC是等边三角形，BE⊥AC，
∴BE 在线段AC的垂直平分线上，
∴O在线段BP上，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∵ ，
∴
（2）解：①如图所示，连接PC，
同理可得 ，
∵
∴
∴ =30°，
又 ∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ HE=PE ；
②由①得 ，
∴
∵
∴H是在以 B C为弦，圆周角 的圆上运动，
如图所示，劣弧 即为H的运动轨迹，过点 作 于 ，
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∵ ，
∴ ，
∴
∴.
【解析】【分析】（1）连接OC，PC，证出△OPC是等边三角形，再根据等边三角形的性质即可得出OE=PE；
（2）①连接PC，证出△CPH是等边三角形，再根据等边三角形的性质即可得出OHE=PE；
②根据题意得出H是在以BC为弦，圆周角的圆上运动，从而得出劣弧 即为H的运动轨迹，利用弧长公式求出的长度，即可得出答案.