湖北省恩施州高中教育联盟2022-2023学年高二下学期期末数学试题（含答案）
文档属性
| 名称 | 湖北省恩施州高中教育联盟2022-2023学年高二下学期期末数学试题（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.2MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-07-17 18:15:11 | ||
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文档简介
恩施州高中教育联盟2023年春季学期高二年级期末考试
数学
考试满分：150分考试用时：120分钟
祝考试顺利
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名 准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一 单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分）
1.已知集合，则（ ）
A. B.
C. D.或
2.设复数满足，则（ ）
A. B. C. D.
3.已知向量，若向量满足，则（ ）
A. B. C. D.
4.若两条直线与圆的四个交点能构成正方形，则（ ）
A. B. C. D.4
5.在三角形中，已知角，则的最大值是（ ）
A.1 B. C. D.
6.若，则（ ）
A.42 B.1092 C.1086 D.6
7.法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆.我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆的蒙日圆方程为，现有椭圆的蒙日圆上一个动点，过点作椭圆的两条切线，与该蒙日圆分别交于两点，若面积的最大值为28，则椭圆的长轴长为（ ）
A.5 B.8 C.4 D.10
8.若函数与函数的图象存在公切线，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二 多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分，全部选对得5分，部分选对但无错误选项的得2分，有错误选项的得0分）
9.构建德智体美劳全面培养的教育体系是我国教育一直以来努力的方向.某中学积极响应党的号召，开展各项有益于德智体美劳全面发展的活动，如图所示的是该校高一（1） （2）班两个班级在某次活动中的德智体美劳的评价得分对照图（得分越高，说明该项教育越好），则（ ）
A.高一（2）班五项评价得分的极差为1
B.除体育外，高一（1）班的各项评价得分均高于高一（2）班对应的得分
C.高一（1）班五项评价得分的平均数比高一（2）班五项评价得分的平均数要高
D.各项评价得分中，这两个班的体育得分相差最大
10.如图，四棱锥的底面为梯形，底面为棱的中点，则（ ）
A.与平面所成的角为
B.
C.平面
D.三棱锥的体积为
11.已知函数，则关于零点叙述不正确的是（ ）
A.函数必有一个零点是正数
B.当时，函数有两个零点
C.当时，函数有两个零点
D.当时，函数只有一个零点
12.如果函数满足：对任意的是一个三角形的三边长，且都存在时，也是某个三角形的三边长.那么就称具有“性质”，则（ ）
A.具有“性质”
B.不具有“性质”
C.当具有“性质”时，的最小值为2
D.当具有“性质”时，
三 填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13.2023年9月第19届亚运会将在杭州举办，在杭州亚运会三馆（杭州奥体中心的体育馆 游泳馆和综合训练馆）对外免费开放预约期间将4名志愿者分配到这三馆负责接待工作，每个场馆至少分配1名志愿者，则共有__________种分配方案.
14.在四面体ABCD中，，AB与CD所在的直线间的距离为3，且AB与CD所成的角为，则四面体ABCD的体积为__________.
15.从某个角度观察篮球（如图1），可以得到一个对称的平面图形，如图2所示，篮球的外轮形状为圆O，将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线的一部分，若坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆的周长八等分，且，视AD所在直线为x轴，则双曲线的标准方程为__________.
16.已知，则的大小关系为__________.（从小到大）
四 解答题（本题共6小题，共70分，各题应有必要的文字叙述及推理演算过程）
17.（满分10分）在中，角的对边分别为.
（1）若，求；
（2）若，点在边上，且平分，求的面积.
18.（满分12分）已知数列满足，且.
（1）证明是等比数列，并求的通项公式；
（2）记数列满足数列的前项和.
19.（满分12分）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，分别是的中点.
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值.
20.（满分12分）1月11日，国台办举行了2023年首场新闻发布会，在回应两岸媒体关注的近期解放军军机在台海演训活动为何如此频繁时，发言人马晓光表示，凡事有因必有果，人民解放军的演练是对台美勾连挑衅升级，破坏台海和平稳定的严正警告，大陆阻止台美军事勾连挑衅升级，为的是维护两岸同胞的共同利益，维护台海和平稳定，维护台湾同胞和平安宁的生活.在某次台海演习中，解放军派出一架轰-6轰炸机迂回对一目标舰艇进行三次投弹攻击，已知轰炸机每次攻击时击中舰艇的概率都为，各次攻击彼此独立，舰艇被轰炸机击中一次而击沉的概率为，被轰炸机击中两次而击沉的概率为是，若三次都击中，舰艇必定被击沉.
（1）求目标舰艇被我军轰炸机击中次数的分布列及期望，方差；
（2）求目标舰艇被击沉的概率；
（3）当目标舰艇被击沉时，求该舰艇被我军轰炸机至少击中两次的概率.
21.（满分12分）已知是抛物线的焦点，过点的直线交抛物线于两点，且.
（1）求抛物线的方程；
（2）若为坐标原点，过点作轴的垂线交直线于点，过点作的直线的垂线与抛物线的另一交点为的中点为，求的取值范围.
22.（满分12分）已知函数.
（1）是的导函数，求的最小值；
（2）证明：对任意正整数，都有（其中为自然对数的底数）.
恩施州高中教育联盟2023年春季学期高二年级期末考试
数学参考答案
一 单选题
1~8CABBCCBA
7.B
椭圆的蒙日圆的半径为.
因为，所以为蒙日圆的直径，
所以，所以.
因为，当时，等号成立，所以面积的最大值为.
由面积的最大值为28，得，得，故椭圆的长轴长为8.故选B.
8.A
由函数，可得，
因为，设切点为，则，
则公切线方程为，即，
与联立可得，
所以，整理可得，
又由可得，解得.
令，其中，可得.
令，可得，则函数在上单调递增，且，
当时，，即，此时函数单调递减，
当时，，即，此时函数单调递增，
所以，且当时，，所以函数的值域为，所以且，解得，即实数的取值范围为.故选A.
二 多选题
9.AC
对于，高一（2）班德智体美劳各项得分依次为9.5，9，9.5，9，8.5，
所以极差为，A正确；
对于B，两班的德育分相等，B错误；
对于，高一（1）班评价得分的平均数为，
（2）班评价得分的平均数为，故C正确；
对于，两班的体育分相差，
而两班的劳育分相差9.25-8.5=0.75，D错误.故选AC.
10.CD
11.BCD
，在同一坐标系中作出与的图像，
可观察出
当时，函数有一个零点，
当时，函数有一个零点，
当时，函数有两个零点，
函数必有一个零点是正数，B，C，D选项错误.故选BCD.
12.ABC
对于选项，对于在上单调递增的函数具有“性质”等价于对任意满足0且的实数，均有，
而，因此具有“性质”.
取，则，于是不具有“性质”.
对于选项，显然.
当且时，有知，
从而有.
而当时，取且，则，不符合题意.
因此的最小值为2.
对于选项D，若，则可以取，
但不能构成三角形，因此.
下面证明当时，具有“性质”.
若且能构成三角形，不妨设.
当时，，
同理，，所以能构成三角形.
当时，此时，
故，
所以，同理可得，
又，
若，则，
若，则，所以，
所以，而，
所以，
所以能构成三角形.
因此命题得证，从而可以取得，命题D错误.故选ABC.
三 填空题
13.36
14.
如图所示，把三棱锥补成一个平行六面体，
其中为异面直线的公垂线，即且
，
在平行六面体中，可得，所以，
又因为且平面，
所以平面，
又平面，所以点到平面的距离，因为且异面直线与所成的角为，所以与所成的角为.
又因为，
所以，即四面体的体积为.故答案为.
15.
设所求双曲线的方程为，如图，因为，
所以易知，
又坐标轴和双曲线与圆的交点将圆的周长八等分点，所以
在双曲线上，得到，整理得到，
故所求曲线方程为.
故答案为.
16.
，
令，可得，所以单调递减，
所以，即，令，可得，所以单调递增，所以，即，
又由，可知，即，所以，所以.
故答案为.
四 解答题
17.（1）（2）
解：（1）因为，所以，
又，所以，
又，所以，
则.
（2）由（1）知，则，
由，得，
即，
则，即，解得，
所以的面积.
18.（1）证明见解析，（2）
（1）证明：变形得，
又，所以，故是首项为3，公比为3的等比数列.
从而，即.
（2）解：由（1）知故数列的奇数项是以1为首项，4为公差的等差数列，偶数项是以9为首项，9为公比的等比数列，
所以.
19.（1）证明见解析（2）
（1）证明：由题意，在矩形中，，
分别是的中点，
.
在四棱锥中，平面平面，
平面平面平面，
平面，
取的中点，连接，由几何知识得，
，
平面平面，
平面.
以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示，
，
，平面的一个法向量为，
，
平面.
（2）解：由题意及（1）的图得，
在平面中，，
设其法向量为，
则即解得
当时，，
平面的一个法向量为，设二面角为，
，
由图象可知二面角为钝角，二面角的余弦值为.
20.（1）分布列见解析，（2）（3）
解：（1）由题知，击中次数.所以；.得分布列如下：
0 1 2 3
由二项分布的期望和方差公式可得，
.
（2）记击中次为事件，
舰艇被击沉为事件，则，，即目标舰艇被击沉的概率为.
（3）根据（2）中数据，可得，即当目标舰艇被击沉时，该舰艇被我军轰炸机至少击中两次的概率为.
21.（1）（2）
解：（1）抛物线的焦点为，
若直线与轴重合，则直线与抛物线只有一个公共点，不符合题意.
设直线的方程为，设点，
联立可得，
由韦达定理可得，
，解得，
所以抛物线的方程为.
（2）设点，则，由（1）可得
，
又因为直线的方程为，
将代入直线的方程可得，可得，即
点，
所以，因为，则，
所以直线的方程为，
联立可得，则，
故，则，
由的中点为，可得，
故三点共线，则.
又由，知，
所以.故的取值范围为.
22.（1）0（2）证明见解析.
（1）解：由题意，，
，令，解得，
又当时，，当时，，
所以在上单调递减，在单调递增，
所以，即的最小值为0.
（2）证明：由（1）得，，
可知，当且仅当时，等号成立，
令，则.
所以
，
即，
也即，
所以，
故对任意正整数，都有.
数学
考试满分：150分考试用时：120分钟
祝考试顺利
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名 准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一 单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分）
1.已知集合，则（ ）
A. B.
C. D.或
2.设复数满足，则（ ）
A. B. C. D.
3.已知向量，若向量满足，则（ ）
A. B. C. D.
4.若两条直线与圆的四个交点能构成正方形，则（ ）
A. B. C. D.4
5.在三角形中，已知角，则的最大值是（ ）
A.1 B. C. D.
6.若，则（ ）
A.42 B.1092 C.1086 D.6
7.法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆.我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆的蒙日圆方程为，现有椭圆的蒙日圆上一个动点，过点作椭圆的两条切线，与该蒙日圆分别交于两点，若面积的最大值为28，则椭圆的长轴长为（ ）
A.5 B.8 C.4 D.10
8.若函数与函数的图象存在公切线，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二 多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分，全部选对得5分，部分选对但无错误选项的得2分，有错误选项的得0分）
9.构建德智体美劳全面培养的教育体系是我国教育一直以来努力的方向.某中学积极响应党的号召，开展各项有益于德智体美劳全面发展的活动，如图所示的是该校高一（1） （2）班两个班级在某次活动中的德智体美劳的评价得分对照图（得分越高，说明该项教育越好），则（ ）
A.高一（2）班五项评价得分的极差为1
B.除体育外，高一（1）班的各项评价得分均高于高一（2）班对应的得分
C.高一（1）班五项评价得分的平均数比高一（2）班五项评价得分的平均数要高
D.各项评价得分中，这两个班的体育得分相差最大
10.如图，四棱锥的底面为梯形，底面为棱的中点，则（ ）
A.与平面所成的角为
B.
C.平面
D.三棱锥的体积为
11.已知函数，则关于零点叙述不正确的是（ ）
A.函数必有一个零点是正数
B.当时，函数有两个零点
C.当时，函数有两个零点
D.当时，函数只有一个零点
12.如果函数满足：对任意的是一个三角形的三边长，且都存在时，也是某个三角形的三边长.那么就称具有“性质”，则（ ）
A.具有“性质”
B.不具有“性质”
C.当具有“性质”时，的最小值为2
D.当具有“性质”时，
三 填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13.2023年9月第19届亚运会将在杭州举办，在杭州亚运会三馆（杭州奥体中心的体育馆 游泳馆和综合训练馆）对外免费开放预约期间将4名志愿者分配到这三馆负责接待工作，每个场馆至少分配1名志愿者，则共有__________种分配方案.
14.在四面体ABCD中，，AB与CD所在的直线间的距离为3，且AB与CD所成的角为，则四面体ABCD的体积为__________.
15.从某个角度观察篮球（如图1），可以得到一个对称的平面图形，如图2所示，篮球的外轮形状为圆O，将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线的一部分，若坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆的周长八等分，且，视AD所在直线为x轴，则双曲线的标准方程为__________.
16.已知，则的大小关系为__________.（从小到大）
四 解答题（本题共6小题，共70分，各题应有必要的文字叙述及推理演算过程）
17.（满分10分）在中，角的对边分别为.
（1）若，求；
（2）若，点在边上，且平分，求的面积.
18.（满分12分）已知数列满足，且.
（1）证明是等比数列，并求的通项公式；
（2）记数列满足数列的前项和.
19.（满分12分）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，分别是的中点.
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值.
20.（满分12分）1月11日，国台办举行了2023年首场新闻发布会，在回应两岸媒体关注的近期解放军军机在台海演训活动为何如此频繁时，发言人马晓光表示，凡事有因必有果，人民解放军的演练是对台美勾连挑衅升级，破坏台海和平稳定的严正警告，大陆阻止台美军事勾连挑衅升级，为的是维护两岸同胞的共同利益，维护台海和平稳定，维护台湾同胞和平安宁的生活.在某次台海演习中，解放军派出一架轰-6轰炸机迂回对一目标舰艇进行三次投弹攻击，已知轰炸机每次攻击时击中舰艇的概率都为，各次攻击彼此独立，舰艇被轰炸机击中一次而击沉的概率为，被轰炸机击中两次而击沉的概率为是，若三次都击中，舰艇必定被击沉.
（1）求目标舰艇被我军轰炸机击中次数的分布列及期望，方差；
（2）求目标舰艇被击沉的概率；
（3）当目标舰艇被击沉时，求该舰艇被我军轰炸机至少击中两次的概率.
21.（满分12分）已知是抛物线的焦点，过点的直线交抛物线于两点，且.
（1）求抛物线的方程；
（2）若为坐标原点，过点作轴的垂线交直线于点，过点作的直线的垂线与抛物线的另一交点为的中点为，求的取值范围.
22.（满分12分）已知函数.
（1）是的导函数，求的最小值；
（2）证明：对任意正整数，都有（其中为自然对数的底数）.
恩施州高中教育联盟2023年春季学期高二年级期末考试
数学参考答案
一 单选题
1~8CABBCCBA
7.B
椭圆的蒙日圆的半径为.
因为，所以为蒙日圆的直径，
所以，所以.
因为，当时，等号成立，所以面积的最大值为.
由面积的最大值为28，得，得，故椭圆的长轴长为8.故选B.
8.A
由函数，可得，
因为，设切点为，则，
则公切线方程为，即，
与联立可得，
所以，整理可得，
又由可得，解得.
令，其中，可得.
令，可得，则函数在上单调递增，且，
当时，，即，此时函数单调递减，
当时，，即，此时函数单调递增，
所以，且当时，，所以函数的值域为，所以且，解得，即实数的取值范围为.故选A.
二 多选题
9.AC
对于，高一（2）班德智体美劳各项得分依次为9.5，9，9.5，9，8.5，
所以极差为，A正确；
对于B，两班的德育分相等，B错误；
对于，高一（1）班评价得分的平均数为，
（2）班评价得分的平均数为，故C正确；
对于，两班的体育分相差，
而两班的劳育分相差9.25-8.5=0.75，D错误.故选AC.
10.CD
11.BCD
，在同一坐标系中作出与的图像，
可观察出
当时，函数有一个零点，
当时，函数有一个零点，
当时，函数有两个零点，
函数必有一个零点是正数，B，C，D选项错误.故选BCD.
12.ABC
对于选项，对于在上单调递增的函数具有“性质”等价于对任意满足0且的实数，均有，
而，因此具有“性质”.
取，则，于是不具有“性质”.
对于选项，显然.
当且时，有知，
从而有.
而当时，取且，则，不符合题意.
因此的最小值为2.
对于选项D，若，则可以取，
但不能构成三角形，因此.
下面证明当时，具有“性质”.
若且能构成三角形，不妨设.
当时，，
同理，，所以能构成三角形.
当时，此时，
故，
所以，同理可得，
又，
若，则，
若，则，所以，
所以，而，
所以，
所以能构成三角形.
因此命题得证，从而可以取得，命题D错误.故选ABC.
三 填空题
13.36
14.
如图所示，把三棱锥补成一个平行六面体，
其中为异面直线的公垂线，即且
，
在平行六面体中，可得，所以，
又因为且平面，
所以平面，
又平面，所以点到平面的距离，因为且异面直线与所成的角为，所以与所成的角为.
又因为，
所以，即四面体的体积为.故答案为.
15.
设所求双曲线的方程为，如图，因为，
所以易知，
又坐标轴和双曲线与圆的交点将圆的周长八等分点，所以
在双曲线上，得到，整理得到，
故所求曲线方程为.
故答案为.
16.
，
令，可得，所以单调递减，
所以，即，令，可得，所以单调递增，所以，即，
又由，可知，即，所以，所以.
故答案为.
四 解答题
17.（1）（2）
解：（1）因为，所以，
又，所以，
又，所以，
则.
（2）由（1）知，则，
由，得，
即，
则，即，解得，
所以的面积.
18.（1）证明见解析，（2）
（1）证明：变形得，
又，所以，故是首项为3，公比为3的等比数列.
从而，即.
（2）解：由（1）知故数列的奇数项是以1为首项，4为公差的等差数列，偶数项是以9为首项，9为公比的等比数列，
所以.
19.（1）证明见解析（2）
（1）证明：由题意，在矩形中，，
分别是的中点，
.
在四棱锥中，平面平面，
平面平面平面，
平面，
取的中点，连接，由几何知识得，
，
平面平面，
平面.
以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示，
，
，平面的一个法向量为，
，
平面.
（2）解：由题意及（1）的图得，
在平面中，，
设其法向量为，
则即解得
当时，，
平面的一个法向量为，设二面角为，
，
由图象可知二面角为钝角，二面角的余弦值为.
20.（1）分布列见解析，（2）（3）
解：（1）由题知，击中次数.所以；.得分布列如下：
0 1 2 3
由二项分布的期望和方差公式可得，
.
（2）记击中次为事件，
舰艇被击沉为事件，则，，即目标舰艇被击沉的概率为.
（3）根据（2）中数据，可得，即当目标舰艇被击沉时，该舰艇被我军轰炸机至少击中两次的概率为.
21.（1）（2）
解：（1）抛物线的焦点为，
若直线与轴重合，则直线与抛物线只有一个公共点，不符合题意.
设直线的方程为，设点，
联立可得，
由韦达定理可得，
，解得，
所以抛物线的方程为.
（2）设点，则，由（1）可得
，
又因为直线的方程为，
将代入直线的方程可得，可得，即
点，
所以，因为，则，
所以直线的方程为，
联立可得，则，
故，则，
由的中点为，可得，
故三点共线，则.
又由，知，
所以.故的取值范围为.
22.（1）0（2）证明见解析.
（1）解：由题意，，
，令，解得，
又当时，，当时，，
所以在上单调递减，在单调递增，
所以，即的最小值为0.
（2）证明：由（1）得，，
可知，当且仅当时，等号成立，
令，则.
所以
，
即，
也即，
所以，
故对任意正整数，都有.
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