安徽省六安市重点中学2022-2023学年高二下学期期末考试数学试题（Word版含答案）

六安市重点中学2022-2023学年高二下学期期末考试
数学试卷
时间：120分钟 满分：150分
一、单项选择题：本大题8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．若x，y，z为非零实数，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知函数（且）的图象恒过定点P，点P在幂函数的图象上，则（ ）
A．-2 B．2 C．1 D．-1
4．已知函数，，则图象为如图的函数可能是（ ）
A． B． C． D．
5．用模型拟合一组数，若，，设，得变换后的线性回归方程为，则（ ）
A．12 B． C． D．7
6．已知函数是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，组对任意实数x都有，则的值是（ ）
A．0 B． C．1 D．
7．2023年1月底，人工智能研究公司OpenAI发布的名为“ChatGPT”的人工智能聊天程序进入中国，迅速以其极高的智能化水平引起国内关注．深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的，在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中L表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，D表示衰减系数，G表示训练迭代轮数，表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.8，衰减速度为12，且当训练迭代轮数为12时，学习率衰减为0.5．则学习率衰减到0.2以下（不含0.2）所需的训练迭代轮数至少为（ ）（参考数据：）
A．36 B．37 C．38 D．39
8．已知，分别为定义在R上的函数和的导函数，且，，若是奇函数，则下列结论不正确的是（ ）
A．函数的图象关于点对称 B．函数的图象关于直线对称
C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分
9．已知正实数a、b满足，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
11．已知，，，若，则n的可能值为（ ）
A．6 B．8 C．11 D．13
12．已知，方程，在区间的根分别为a，b，以下结论正确的有（ ）
A． B． C． D．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13．函数的单调递减区间为________．
14．某班从5名男同学和4名女同学中选取4人参加学校的“辩论大赛”，要求男、女生都有，则不同的选法共有________种．
15．若，x，，则的最小值为________．
16．已知，设函数，若关于x的不等式在上恒成立，则a的取值范围为________．
四．解答题：本小题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）
已知集合，，．
（1）若是“”的充分条件，求实数a的取值范围．
（2）若，求实数a的取值范围．
18．（本小题满分12分）
已知函数是定义在上的奇函数，且．
（1）求函数的解析式，判断在上的单调性并证明；
（2）解不等式．
19．（本小题满分12分）
某中学对50名学生的“学习兴趣”和“主动预习”情况进行长期调查，得到统计数据如下表所示：
主动预习 不太主动预习 合计
学习兴趣高 18 7 25
学习兴趣一般 6 19 25
合计 24 26 50
（1）现从“学习兴趣一般”的25个学生中，任取2人，若X表示其中“会主动预习”的学生的人数，求X的分布列与数学期望；
（2）依据小概率值的独立性检验，分析“学习兴趣”是否与“主动预习”有关．
参考数据、附表及公式：，．
0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
20．（本小题满分12分）
已知函数与的图象关于直线对称．
（1）若函数是偶函数，求实数m的值；
（2）若关于的方程有实数解，求实数k的取值范围．
21．（本小题满分12分）
已知函数，其中．
（1）讨论的单调性；
（2）若，，求实数a的取值范围．
22．（本小题满分12分）
最新研发的某产品每次试验结果为成功或不成功，且试验成功的概率为p（），现对该产品进行独立重复试验，若试验成功，则试验结束；若试验不成功，则继续试验，且最多试验10次．记X为试验结束时所进行的试验次数．
（1）写出X的分布列；
（2）证明：．
六安市重点中学2022-2023学年高二下学期期末考试
数学试卷参考答案
1．D ，而，故，故选：D．
2．A 解：因为，，所以，故充分；当，，时，满足，但不满足．故不必要，故选：A．
3．B 函数中，令，解得，此时，所以函数y的图象恒过定点，又点P在幂函数的图象上，所以，解得，所以，．故选：B．
4．A 对于B，，该函数定义域为R，但是，所以该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除B；
对于C当时，，函数在处无意义，故函数不过原点，与函数图象不符，排除C．对于D，，该函数定义域为R，但是，所以该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除D；故选：A．
5．B
由已知，，所以，，，所以，
由题意，满足线性回归方程为，所以，所以，此时线性回归方程为，即，可将此式子化为指数形式，即为，因为模型为模型，所以，，所以．
6．A
因为，是定义在实数集R上的偶函数，
令，得，则，
令，得，则，
令，得，又，则，
令，得，又，故．所以．故选：A．
7．A 由已知，得，所以，则有，即，即，即，因此G至少为36．故选：A．
8．C
因为，，所以，所以，所以函数为奇函数，所以函数的图象关于点对称，所以关于对称，又，所以函数的图象关于点对称，A正确；
因为函数的图象关于点对称，所以的图象关于原点对称，
所以，所以，所以函数为偶函数，其图象关于y轴对称，所以函数的图象关于直线对称，B正确；
因为是奇函数，所以，所以，即
又，所以，
所以函数为周期函数，周期为4，所以，
又，所以，
所以，故，D正确；设，则，
，满足所给条件，但，所以C错误．
9．AD
因为正实数a、b满足，对于A选项，，当且仅当时，等号成立，A对；对于B选项，因为，则，当且仅当时，等号成立，B错；对于C选项，当，时，，C错；对于D选项，，当且仅当时，等号成立，D对．
10．BCD
B选项：，∴，对；C选项：，C对；
A选项：由全概率公式得：
，∴，∴，A错；D选项：，D对，故选：BCD
11．BC
依题意，，所以，依题意，，其中，2，3，…，，化简得，继续化简得，即，，依题意，，所以，解得
12．ABD
已知两方程化为，，所以a，b分别是函数和的图象与函数的图象交点的横坐标，易知和的图象关于直线对称，而函数的图象可以看作是由的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到的，因此的图象也关于直线对称，所以点与关于直线对称，，，，A正确；
又，所以，，从而，B正确；，当且仅当即时取等号，由于，而，因此，等号不成立，即，C错误，，设，则，，，所以，所以，时，是减函数，所以由得，所以，D正确．故选ABD．
13．
由题意得：，令，
即函数的单调递减区间为．故答案为：
14．120
从9名同学中选取4人，有种不同的选法，其中全为男生，全为女生的情况分别有种，种，所以男、女生都有的不同的选法共有（种）．故答案为：120．
15．或
16． （1）当时，，过定点，对称轴为，
当时，，解得：，所以．
当时，在单调递减，且，所以；
所以在恒成立，可得．
（2）当时，恒成立，即恒成立，
令，则，当时，，所以在单调递增，
当时，，所以在单调递减，所以．
综合（1）（2）可得：．
17．（1）（2）
（1）因为，所以．因为是的充分条件，
所以，解得，∴．
（2）因为，，所以，解得．故a的取值范围为．
18．（1），，增函数；证明见解析（2）
（1）函数是定义在上的奇函数，，解得：，∴，而，解得，∴，．
函数在上为增函数；证明如下：任意，且，
则因为，所以，又因为，，所以，所以，即，所以函数在上为增函数．
（2）由题意，不等式可化为，
即解不等式，所以，
所以，解得所以该不等式的解集为
19．（1）分布列见解析，（2）“学习兴趣”与“主动预习”有关
（1），
，，，
随机变量X的分布列为：
X 0 1 2
P
所以，X的数学期望是．
（2）提出零假设：假设“学习兴趣”与“主动预习”无关．
，
因此在犯错率小于0.001的条件下，认为“学习兴趣”与“主动预习”有关．
20．（1）（2）
（1）∵与的图象关于直线对称，∴，
∴；
∵的定义域为R，且为偶函数，∴，
∴，∴，解得：．
（2），，
由得：；由得：；
∴，即在R上有解；
当时，，解得：，满足题意；当且时，，解得：或；综上所述：实数k的取值范围为．
21．（1）答案见解析 （2）
（1）函数定义域为R，，令，则，当，即时，，所以在定义域R上单调递增；当，即时恒成立，所以在定义域上单调递增，
令，则，即，
当，即，此时恒成立，所以在R上单调递增，
当，即时恒成立，所以在定义域上单调递减，
令，则，即，解得，
所以当时，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
综上可得：当时在R上单调递增；当时在R上单调递增；当时在上单调递减，在上单调递增．
（2）当时，即，即，
令，，则，所以在上单调递减，则，所以，则，令，，则，
因为，所以当时，当时，即在上单调递增，在上单调递减，所以，所以，即．
22．（1）分布列见解析（2）证明见解析
（1）当时，，，2，…，9；当时，；
∴X的分布列为：
X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
P p
（2）；
令，则，
∵，
，
∴，
∴；
又，∴，∴．