2022-2023学年天津市和平区高二（下）期末数学试卷（Word含解析）

2022-2023学年天津市和平区高二（下）期末数学试卷
一、单选题（本大题共9小题，共27.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知全集，集合，集合，则集合( )
A. B. C. D.
2. 已知为非零实数，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 设某中学的女生体重单位：与身高单位：具有线性相关关系，根据一组样本数据，用最小二乘法建立的回归方程为，则下列结论中不正确的是( )
A. 与具有正线性相关关系
B. 回归直线过样本点的中心
C. 若该中学某女生身高为，则可断定其体重必为
D. 若该中学某女生身高增加，则其体重约增加
4. 为考察一种新药预防疾病的效果，某科研小组进行动物实验，收集整理数据后将所得结果填入相应的列联表中．由列联表中的数据计算得参照附表，下列结论正确的是( )
A. 在犯错误的概率不超过的前提下，认为“药物有效”
B. 在犯错误的概率不超过的前提下，认为“药物无效”
C. 有以上的把握认为“药物有效”
D. 有以上的把握认为“药物无效”
5. 函数的大致图像为( )
A. B.
C. D.
6. 已知，，，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
7. 五一国际劳动节，学校团委举办“我劳动，我快乐”的演讲比赛某班有甲、乙、丙等名同学参加，抽签确定出场顺序，在“学生甲必须在学生乙的前面出场”的条件下，学生甲、乙相邻出场的概率为( )
A. B. C. D.
8. 若函数在上存在单调递减区间，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
9. 已知函数，若恰有两个零点，则的取值范围为( )
A. B.
C. D.
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
10. 已知是函数的导函数，若，则 ______ ．
11. 设随机变量服从正态分布，若，则 ______ ．
12. 若随机变量，，则 ______ ．
13. 二项式展开式中的常数项是______ ．
14. 已知，则的最小值是______ ．
15. 用数字，，，，，，组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有______ 个用数字作答
三、解答题（本大题共5小题，共60.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. 本小题分
化简求值：
；
．
17. 本小题分
宿州号称“中国云都”，拥有华东最大的云计算数据中心、动画集群渲染基地，是继北京、上海、合肥、济南之后的全国第家量子通信节点城市为了统计智算中心的算力，先从全市个大型机房和个小型机房中随机抽取若干机房进行算力分析，若一次抽取个机房，全是小型机房的概率为．
求的值；
若一次抽取个机房，假设抽取的小型机房的个数为，求的分布列和数学期望．
18. 本小题分
已知函数在点处的切线斜率为，且在处取得极大值．
求函数的解析式；
求函数在上的最大值和最小值，以及相应的值．
19. 本小题分
函数是定义在上的奇函数，且．
确定的解析式；
判断在上的单调性，并证明你的结论；
解关于的不等式．
20. 本小题分
已知函数；
当时，求曲线在点处的切线方程；
讨论的单调性；
证明：当，且时，．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：因为，
，
又因为，
所以，
所以．
故选：．
求出集合、，利用并集和补集的定义可求得集合．
本题主要考查了集合的基本运算，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：由，即，即，
解得或，
所以由可以推出，故充分性成立，
由推不出，故必要性不成立，
所以“”是“”的充分不必要条件．
故选：．
首先解分式不等式，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可．
本题主要考查了充分条件和必要条件的定义，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：因为回归直线方程为，所以与具有正线性相关关系，故A正确；
又回归直线必过样本点的中心，故B正确；
当时，
即若该中学某女生身高为，则其体重约为，故C错误；
因为回归直线方程为，所以若该中学某女生身高增加，
则其体重约增加，故D正确．
故选：．
根据回归直线方程一一判断即可．
本题主要考查线性回归方程的应用，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：，
则在犯错误的概率不超过的前提下，认为“药物有效”．
故选：．
根据已知条件，结合独立性检验的定义，即可求解．
本题主要考查独立性检验的定义，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：函数的定义域为，，
即为奇函数，图象关于原点对称，排除；
当时，，，即，当时，，，即，排除；
而当时，，函数在上单调递减，趋近于，排除，选项B符合题意．
故选：．
求出函数的定义域，由函数的奇偶性及在部分区间上函数值的正负、变化情况判断作答．
本题主要考查了函数图象的变换，考查了函数的奇偶性，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：因为，又，在上单调递减，
所以，
所以．
故选：．
根据幂函数与对数函数的性质判断即可．
本题主要考查了幂函数及对数函数单调性在函数值大小比较中的应用，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：设“学生甲、乙相邻出场”为事件，“学生甲必须在学生乙的前面出场”为事件，
依题意共有种情况，学生甲必须在学生乙的前面出场的情况有种，
所以，
甲乙同学按出场顺序一定，且相邻出场的情况共有种，
所以，
则．
故选：．
设“学生甲、乙相邻出场”为事件，“学生甲必须在学生乙的前面出场”为事件，根据倍缩法求出学生甲必须在学生乙的前面出场的种数，得出，再根据捆绑法求出学生甲必须在学生乙的前面出场且甲、乙相邻出场的种数，求出，根据条件概率公式计算即可．
本题主要考查条件概率公式，属于基础题．
8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查利用导数由函数的单调性求参，属于基础题．
根据题意，可得存在，，即存在，，令，，只需，进而可得答案．
【解答】
解：因为函数在上存在单调递减区间，
所以存在，，
即存在，，
令，，
则由题意可知，只需，
而，
因为，所以，
所以此时，
所以，
所以的取值范围是，
故选：．

9.【答案】
【解析】解：恰有两个零点，即恰有两个实数根，由于，
所以恰有两个实数根等价于恰有两个实数根，
令，则，
当时，，故当，，此时单调递增，
当，，此时单调递减，故当时，取极小值也是最小值，
且当时，，，
当时，，且单调递增，
在直角坐标系中画出的大致图象如图：
要使有两个交点，则，
故选：．
将问题转化为恰有两个实数根，求导确定函数的单调性，进而画出函数的图象，结合函数图象即可确定的取值．
本题主要考查函数的零点与方程根的关系，考查数形结合思想与运算求解能力，属于中档题．
10.【答案】
【解析】解：由题得
令得，
，
所以．
故答案为：．
先求出导函数，再求的值，最后求的值．
本题主要考查导数的运算，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：因为且，
所以，
所以．
故答案为：．
根据正态分布的性质计算可得．
本题主要考查正态分布的对称性，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：因为随机变量，
所以，解得，
所以．
故答案为：．
根据二项分布的期望公式求出，再根据二项分布的方差公式即可得解．
本题主要考查二项分布的期望与方差公式，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：二项式展开式的通项，
令，可得，
二项式展开式中的常数项是．
故答案为：．
求出二项式展开式的通项，令的系数为，即可求出二项式展开式中的常数项．
本题考查二项式定理的应用，考查分析与运算能力，属于中档题．
14.【答案】
【解析】解：，
且，
，
当且仅当，即，时取等号，
的最小值为．
故答案为：．
依题意可得，代入利用基本不等式计算可得．
本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：根据题意，分成两类情况：
四位数中没有偶数，即在，，，中任选个，共有种，
四位数中只有一个偶数，即在，，，中任选个，在，，，种选一个，共有种，
故共有．
故答案为：．
根据题意，分成两类情况：四位数中没有偶数，即在，，，中任选个，四位数中只有一个偶数，即在，，，中任选个，在，，，种选一个，然后结合排列组合即可求解．
本题主要考查了分类与分步计数原理，还考查了排列组合知识的应用，属于基础题．
16.【答案】解：
；
．
【解析】根据指数幂的运算法则计算可得；
根据指数对数恒等式及对数的运算法则计算可得．
本题主要考查了有理数指数幂的运算性质，以及对数的运算性质，属于基础题．
17.【答案】解：设为“一次抽取个机房，全是小型机房”，则，
故或舍．
可取，，，，
，，，
，
故的分布列如下：
故．
【解析】利用古典概型的概率公式可得关于的方程，求出其解可得的值．
利用超几何分布可求的分布列和数学期望．
本题主要考查离散型随机变量期望的求解，考查转化能力，属于中档题．
18.【答案】解：因为，所以，
依题意，即，解得，
所以，经检验符合题意．
由可得，，
则，
所以当或时，
当时，
所以在，上单调递增，在上单调递减，
所以在处取得极大值，在处取得极小值，
又，，，，
所以当或时，当时．
【解析】求出函数的导函数，依题意可得，即可得到方程组，解得即可；
求出函数的导函数，即可得到函数的单调性，从而求出函数的极值，再计算区间端点的函数值，即可得解．
本题主要考查导数研究函数的最值，考查转化能力，属于中档题．
19.【答案】解：因为是定义在上的奇函数，且，
所以，，
所以，，；
在上的单调递增，
理由如下：设，
则，
所以，
所以在上的单调递增；
由得，
故，
解得，
故的取值范围为．
【解析】由已知结合奇函数的性质及代入即可求解，，进而可求函数解析式；
结合函数的单调性的定义即可判断；
结合函数的单调性及奇偶性即可求解．
本题主要考查了函数解析式的求解，还考查了函数单调性的判断及利用单调性求解不等式，属于中档题．
20.【答案】解：当时，则，，所以，
所以切线方程为．
因为的定义域为，
则，
当，即时，恒成立，所以在上单调递增，
当，即时，当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减；
当时，恒成立，所以在上单调递增，
当时，当时，，当时，
所以在上单调递增，在上单调递减；
综上可得：当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增，在上单调递减；
证明：要证，即证，
即证，
即证，
令，，则，
所以在区间单调递增，所以当时，，
即当时，．
令，，则在时恒成立，
所以当，且时，单调递增，
因为时，，，且，
所以当，且时，，即．
所以当，且时，．
【解析】求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而求出切线方程；
求出函数的定义域与导函数，分、、、四种情况讨论，分别求出函数的单调区间；
根据题意，将问题转化为，然后构造函数，证明其单调性，即可得到证明．
本题主要考查了用导数研究函数的单调性，以及用导数证明不等式问题，解决本题的关键在于构造函数，用其单调性去证明不等式．
第1页，共1页