23.3解直角三角形复习课导学案
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解直角三角形复习课学案
【学习目标】
1、探索直角三角形中锐角三角函数值与三边之间的关系．掌握三角函数定义
2、掌握30°、45°、60°等特殊角的三角函数值，并会进行有关特殊角的三角函数值的计算．
3、能综合运用直角三角形的勾股定理与边角关系解决实际问题，提高数学建模能力．
【重点】合理构造直角三角形、解直角三角形实际应用；
【难点】如何读懂题意对实际应用题进行建立方程解题；
一、生活问题：
（09·滨州）某楼梯侧面视图如图，其中A ( http: / / www.21cnjy.com )B=4m,∠BAC=30°,∠C=90°,因某种活动，要求铺设红色地毯，则在AB段楼梯所铺地毯的长应 。
二、知识点梳理：
3.解直角三角形的依据
（1）由直角三角形中已知 个元素求出另外 个元素的过程叫解直角三角形
三边关系：
（2）直角三角形中的边角关系 两锐角关系：
角与边的关系：sinA=
cosA=
tanA=
4. 锐角三角函数的特殊关系
锐角三角函数的恒正性：锐角三角函数值都是正实数，
即 0＜sinA＜1，0＜cosA＜1．
（2）余角关系：若A+B=90，
则 sinB= ，cosB= ，tanB= ，cotB= ．
（3）平方关系：
（4）、倒数关系：tanA·cotA＝1．或
(5)商式关系：
5、在解直角三角形及应用时经常接触到的一些概念
（1）仰角和俯角 （2）方位角 （3）斜坡的坡度
三、试题归类：
第1类：侧重在网格背景下求三角函数值
1、（08·襄樊）在正方形网格中，点A、B、C、D的位置如图所示，则cosB的值为( )
A、 B、 C、 D、
1题 2题
2、有一个三角形在正方形网格纸中的位置如图， 则sinα=____。
第2类：侧重对特殊锐角的三角函数值灵活把握
当∠A为锐角，且cosA= ,那么（ ）
第3类：侧重以生活常识为背景解直角三角形
（09·滨州）某楼梯侧面视图如图，其中AB ( http: / / www.21cnjy.com )=4m,∠BAC=30°,∠C=90°,因某种活动，要求铺设红色地毯，则在AB段楼梯所铺地毯的长应 。
四、思维训练：
例1、如图，四边形ABCD中，AD⊥CD，AB=13， BC=12，CD=3，AD=4，则sinB=___________，
S四边形ABCD =___________。
例2. 如图,太阳光与地面成60度角,一棵倾斜的大树AB与地面成30度角,这时测得大树在地面上的影长为10m,请你求出大树的高.
例3、外国船只，除特许外，不得进入我国海洋 ( http: / / www.21cnjy.com )100海里以内的区域。如图，设A、B是我们的观察站，A和B之间的距离为160海里，海岸线是过A、B的一条直线。一外国船只在P点，在A点测得∠BAP=45°，同时在B点测得∠ABP=60°，问此时是否要向外国船只发出警告，令其退出我国海域.
五、讨论交流：
1. 如图，在△ABC中，已知AC=6，∠C=75°，∠B=45°，求△ABC的面积。
2、一渔船上的渔民在A处看 ( http: / / www.21cnjy.com )见灯塔在北偏东60°方向，这艘渔船以28海里/时的速度向正东航行，半小时到B处.在B处看见灯塔M在北偏东15°方向，求此时灯塔M与渔船的距离 ？
【自我评价】
本节课满意度： ☆☆☆☆☆ ☆☆☆☆ ☆☆☆
六、中考练兵：
一、选择题（本题共5个小题，每小题只有一个选项符合要求，请将正确答案的标号填在括号中.）
1. （2008年庆阳市）正方形网格中，如图放置，则=（ ）
A. B. C. D.
第3题 第4题
2. （2008年江苏宿迁）已知为锐角，且，则等于（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
3. (2008 山东 聊城)如图，在 ( http: / / www.21cnjy.com )平地上种植树时，要求株距（相邻两树间的水平距离）为4m．如果在坡度为0.5的山坡上种植树，也要求株距为4m，那么相邻两树间的坡面距离约为（ ）
A．4.5m B．4.6m C．6m D．8m
4. (2009年浙江省)如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，
如果∠1=32o，那么∠2的度数是（ ）
A.32o B.58o C.68o D.60o
5. （2008年杭州市）在直角坐标系中，点在第一象限内，且与轴的正半轴的夹角为，则的值是（ ）
A. B. C.8 D.2
二、填空题（本题共3个小题，请将答案填在横线上.）
6.（2009年枣庄）17．如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB于E，DE=6cm， 则菱形ABCD的面积是__________．
7.（茂名市2009年）如图，甲、乙两楼相距20米，甲楼高20米，小明站在距甲楼10米的处目测得点 与甲、乙楼顶刚好在同一直线上，若小明的身高忽略不计，则乙楼的高度是 米．
8.( 浙江省2009年) “赵爽 ( http: / / www.21cnjy.com )弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．如果小正方形的面积为4，大正方形的面积为100，直角三角形中较小的锐角为α，则tanα的值等于 .
9. （2011 甘肃兰州）某水库 ( http: / / www.21cnjy.com )大坝的横截面是梯形，坝内斜坡的坡度i=1：3，坝外斜坡的坡度i=1:1，则两个坡角的和为 .
三、解答题（本题共3个小题，解答应写出必要的问题说明或演算步骤.）
10. （2009张家界）计算：．
11．（2009年辽宁朝阳）一艘小船从码头出发，沿北偏东方向航行，航行一段时间到达小岛处后，又沿着北偏西方向航行了10海里到达处，这时从码头测得小船在码头北偏东的方向上，求此时小船与码头之间的距离（，结果保留整数）．
.
12. （2008遵义）我市某乡镇学校教学楼 ( http: / / www.21cnjy.com )后面靠近一座山坡，坡面上是一块平地，如图所示，BC∥AD，斜坡AB=40米，坡角∠BAD=600，为防夏季因瀑雨引发山体滑坡，保障安全，学校决定对山坡进行改造，经地质人员勘测，当坡角不超过450时，可确保山体不滑坡，改造时保持坡脚A 不动，从坡顶B 沿BC削进到E 处，问BE至少是多少米(结果保留根号)？
正弦：sinA=
余弦：cosA=
正切：tanA=
1锐角三角函数的意义
30° 45° 60°
sinα
cosα
tanα
2.特殊角的三角函数值
2
1
A
B
O
第1题
D
C
B
E
A
第6图
乙
C
B
A
甲
10米
？米
20米
α
B
A
C
53°
23°
22°
北
北
（第11题图）
【学习目标】
1、探索直角三角形中锐角三角函数值与三边之间的关系．掌握三角函数定义
2、掌握30°、45°、60°等特殊角的三角函数值，并会进行有关特殊角的三角函数值的计算．
3、能综合运用直角三角形的勾股定理与边角关系解决实际问题，提高数学建模能力．
【重点】合理构造直角三角形、解直角三角形实际应用；
【难点】如何读懂题意对实际应用题进行建立方程解题；
一、生活问题：
（09·滨州）某楼梯侧面视图如图，其中A ( http: / / www.21cnjy.com )B=4m,∠BAC=30°,∠C=90°,因某种活动，要求铺设红色地毯，则在AB段楼梯所铺地毯的长应 。
二、知识点梳理：
3.解直角三角形的依据
（1）由直角三角形中已知 个元素求出另外 个元素的过程叫解直角三角形
三边关系：
（2）直角三角形中的边角关系 两锐角关系：
角与边的关系：sinA=
cosA=
tanA=
4. 锐角三角函数的特殊关系
锐角三角函数的恒正性：锐角三角函数值都是正实数，
即 0＜sinA＜1，0＜cosA＜1．
（2）余角关系：若A+B=90，
则 sinB= ，cosB= ，tanB= ，cotB= ．
（3）平方关系：
（4）、倒数关系：tanA·cotA＝1．或
(5)商式关系：
5、在解直角三角形及应用时经常接触到的一些概念
（1）仰角和俯角 （2）方位角 （3）斜坡的坡度
三、试题归类：
第1类：侧重在网格背景下求三角函数值
1、（08·襄樊）在正方形网格中，点A、B、C、D的位置如图所示，则cosB的值为( )
A、 B、 C、 D、
1题 2题
2、有一个三角形在正方形网格纸中的位置如图， 则sinα=____。
第2类：侧重对特殊锐角的三角函数值灵活把握
当∠A为锐角，且cosA= ,那么（ ）
第3类：侧重以生活常识为背景解直角三角形
（09·滨州）某楼梯侧面视图如图，其中AB ( http: / / www.21cnjy.com )=4m,∠BAC=30°,∠C=90°,因某种活动，要求铺设红色地毯，则在AB段楼梯所铺地毯的长应 。
四、思维训练：
例1、如图，四边形ABCD中，AD⊥CD，AB=13， BC=12，CD=3，AD=4，则sinB=___________，
S四边形ABCD =___________。
例2. 如图,太阳光与地面成60度角,一棵倾斜的大树AB与地面成30度角,这时测得大树在地面上的影长为10m,请你求出大树的高.
例3、外国船只，除特许外，不得进入我国海洋 ( http: / / www.21cnjy.com )100海里以内的区域。如图，设A、B是我们的观察站，A和B之间的距离为160海里，海岸线是过A、B的一条直线。一外国船只在P点，在A点测得∠BAP=45°，同时在B点测得∠ABP=60°，问此时是否要向外国船只发出警告，令其退出我国海域.
五、讨论交流：
1. 如图，在△ABC中，已知AC=6，∠C=75°，∠B=45°，求△ABC的面积。
2、一渔船上的渔民在A处看 ( http: / / www.21cnjy.com )见灯塔在北偏东60°方向，这艘渔船以28海里/时的速度向正东航行，半小时到B处.在B处看见灯塔M在北偏东15°方向，求此时灯塔M与渔船的距离 ？
【自我评价】
本节课满意度： ☆☆☆☆☆ ☆☆☆☆ ☆☆☆
六、中考练兵：
一、选择题（本题共5个小题，每小题只有一个选项符合要求，请将正确答案的标号填在括号中.）
1. （2008年庆阳市）正方形网格中，如图放置，则=（ ）
A. B. C. D.
第3题 第4题
2. （2008年江苏宿迁）已知为锐角，且，则等于（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
3. (2008 山东 聊城)如图，在 ( http: / / www.21cnjy.com )平地上种植树时，要求株距（相邻两树间的水平距离）为4m．如果在坡度为0.5的山坡上种植树，也要求株距为4m，那么相邻两树间的坡面距离约为（ ）
A．4.5m B．4.6m C．6m D．8m
4. (2009年浙江省)如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，
如果∠1=32o，那么∠2的度数是（ ）
A.32o B.58o C.68o D.60o
5. （2008年杭州市）在直角坐标系中，点在第一象限内，且与轴的正半轴的夹角为，则的值是（ ）
A. B. C.8 D.2
二、填空题（本题共3个小题，请将答案填在横线上.）
6.（2009年枣庄）17．如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB于E，DE=6cm， 则菱形ABCD的面积是__________．
7.（茂名市2009年）如图，甲、乙两楼相距20米，甲楼高20米，小明站在距甲楼10米的处目测得点 与甲、乙楼顶刚好在同一直线上，若小明的身高忽略不计，则乙楼的高度是 米．
8.( 浙江省2009年) “赵爽 ( http: / / www.21cnjy.com )弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．如果小正方形的面积为4，大正方形的面积为100，直角三角形中较小的锐角为α，则tanα的值等于 .
9. （2011 甘肃兰州）某水库 ( http: / / www.21cnjy.com )大坝的横截面是梯形，坝内斜坡的坡度i=1：3，坝外斜坡的坡度i=1:1，则两个坡角的和为 .
三、解答题（本题共3个小题，解答应写出必要的问题说明或演算步骤.）
10. （2009张家界）计算：．
11．（2009年辽宁朝阳）一艘小船从码头出发，沿北偏东方向航行，航行一段时间到达小岛处后，又沿着北偏西方向航行了10海里到达处，这时从码头测得小船在码头北偏东的方向上，求此时小船与码头之间的距离（，结果保留整数）．
.
12. （2008遵义）我市某乡镇学校教学楼 ( http: / / www.21cnjy.com )后面靠近一座山坡，坡面上是一块平地，如图所示，BC∥AD，斜坡AB=40米，坡角∠BAD=600，为防夏季因瀑雨引发山体滑坡，保障安全，学校决定对山坡进行改造，经地质人员勘测，当坡角不超过450时，可确保山体不滑坡，改造时保持坡脚A 不动，从坡顶B 沿BC削进到E 处，问BE至少是多少米(结果保留根号)？
正弦：sinA=
余弦：cosA=
正切：tanA=
1锐角三角函数的意义
30° 45° 60°
sinα
cosα
tanα
2.特殊角的三角函数值
2
1
A
B
O
第1题
D
C
B
E
A
第6图
乙
C
B
A
甲
10米
？米
20米
α
B
A
C
53°
23°
22°
北
北
（第11题图）