高中数学人教A版（2019）高一必修一5.1任意角和弧度制 学案（无答案）

5.1 任意角和弧度制
●任意角
1.角的概念及其表示
角可以看成一条 绕着它的端点 所成的 .如图，
(1)始边：射线的 位置OA；
终边：射线的 位置OB；
顶点：射线的端点O.
(2)记法：图中的角α可记为“角α”或“∠α”或“∠AOB”.
2.任意角：我们把角的概念推广到了任意角，包括正角、负角和零角.
正角：一条射线绕其端点按 方向旋转形成的角
负角：一条射线绕其端点按 方向旋转形成的角
零角：一条射线 做任何旋转形成的角
3.角的相等
如果角α和角β的旋转方向相同且旋转量相等，那么就称 .
4.角的加法
设α，β是任意两个角，把角α的终边旋转角β，这时终边所对应的角是
.
5.相反角：把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角
叫做互为 ，角α的相反角记为 ，α－β＝α＋ .
例题1：如图，射线OA先绕端点O逆时针方向旋转60°到OB处，再按顺时针方向旋转820°至OC处，则β＝ .
变式练习：
1、图①②中从OA旋转到OB，OB1，OB2时所成的角度α，β，γ分别是 ， ， .
6.象限角：
（1）我们通常在直角坐标系内讨论角，为了方便，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的 在第几象限，就说这个角是 限角.
（2）如果角的终边在坐标轴上，那么就认为这个角不属于任何一个象限.
注意：(1)锐角是第一象限角，钝角是第二象限角，直角的终边在坐标轴上，它不属于任何一个象限；
(2)每一个象限都有正角和负角，无法比较哪一个象限角的大小.
例题2： (多选)下列结论正确的有
A.－75°是第一象限角 B.225°是第三象限角
C.475°是第二象限角 D.－315°是第四象限角
变式练习： (多选)下列叙述不正确的是
A.三角形的内角是第一象限角或第二象限角
B.钝角是第二象限角
C.第二象限角比第一象限角大
D.小于180°的角是钝角、直角或锐角
6.终边相同的角
思考：给定一个角，它的终边是否唯一？若两角的终边相同，那么这两个角相等吗？
结论：给定一个角，它的终边 ；两角终边相同，这两个角 相等，比如30°角的终边和390°角的终边相同，它们正好相差了360°.
因此：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和.
例题3： 在与2 110°角终边相同的角中，求满足下列条件的角β.
(1)最大的负角；
(2)最小的正角；
（3）在360°～720°范围内的角.
归纳：终边相同的角的表示
(1)终边相同的角都可以表示成α＋k·360°(k∈Z)的形式.
(2)终边相同的角相差360°的整数倍.
变式训练3：(1)写出终边在直线y＝-x上的角的集合.
(2)与－2 024°角终边相同的最小正角是( )
A.136° B.132° C.58° D.42°
(3)若角2α与240°角的终边相同，则α等于( )
A.120°＋k·360°，k∈Z
B.120°＋k·180°，k∈Z
C.240°＋k·360°，k∈Z
D.240°＋k·180°，k∈Z
7.终边相同的角
思考　你能否表示出终边落在各个象限的角的集合？
例题4：已知角α的终边在图中阴影部分内，试指出角α的取值范围.
变式训练1.若将本例题图改为如图所示的图形，那么终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合如何表示？
变式训练2.已知α是第一象限角.
(1)2α是第几象限角？ (1) 是第几象限角？
变式训练3.如图，α，β分别是终边落在OA，OB位置上的两个角，且α＝60°，β＝315°.
(1)求终边落在阴影部分(不包括边界)的角γ的集合；
(2)求终边落在阴影部分(不包括边界)，且在0°～360°范围内的角θ的集合.
小结：1.知识清单：
(1)正角、负角、零角的概念.
(2)终边相同的角的表示.
(3)象限角、区域角的表示.
2.方法归纳：数形结合、分类讨论.
3.常见误区：锐角与小于90°的角的区别，终边相同角的表示中漏掉k∈Z.
当堂测试
1.已知集合A＝{第二象限角}，B＝{钝角}，C＝{小于180°的角}，则A，B，C关系正确的是（ ）
A.B＝A∩C B.A∪C=B
C.B∪C＝C D.A＝B＝C
2.若α＝45°＋k·180°，k∈Z，则α的终边在（ ）
A.第一、三象限 B.第一、二象限
C.第二、四象限 D.第三、四象限
3.亲爱的考生，我们数学考试完整的时间是2小时，则从考试开始到结束，钟表的分针转过的角度为 .
4.如图所示.终边落在阴影部分(包括边界)的角α的集合为 .
5.已知．
(1)写出与角终边相同的角的集合，并求出在内与角终边相同的角；
(2)若角与角终边相同，判断角是第几象限的角．
●弧度制
弧度制的概念
（1）思考：我们上节课所学习的角度制能否与实数建立一一对应的关系？
（2）度量角的两种制度
（3）弧度数的计算
注意：一定大小的圆心角α所对应的弧长和半径的比值是唯一确定的，与半径大小无关.
例题1：下列命题中，假命题是
A.“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位
B.1°的角是周角的，1 rad的角是周角的
C.1 rad的角比1°的角要大
D.用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关
变式训练1.下列各命题中，真命题是
A.1弧度就是1°的圆心角所对的弧
B.1弧度是长度等于半径的弧
C.1弧度是1°的弧与1°的角之和
D.1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小
2.角度制与弧度制的互换
(1)思考：根据公式|α|＝，你能得出圆周角的弧度数吗？
(2)弧度与角度的换算
.一些特殊角的度数与弧度数的对应关系
注意：(1)弧度单位rad可以省略；(2)在同一个题目中，弧度与角度不能混用
例题2：把下列角度化成弧度，弧度化成角度：
(1)37°30′； (2)－216°； (3)2 （4）
注意：角度与弧度换算技巧
在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式π rad＝180°是关键，由它可以得到：度数× ＝弧度数，弧度数× ＝度数.一般情况下，省略弧度单位rad.
变式训练：将下列角度与弧度进行互化：
（2）- (3)10° (4)－855°
3.利用弧度表示角
例题：将－1 125°角写成α＋2kπ(k∈Z)的形式，其中0≤α<2π，并判断它是第几象限角？
变式：若在本例的条件下，在[－4π，4π]范围内找出与α终边相同的角的集合.
注意：用弧度制表示终边相同的角的两个关注点
(1)用弧度制表示终边相同的角α＋2kπ(k∈Z)时，其中2kπ是π的偶数倍，而不是整数倍.
(2)注意同一题目中角度制与弧度制不能混用.
变式训练：（1）用弧度制表示所有与75°角终边相同的角的集合是
(2)将手表的分针拨快10分钟，则分针在旋转过程中形成的角的弧度数是
4.弧度制下扇形的弧长与面积公式
思考：（1）我们初中所学扇形的弧长和面积公式是什么？
（2）扇形的弧长与面积公式(R是扇形所在圆的半径，n°为扇形的圆心角)
例题：已知扇形的周长为10 cm，面积为4 cm2，求扇形圆心角的弧度数.
变式训练：已知一扇形的周长为4，当它的半径与圆心角取何值时，扇形的面积最大？最大值是多少？
解题策略：（1）记公式：面积公式：S＝lR＝αR2，弧长公式：l＝αR(其中l是扇形的弧长，R是扇形的半径，α是扇形圆心角的弧度数，0<α<2π).
涉及扇形的半径、周长、弧长、圆心角、面积等的计算问题，关键是分析题目中已知哪些量、要求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形的面积公式直接求解或列方程(组)求解.变式训练 已知扇形的圆心角是α，半径为r，弧长为l.
变式训练：(1)若α＝135°，r＝10，求扇形的弧长l；
(2)若扇形AOB的周长为22，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大，并求出此时扇形的面积S的最大值.
小结：
1.知识清单：
(1)弧度制的概念.
(2)弧度与角度的相互转化.
(3)掌握特殊角的度数与弧度数的对应关系.
(4)扇形的弧长与面积的计算.
2.方法归纳：由特殊到一般、数学运算.
3.常见误区：弧度与角度易混用.
当堂测试
1.下列说法正确的是（ ）
A.1弧度的圆心角所对的弧长等于半径
B.大圆中1弧度的圆心角比小圆中1弧度的圆心角大
C.所有圆心角为1弧度的角所对的弧长都相等
D.用弧度表示的角都是正角
2.－660°等于（ ）
3.时钟的分针在1点到3点20分这段时间里转过的弧度为（ ）
4.已知一个扇形的弧长等于其所在圆半径的2倍，则该扇形圆心角的弧度数为 ，若该扇形的半径为1，则该扇形的面积为 .
5.已知角都是锐角，且角的终边与°角的终边相同，角的终边与670°角的终边相同，则______,______.