高二下学期期末考试仿真模拟
数学试题
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列函数求导运算正确的个数为( )
1 1 ′
① (2 )′ = 2 2 ;② (ln ( ))
′ = ;③ ( )′ = ;④ ( ) = ;⑤ ( )′ =
+
. 1 . 2 . 3 . 4
2.在 (x 1)(x 2)(x 3)(x 4)(x 5) ( 6)的展开式中，含 5的项的系数是( ).
. 120 . 21 . 85 . 274
3. 两个具有线性相关关系的变量的一组数据 x1, y1 ， x2 , y2 ， xn , yn ，下
列说法正确的是（ ）
．相关系数 r 越接近 1，变量 x, y相关性越弱
．在回归分析模型中，残差平方和越小，说明模型的拟合效果越差
．在回归直线方程 y 0.5x 10中，当解释变量 x每增加一个单位时，预报变
量 y 增加0.5个单位．
．已知某家族有甲和乙两种遗传病，该家族成员 患甲病的概率为 ，患乙
病的概率为 ，甲乙两种病都不患的概率为 .则家族成员 在患甲病的条件下，
患乙病的概率为
4.设 ， 为两个事件，已知 ( ) = 0.4， ( ) = 0.6， ( | ) = 0.3，则
( | ) =( )
. 0.24 . 0.375 . 0.45 . 0.5
1 / 6
5.已知函数 ( ) = 2 + ,若 ( )在(2, +∞)上单调递增，则实数 的取值范围为( )
. ( ∞，16] . ( ∞，8)
. ( ∞， 8) ∪ (8,+∞) . ( ∞， 16] ∪ [16，+∞)
6.一口袋中有除颜色外完全相同的 3个红球和 3个白球,从中无放回的随机取两
次，每次取一个球，记事件 1：第一次取出的是红球；事件 2：第一次取出的
是白球；事件 ：取出的两球同色；事件 ：取出的两球中至少有一个红球，则
3
. ( | 2) = .事件 、 相互独立事件 4
1
. ( ) = . 事件 1、 2为互斥事件 4
7.已知 , (1,+∞)， ， 满足 2 + = + ，则( )
. 2 0 . 2 0 . 2 0 . 2 0
8.中国是茶的故乡，也是茶文化的发源地.为了弘扬中国茶文化，某酒店推出特
色茶食品“排骨茶”，为了解每壶“排骨茶”中所放茶叶克数 与食客的满意率
1
的关系，调查研究发现，可选择函数模型 = e + 来拟合 与 的关系，根
100
据以下统计数据：
茶叶克数 1 2 3 4 5
ln(100 ) 4.34 4.36 4.44 4.45 4.51
可求得 关于 的非线性经验回归方程为 ( )
1
A. = e0.043 +4.291
1
B. = e0.043 4.291
100 100
1
C. = e 0.043 4.291
1
D. = e 0.043 +4.291
100 100
二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，
有多项符合题目要求。全部选对的得 5 分,部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。
2 / 6
9.已知函数 ( ) = 3 1，则( )
. ( )有两个极值点 . ( )有三个零点
.点(0,-1)是曲线 = ( )的对称中心 .直线 = 2 是曲线 = ( )的切线
10.已知 0, 0, + ，则下列不等式有可能成立的是（ ）
1 1 1 1
. 1 . 1 . 1 . 1
1
11.已知(2 2 ) ( ∈ )的展开式中各项的二项式系数之和为 128，则( )
√
A. =7 B. 展开式中各项的系数和为 1
C. 展开式中有理项只有 3项 D. 展开式中第 4项或第 5项的二项式系数最大
12.已知离散型随机变量χ服从二项分布B( , )，其中 , 0 < < 1，记χ为
奇数的概率为 ，χ为偶数的概率为 ，则下列说法中正确的有（ ）
1
. + = 1 . = 时， =
2
1 1
. 0 < < 时， 随着 的增大而增大 . < < 1, 随着 的增大而减小
2 2
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13.某学校开设了 4门数学类选修课和 3门物理类选修课，学生需从这 7门课中
选修 2 门或 3 门课，并且每类选修课至少选修 1 门，则不同的选课方案共有
________种（用数字作答）.
2
14.已知随机变量 X 服从正态分布 N 2, ，且 P( 2 X 2.5 ) 0.3，6 则
P(X 2.5) ____.
15.甲、乙、丙三人相互做传球训练，第 1次由甲将球传出，每次传球时，传球
者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，则 4 次传球后球在甲手中的
概率______.
3 / 6
16.已知函数 ( ) = 2( 0,且 1)有两个极值点 1, 2,且 x1 x2，则 2
的取值范围是_________.
四、解答题：本大题共 6 小题，共 70分，解答应写出文字说明、证明过程或演
算步骤。
17．（10分）已知函数 ( ) = (1 )．
（1）求函数 = ( )在 = 1处的切线方程；
（2）过点(1， )可作 f (x)两条切线，求 的取值范围.
18.(12分)为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对菏泽市空气质量进
3
行调研，随机抽查了 100 天空气中的PM 2.5和 SO 浓度（单位：μg/m2 ），得下表：
SO2
[0,50] (50,150] (150,475]
PM 2.5
[0,35] 32 18 4
(35,75] 6 8 12
[75,115] 3 7 10
（1）估计事件“菏泽市一天空气中PM 2.5浓度不超过 75，且 SO2 浓度不超过 150”
的概率；
（2）根据所给数据，完成下面列联表：
SO 浓度 合计 2
PM 2.5
[0,150] (150,475]
[0,75]
(75,115]
合计
4 / 6
（3）根据（2）中的列联表，根据α＝0.01 独立性检验，能否认为菏泽市一天
空气中PM 2.5浓度与 SO2 浓度有关
2 α 0.05 0.01 0.005 0.001
n ad bc
2
附： a b c d a c b d
xa 3.841 6.635 7.879 10.828
19．（12分）已知函数 ( ) = ( 2 + ) ．
3
（1）讨论 f x 的单调性； （2）证明：当a 0时， ( ) ≥ 2 +
4
20.（12分）某科研单位对某种细菌的繁殖情况进行了研究，发现该细菌繁殖的
个数 (单位：个)随时间 (单位：天)的变化情况如表Ⅰ．
1 2 3 4 5 6
5 10 26 50 96 195
令 =ln ，则 与 的对应关系如表Ⅱ．
5 10 26 50 96 195
1.61 2.30 3.26 3.91 4.56 5.27
根据表Ⅰ绘制散点图如图所示：
(1)根据散点图判断，函数模型 = + 与 = + 哪个更适合作为细菌的繁
殖数量 关于时间 的经验回归方程类型 (给出判断即可，不必说明理由);
5 / 6
(2)根据(1)中的判断结果以及相关数据，建立 关于 的经验回归方程(系数精确
到 0.01); (3)若要使细菌的繁殖数量不超过 4030 个，根据(2)的结果预测细菌
繁殖的天数最多为多少天
参考数据： = 3.50， ≈ 63.67， ≈ 3.49，∑6 =1( )
2 = 17.50，
∑6 2 =1( ) ≈ 9.49，∑
6
=1( )( ) ≈ 12.95，∑
6
=1( )( ) ≈
519.01
ln4030 ≈ 8.30，ln1640 ≈ 7.40
假设一组数据( , )( = 1,2,3, , )建立了线性回归方程 = + ，则：
∑ =1( )( =
)
2 ， = ∑ =1( )
21.（12分）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人
继续投篮，若末命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的
命中率均为 0.6，乙每次投篮的命中率均为 0.8．由抽签确定第 1 次投篮的人选，
第 1 次投篮的人是甲、乙的概率各为 0.5．
（1）求第 2 次投篮的人是甲的概率；
（2）求第 i次投篮的人是乙的概率；
（3）已知：若随机变量 X i服从两点分布，且
n n
P X i 1 1 P X i 0 qi ,i 1,2, ,n，则E X i q ni ．记前 次（即从
i 1 i 1
第 1 次到第 n次投篮）中甲投篮的次数为Y ，求E Y ．
22.（12分）已知函数 ( ) = + ln ．
(1)若 ( ) ≤ 0，求 的取值范围；
(2)证明：若 ( )有两个零点 1, 2，则 1 2 < 1
6 / 6高二模拟试题答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C B D C A D C A AC AB ABD ABC
13. 42； 14. 0.14 15. 16.
17（10分）
解：（1）由函数的解析式可得
,所以切线方法为： --------------- 4分
（2）解：由函数的解析式可得，设切点为
所以，即得，
由过点两条切线，即有两个解，
即两个交点
,
，，， -------10分
18．（12分）
解：（1）由表格可知，该市100天中，空气中的浓度不超过75，且浓度不超过150的天数有天，
所以该市一天中，空气中的浓度不超过75，且浓度不超过150的概率为； -------------------------- 4分
（2）由所给数据，可得列联表为：
浓度 合计
[0,150] (150,475]
[0,75] 64 16 80
(75,115] 10 10 20
合计 74 26 100
（3）根据列联表中的数据可得
=
因为根据临界值表可知，小概率值α＝0.01认为该市一天空气中浓度与浓度有关. --------------------- 12分
19.（12分）（1）因为，定义域为，所以，
当时，由于，则，故恒成立，
所以在上单调递减；
当时，令=0，解得，
当时，，则在上单调递减；
当时，，则在上单调递增；
综上：当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增. -------------5分
（2）由（1）得，，
要证，即证，即证恒成立，
令，则，
令，则；令，则；
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以0，则恒成立，
所以当时，恒成立，证毕 --------12分
21（12分）（1）记“第次投篮的人是乙”为事件，“第次投篮的人是甲”为事件，
所以，
=0.5×（1-0.8）+0.5×0.6=0.4 ------------ 3分
（2）设，依题可知，，则
，
构造等比数列，设，解得，则，
又，所以是首项为，公比为的等比数列，即． ---- 8分
(3)因为，，
所以当时，，故． ----------- 12分
22．解：定义域为，，
令，所以当时，，单调递减
当时，单调递增，要使得恒成立，
即满足． -----------4分
由知要使有两个零点，则，
而，
令，则有两个零点等价于关于的方程有两个不相等的实根，
再令，易知在上单调递增，在上单调递减，
不妨设要证明，即证明，
又由于在单调递减，即证明在上成立．
下面构造函数，
则恒成立，
在单调递减，而，
所以，即得证． ---------12分
4 / 4
