规律探究：一元二次方程[上学期]

与一元二次方程有关的规律探究
1、阅读下面的材料：
的根为
∴
综上得，设的两根为、，则有
请利用这一结论解决问题：（1）若的两根为1和3，求b和c的值。
（2）设方程的根为、，求的值。
2、探究发现：
解下列方程，将得到的解填入下面的表格中，观察表格中两个解的和与积，它们和原来的方程的系数有什么联系？
（1） （2） （3）
方 程
（1）
（2）
（3）
（1）请用文字语言概括你的发现：
____________________________________________________________________________
（2）一般的，对于关于的方程的两根为、，则_____________，_____________。
（3）运用以上发现，解决下面的问题：
①已知一元二次方程x2－2x－7=0的两个根为x1，x2，则x1+x2的值为（ ）
A．－2 B．2 C．－7 D．7
②已知x1，x2是方程x2－x－3=0的两根，试求（1+x1）（1+x2）和x12+x22的值。
3、阅读下题的解答过程，请你判断其是否有错误，若有错误，请你写出正确答案．已知：m是关于x的方程mx2－2x＋m＝0的一个根，求m的值．
解：把x=m代人原方程，化简得m3=m，两边同时除以m，得m2 =1，所以m=l，把=l代入原方程检验可知：m=1符合题意，答：m的值是1．
（阅读理解题）阅读材料，解答问题：
为解方程 ，我们可以将x2－l看作一个整体，然后设x2－l=y，那么原方程可化为y2－5y＋4=0①，解得y1 =1，y2=4．当y1=l时， x2－l=1．所以x2 =2．所以x=±；当y=4时，x2－1=4．所以x2 =5．所以x=±,故原方程的解为x1=，x2=－，x3=，x4=；上述解题
过程，在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到了降次的目的，体现了转化的数学思想．请利用以上知识解方程：x4－x2－6 ＝0．
4、解下列方程，将得到的解填入下面的表格中，你发现表格中的两个解的和与积和原来的方程有什么联系？
①x-3x=0 ②x+2x-3=0
方程 x x x +x x ·x
x-3x=0
x+2x-3=0
(2)猜想一元二次方程的两个根的和与积和原来方程中的系数之间有什么关系？
（3）一般地，对于关于x的方程x+px+q=0(p、q为已知常数，p-4q≥0)，试用求根公式求出它的两个解x 、x，算一算x +x 、x ·x的值，你能得出什么结果？与上面的现象是否一致？
（4）运用上述的结论解决下面的问题：已知方程x2+kx+8=0的一个根是2，求它的另一个根及k的值。
5、已知下列n（n为正整数）个关于x的一元二次方程：
（1）请解上述一元二次方程<1>、<2>、<3>、；
（2）请你指出这n个方程的根具有什么共同特点，写出一条即可。
六.阅读并解答问题
配方法可以用来解一元二次方程，还可以用它来解决很多问题。因为，所以就有个最小值1，即，只有当时，才能得到这个式子的最小值1。同样，因为，所以有最大值1，即，只有在时，才能得到这个式子的最大值1。
①当= 时，代数式有最 （填写大或小）值为 。
②当= 时，代数式有最 （填写大或小）值为 。
分析：配方得：。
③矩形花园的一面靠墙，另外三面的栅栏所围成的总长度是16m，当花园与墙相邻的边长为多少时，花园的面积最大？最大面积是多少？