北师大版九年级数学上册第一章 特殊平行四边形：1.2矩形的性质与判定 填空题专题训练 （含答案）

2023-2024学年北师大版九年级数学上册《1.2矩形的性质与判定》
填空题专题训练（附答案）
1．如图所示，四边形ABCD为矩形，AE⊥EG，已知∠1＝25°，则∠2＝_____
2．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ACB＝30°，则∠AOB的大小为　 　．
3．我国古代数学家贾宪提出的“从长方形的对角线上任意一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所得两长方形的面积具有一定的大小关系（如图所示）”请根据图形判断两个矩形阴影部分的面积大小S1　 　S2．（填“＞”“＜”或“＝”）
4．如图，在矩形ABCD中，已知AB＝2，点E是BC边的中点，连接AE，△AB′E和△ABE关于AE所在直线对称，若△B′CD是直角三角形，则BC边的长为　 　．
5．已知矩形的对角线AC与BD相交于点O，若AO＝2，那么BD＝　 　．
6．将两条邻边长分别为，1的矩形纸片剪成四个等腰三角形纸片（无余纸片），各种剪法剪出的等腰三角形中，其中一个等腰三角形的腰长可以是下列数中的　 　（填序号）．
①，②1，③﹣1，④，⑤．
7．如图，四边形ABDE是长方形，AC⊥DC于点C，交BD于点F，AE＝AC，∠ADE＝62°，则∠BAF的度数为　 　．
8．如图，点E为矩形ABCD的边BC长上的一点，作DF⊥AE于点F，且满足DF＝AB．下面结论：①△DEF≌△DEC；②S△ABE＝S△ADF；③AF＝AB；④BE＝AF．其中正确的结论是　 　．
9．在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，若∠AOB＝100°，则∠OAB＝　 　．
10．如图，ABCD为一矩形，E，F分别是BC，CD上的点，且S△ABE＝3，S△CEF＝2，S△ADF＝2，则S△AEF＝　 　．
11．木匠做一个矩形木框，长为80cm，宽为60cm，对角线的长为100cm，则这个木框　 　（填“合格”或“不合格”）
12．如图，要使平行四边形ABCD成为矩形，应添加的条件是　 　（只需填一个你认为正确的结论即可）．
13．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，P是AB边上的一个动点（异于A、B两点），过点P分别作AC、BC边的垂线，垂足分别为M、N，则MN最小值是　 　．
14．如图，在矩形ABCD中，AD＝3，CD＝4，点P是AC上一个动点（点P与点A，C不重合），过点P分别作PE⊥BC于点E，PF∥BC交AB于点F，连接EF，则EF的最小值为　 　．
15．如图，在矩形ABCD中，AB＝4cm，AD＝12cm，点P从点A向点D以每秒1cm的速度运动，Q以每秒4cm的速度从点C出发，在B、C两点之间做往返运动，两点同时出发，点P到达点D为止（同时点Q也停止），这段时间内，当运动时间为　 　时，P、Q、C、D四点组成矩形．
16．如图，若将四根木条钉成的矩形木框变成 ABCD的形状，并使其面积变为矩形面积的一半，则 ABCD的最小内角的度数为　 　．
17．如图，矩形ABCD沿AE折叠，使D点落在BC边上的F点处，若∠BAF＝58°，则∠DAE等于_____度．
18．如图，在长方形ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm．E、F分别是AB、BC的中点．则E到DF的距离是_____cm．
19．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，，．若，，则四边形OCED的面积为___.
20．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AF垂直平分OB，交OB于点E，若AB＝6，则CF的长为_____．
21．如图，四边形OABC是矩形，A(2，1)，B(0，5)，点C在第二象限，则点C的坐标是______．
参考答案
1．解：∵四边形ABCD是矩形
∴AD∥BC
∴∠DFE＝∠2
∵∠DFE＝∠1+∠E＝115°
∴∠2＝115°
故答案为115°
2．解：由矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ACB＝30°，得
∠ABC＝90°，
∠BAO＝90°﹣∠ACB＝60°．
由OA＝OB，得
△ABO是等边三角形，
∠AOB＝60°，
故答案为：60°
3．解：如图所示：
∵S矩形NFGD＝S△ADC﹣（S△ANF+S△FGC），S矩形EBMF＝S△ABC﹣（ S△AEF+S△FCM）
又∵S△ADC＝S△ABC，S△ANF＝S△AEF，S△FGC＝S△FMC，
∴S矩形NFGD＝S矩形EBMF．即S1＝S2．
故答案为：＝．
4．解：连接BB′，
∵BE＝B′E＝EC，
∴∠BB′C＝90°，
∴∠B′CD＜90°，
（1）如图1，∠B′DC＝90°，
则四边形ABEB′和ECDB′是正方形，
∴BC＝2AB＝4，
（2）如图2，∠CB′D＝90°，
则B，B′，D三点共线，
设AE，BB′交于F，
∵AB＝AB′，EB＝EB′，
∴AE垂直平分BB′，
∴BF＝B′F，
∵∠AFB＝∠DB′C＝90°，
∵∠BAF+∠ABF＝∠ABF+∠EBF＝90°，
∴∠BAF＝∠EBF，同理∠EBF＝∠DCB′，
∴∠BAF＝∠DCB′，
∵AB＝CD，
∴△ABF≌△CDB′，
∴BF＝B′D，
∴F，B′是对角线BD的三等分点，
∴BC＝CD＝2，
故答案为：4或2．
5．解：在矩形ABCD中，
∵对角线AC与BD相交于点O，AO＝2，
∴AO＝CO＝BO＝DO＝2，
∴BD＝2BO＝4．
故答案为：4．
6．解：如图所示：
则其中一个等腰三角形的腰长可以是①，②1，③﹣1，④，不可以是．
故答案为：①②③④．
7．解：∵四边形ABDE是矩形，
∴∠BAE＝∠E＝90°，
∵∠ADE＝62°，
∴∠EAD＝28°，
∵AC⊥CD，
∴∠C＝∠E＝90°
∵AE＝AC，AD＝AD，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）
∴∠EAD＝∠CAD＝28°，
∴∠BAF＝90°﹣28°﹣28°＝34°，
故答案为：34°．
8．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C＝∠ABE＝90°，AD∥BC，AB＝CD，
∵DF＝AB，
∴DF＝CD，
∵DF⊥AE，
∴∠DFA＝∠DFE＝90°，
在Rt△DEF和Rt△DEC中，，
∴Rt△DEF≌Rt△DEC（HL），①正确；
∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠DAF，
在△ABE和△DFA中，，
∴△ABE≌△DFA（AAS），
∴S△ABE＝S△ADF；②正确；
∴BE＝AF，④正确，③不正确；
故答案为：①②④．
9．解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝2OA，BD＝2BO，AC＝BD，
∴OB＝OA，
∵∠AOB＝100°，
∴∠OAB＝∠OBA＝（180°﹣100°）＝40°
故答案为：40°．
10．解：设AB＝x，CE＝y．
∵∠B＝∠C＝90°，又S△ABE＝3，
所以 BE x＝3，即BE＝，
同理CF＝，
所以DF＝CD﹣CF＝AB﹣CF＝x﹣，
AD＝＝，
而AD＝BC，
即+y＝
化简得（xy）2﹣2xy﹣24＝0．
解得xy＝6，
而矩形ABCD的面积＝x（+y）＝6+xy＝6+6＝12，
∴S△AEF＝S矩形ABCD﹣S△ABE﹣S△CEF﹣S△ADF＝12﹣3﹣2﹣2＝5，
故答案为：5．
11．解：∵802+602＝10000＝1002，
即：AD2+DC2＝AC2，
∴∠D＝90°，
同理：∠B＝∠BCD＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，
故答案为合格．
12．解：AC＝BD，
理由是：∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形，
故答案为：AC＝BD．
13．解：如图，连接MN，PC．
在△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，
∴AB＝＝10，
∵PM⊥AC，PN⊥BC，
∴∠PMC＝∠PNC＝∠C＝90°，
∴四边形PMCN是矩形，
∴MN＝PC，
∴当PC⊥AB时，PC的值最小，此时MND最小值＝PC＝＝，
故答案为．
14．（1）证明：如图，连接BP．
∵∠B＝∠D＝90°，AD＝3，CD＝4，
∴AC＝5，
∵PE⊥BC于点E，PF∥BC，∠B＝90°，
∴四边形PEBF是矩形；
∴EF＝BP，
由垂线段最短可得BP⊥AC时，线段EF的值最小，
此时，S△ABC＝BC AB＝AC BP，
即×4×3＝×5 BP，
解得BP＝．
故答案为：．
15．解：根据已知可知：当点P到达点D时，点Q将由C﹣B﹣C﹣B﹣C运动，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠D＝90°，
∴PD∥CQ，
若PD＝CQ，则四边形APQB是矩形，
由题意得DP＝12﹣t，
当0≤t≤3时，CQ＝4t，12﹣t＝4t，
∴t＝2.4（s），
当3＜t≤6时，CQ＝24﹣4t，12﹣t＝24﹣4t，
∴t＝4（s），
当6＜t≤9时，CQ＝4t﹣24，12﹣t＝4t﹣24，
∴t＝7.2（s）；
当9＜t≤12时，CQ＝48﹣4t，12﹣t＝48﹣4t，
∴t＝12（s），此时PQ与DC重合，无法构成矩形，故舍去，
故答案为：2.4s或4s或7.2s．
16．解：如图，过点A作AE⊥BC于点E，
∵平行四边形的面积为矩形的一半且同底BC，
∴平行四边形ABCD的高AE是矩形宽AB的一半．
在直角三角形ABE中，AE＝AB，
∴∠ADC＝30°．
故答案为：30°．
17．解：根据翻折不变性设∠DAE＝∠FAE＝x度，
又∵∠BAF＝58°，
∠BAD＝90°，
∴x+x+58°＝90°，
解得x＝16
∴∠EAD＝16°．
故答案为16.
18．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝4cm，AD＝BC＝8cm，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，
∵E、F分别是AB、BC的中点，
∴AE＝BE＝ AB＝2cm，BF＝CF＝ BC＝4cm，
∴DF＝ ＝4 （cm），
∴△DEF的面积＝矩形ABCD的面积﹣△BEF的面积﹣△CDF的面积﹣△ADE的面积
＝8×4﹣ ×4×2﹣ ×4×4﹣ ×8×2
＝12（cm2），
作EG⊥DF于G，如图所示：
则△DEF的面积＝ DF EG＝12，
∴EG＝ ＝3 （cm），
即E到DF的距离是3 cm，
故答案为3 ．
19．解：连接OE，与DC交于点F，
∵四边形ABCD为矩形，
∴OA=OC，OB=OD，且AC=BD，即OA=OB=OC=OD，AB=CD，
∵OD∥CE，OC∥DE，
∴四边形ODEC为平行四边形，
∵OD=OC，
∴四边形OCED为菱形，
∴DF=CF，OF=EF，DC⊥OE，
∵DE∥OA，且DE=OA，
∴四边形ADEO为平行四边形，
∵AD=，AB=2，
∴OE=，CD=2，
则S菱形OCED=OE DC=××2=．
故答案为．
20．解：∵四边形ABCD是矩形
∴AO＝BO＝CO＝DO，∠ABC＝90°
∵AF垂直平分OB，
∴AB＝AO，BE＝EO，AF⊥BO，
∴AB＝AO＝BO，
∴△ABO是等边三角形，
∴∠BAO＝60°，∠BAF＝∠CAF＝30°
∴∠ACB＝90°﹣∠BAO＝30°
∴∠FAC＝∠ACF＝30°，BC＝AB＝6，
∴AF＝FC，
在Rt△ABF中，AF2＝BF2+AB2，
∴CF2＝（6﹣CF）2+36
∴CF＝4.
故答案是：4.
21．解：作AM⊥x轴于M，CN⊥y轴于N，如图所示：
则∠AMO＝∠BNC＝90°，
∴∠AOM+∠OAM＝90°，
∵A(2，1)，B(0，5)，
∴OM＝2，AM＝1，OB＝5，
∵四边形OABC是矩形，
∴BC＝AO，∠AOC＝90°，BC∥OA，
∴∠CBN＝∠AOB，
∵∠AOM+∠AOB＝90°，
∴∠CBN＝∠AOB＝∠OAM，
在△BCN和△AOM中， ，
∴△BCN≌△AOM(AAS)，
∴BN＝AM＝1，CN＝OM＝2，
∴ON＝OB﹣BN＝4，
∴点C的坐标是(﹣2，4)；
故答案为(﹣2，4)．