人教版数学八年级上册 14.3.2 公式法 第2课时 运用完全平方公式因式分解 导学案(含答案)
文档属性
| 名称 | 人教版数学八年级上册 14.3.2 公式法 第2课时 运用完全平方公式因式分解 导学案(含答案) |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 20.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-07-17 16:05:10 | ||
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文档简介
14.3.2 公式法
第2课时 运用完全平方公式34
学习目标
1.在掌握了因式分解意义的基础上,会运用平方差公式和完全平方公式对比较简单的多项式进行因式分解.
2.在运用公式法进行因式分解的同时,培养观察、比较和判断能力以及运算能力,用不同的方法分解因式可以提高综合运用知识的能力.
学习策略
1.结合实例掌握完全平方公式的形式和特征；
2.牢记完全平方公式.
学习过程
一.复习回顾：
1.什么叫因式分解 我们已经学过哪些因式分解的方法
2.因式分解要注意什么问题
二.新课学习：
知识点一：利用完全平方公式分解因式
1.用整式乘法的完全平方公式填空：
(1)(a＋1)2＝( )2＋2·___·____＋12＝ ；
(2)(a－b)2＝a2－2·___·____＋b2＝ .
【答案】(1)a；a；1；a2＋2a＋1；(2)a；b；a2－2ab＋b2
2.观察第1题你会有什么发现？用你的发现尝试把下列多项式分解因式.
(1)a2－2a＋1＝( )2－2·____·____＋( )2＝________
(2)a2－2ab＋b2＝( )2－2·____·____＋( )2＝________
【答案】(1)a；a；1；1；(a－1)2；
(2)a；b；a；b；(a－b)2
3.根据上面的填空完成下面的知识归纳.
(1) ＝(a＋b)2； ＝(a－b)2；
(2)用文字语言描述为： ；
(3)我们把 和 叫完全平方式.
【答案】(1)a2＋2ab＋b2；a2－2ab＋b2
(2)两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数和(或差)的平方
(3)a2＋2ab＋b2；a2－2ab＋b2
三.尝试应用：
例1下列各多项式是不是完全平方式 如果是,可以分解成什么式子 如果不是,请把多项式改为完全平方式.
(1)x2-2x+4;(2)9x2+4x+1;(3)a2-4ab+4b2; (4)9m2+12m+4;(5)1-a+.
解：（1）、（2）不是完全平方式；
(3)(4)(5) 是完全平方式；
a2-4ab+4b2= (a-2b)2 (4)9m2+12m+4=(3m+2)2 (5)1-a+.=(1-)2
例2分解因式:
(1)16x2+24x+9; (2) 3ax2+6axy+3ay2; (3)(a+b)2-12(a+b)+36.
解：（1）16x2+24x+9=（4x）2+2·4x·3+32=（4x+3）2
(2) 3ax2+6axy+3ay2; =3a(x2+2xy+y2)= 3a(x+y) 2
(3) (a+b)2-12(a+b)+36=(a+b-6)2.
四.自主总结：
1.形如a2+2ab+b2和a2-2ab+b2的多项式叫做完全平方式;
2. a2±2ab+b2=（a±b）2.即：两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的完全平方公式.
五.达标测试
一、选择题
1.下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是( )
A.x2﹣2x﹣2 B.x2+1 C.x2﹣4x+4 D.x2+4x+1
2. 若多项式x2+mx+4能用完全平方公式分解因式，则m的值可以是（ ）
A．4 B．﹣4 C．±2 D．±4
3. 若代数式x2+4x+m通过变形可以写成（x+n）2的形式，那么m的值是（ ）
A．4 B．8 C．±4 D．16
4. 多项式mx2+mx与多项式x2+2x+1的公因式是（ ）
A．x+1 B．x﹣1 C．x2+1 D．（x+1）2
5.不论x，y取何实数，代数式x2﹣4x+y2﹣6y+13总是（ ）
A．非负数 B．正数 C．负数 D．非正数
二、填空题
6. 若一个正方形的面积为4a2+12ab+9b2（a＞0，b＞0），则这个正方形的边长为________.
7.已知a，b，c是三角形ABC的三边，且b2+2ab=c2+2ac，则三角形ABC的形状是_________三角形．
8.小明抄在作业本上的式子x ﹣9y2（“ ”表示漏抄的指数），不小心漏抄了x的指数，他只知道该数为不大于5的正整数，并且能利用平方差公式分解因式，请你帮小明写出这个整式分解因式的结果： ．
三、解答题
9. 因式分解：
（1）﹣x2+6xy﹣9y2；（2）x4﹣18x2+81．
10. 已知x2－4x+y2－10y+29=0，求x2y2+2x3y2+x4y2的值．
参考答案
1.C
2.D解析：∵x2+mx+4＝（x±2）2，即x2+mx+4＝x2±4x+4，∴m＝±4．
故选：D．
3.A解析：∵代数式x2+4x+m通过变形可以写成（x+n）2的形式，
∴x2+4x+4＝（x+2）2，则m＝4．故选：A．
4.A解析：因为mx2+mx＝mx（x+1），x2+2x+1＝（x+1）2，所以多项式mx2+mx与多项式x2+2x+1的公因式是x+1．故选A．
5.A解析：x2﹣4x+y2﹣6y+13＝x2﹣4x+4+y2﹣6y+9＝（x﹣2）2+（y﹣3）2，
∵（x﹣2）2≥0，（y﹣3）2≥0，∴（x﹣2）2+（y﹣3）2≥0，
∴不论x、y取何值，代数式x2﹣4x+y2﹣6y+13的值总是非负数，故选A．
6.2a+3b 解析：4a2+12ab+9b2=（2a）2+2×2a×3b+（3b）2=（2a+3b）2．∵a＞0，b＞0，∴这个正方形的边长为2a+3b．
7.等腰 解析：∵b2+2ab=c2+2ac，∴b2+2ab+a2=c2+2ac+a2，∴（a+b）2=（a+c）2，∴a+b=a+c，∴b=c，∴三角形ABC是等腰三角形.
8. （x+3y）（x﹣3y）或（x2+3y）（x2﹣3y）解析：①当 ＝2时，x2﹣9y2＝（x+3y）（x﹣3y），②当 ＝4时，x4﹣9y2＝（x2+3y）（x2﹣3y），综上所述整式分解因式的结果：（x+3y）（x﹣3y）或（x2+3y）（x2﹣3y）．
9. 解：（1）﹣x2+6xy﹣9y2＝﹣（x2﹣6xy+9y2）＝﹣（x﹣3y）2．
（2）解：x4﹣18x2+81
＝（x2﹣9）2
＝（x﹣3）2（x+3）2．
10.解：∵x2－4x+y2－10y+29=0，∴（x－2）2+（y－5）2=0；又∵（x－2）2≥0，（y－5）2≥0，∴x－2=0，y－5=0，∴x=2，y=5；∴x2y2+2x3y2+x4y2=4×25+2×8×25+16×25=25（4+16+16）=25×36=900．
第2课时 运用完全平方公式34
学习目标
1.在掌握了因式分解意义的基础上,会运用平方差公式和完全平方公式对比较简单的多项式进行因式分解.
2.在运用公式法进行因式分解的同时,培养观察、比较和判断能力以及运算能力,用不同的方法分解因式可以提高综合运用知识的能力.
学习策略
1.结合实例掌握完全平方公式的形式和特征；
2.牢记完全平方公式.
学习过程
一.复习回顾：
1.什么叫因式分解 我们已经学过哪些因式分解的方法
2.因式分解要注意什么问题
二.新课学习：
知识点一：利用完全平方公式分解因式
1.用整式乘法的完全平方公式填空：
(1)(a＋1)2＝( )2＋2·___·____＋12＝ ；
(2)(a－b)2＝a2－2·___·____＋b2＝ .
【答案】(1)a；a；1；a2＋2a＋1；(2)a；b；a2－2ab＋b2
2.观察第1题你会有什么发现？用你的发现尝试把下列多项式分解因式.
(1)a2－2a＋1＝( )2－2·____·____＋( )2＝________
(2)a2－2ab＋b2＝( )2－2·____·____＋( )2＝________
【答案】(1)a；a；1；1；(a－1)2；
(2)a；b；a；b；(a－b)2
3.根据上面的填空完成下面的知识归纳.
(1) ＝(a＋b)2； ＝(a－b)2；
(2)用文字语言描述为： ；
(3)我们把 和 叫完全平方式.
【答案】(1)a2＋2ab＋b2；a2－2ab＋b2
(2)两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数和(或差)的平方
(3)a2＋2ab＋b2；a2－2ab＋b2
三.尝试应用：
例1下列各多项式是不是完全平方式 如果是,可以分解成什么式子 如果不是,请把多项式改为完全平方式.
(1)x2-2x+4;(2)9x2+4x+1;(3)a2-4ab+4b2; (4)9m2+12m+4;(5)1-a+.
解：（1）、（2）不是完全平方式；
(3)(4)(5) 是完全平方式；
a2-4ab+4b2= (a-2b)2 (4)9m2+12m+4=(3m+2)2 (5)1-a+.=(1-)2
例2分解因式:
(1)16x2+24x+9; (2) 3ax2+6axy+3ay2; (3)(a+b)2-12(a+b)+36.
解：（1）16x2+24x+9=（4x）2+2·4x·3+32=（4x+3）2
(2) 3ax2+6axy+3ay2; =3a(x2+2xy+y2)= 3a(x+y) 2
(3) (a+b)2-12(a+b)+36=(a+b-6)2.
四.自主总结：
1.形如a2+2ab+b2和a2-2ab+b2的多项式叫做完全平方式;
2. a2±2ab+b2=（a±b）2.即：两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的完全平方公式.
五.达标测试
一、选择题
1.下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是( )
A.x2﹣2x﹣2 B.x2+1 C.x2﹣4x+4 D.x2+4x+1
2. 若多项式x2+mx+4能用完全平方公式分解因式，则m的值可以是（ ）
A．4 B．﹣4 C．±2 D．±4
3. 若代数式x2+4x+m通过变形可以写成（x+n）2的形式，那么m的值是（ ）
A．4 B．8 C．±4 D．16
4. 多项式mx2+mx与多项式x2+2x+1的公因式是（ ）
A．x+1 B．x﹣1 C．x2+1 D．（x+1）2
5.不论x，y取何实数，代数式x2﹣4x+y2﹣6y+13总是（ ）
A．非负数 B．正数 C．负数 D．非正数
二、填空题
6. 若一个正方形的面积为4a2+12ab+9b2（a＞0，b＞0），则这个正方形的边长为________.
7.已知a，b，c是三角形ABC的三边，且b2+2ab=c2+2ac，则三角形ABC的形状是_________三角形．
8.小明抄在作业本上的式子x ﹣9y2（“ ”表示漏抄的指数），不小心漏抄了x的指数，他只知道该数为不大于5的正整数，并且能利用平方差公式分解因式，请你帮小明写出这个整式分解因式的结果： ．
三、解答题
9. 因式分解：
（1）﹣x2+6xy﹣9y2；（2）x4﹣18x2+81．
10. 已知x2－4x+y2－10y+29=0，求x2y2+2x3y2+x4y2的值．
参考答案
1.C
2.D解析：∵x2+mx+4＝（x±2）2，即x2+mx+4＝x2±4x+4，∴m＝±4．
故选：D．
3.A解析：∵代数式x2+4x+m通过变形可以写成（x+n）2的形式，
∴x2+4x+4＝（x+2）2，则m＝4．故选：A．
4.A解析：因为mx2+mx＝mx（x+1），x2+2x+1＝（x+1）2，所以多项式mx2+mx与多项式x2+2x+1的公因式是x+1．故选A．
5.A解析：x2﹣4x+y2﹣6y+13＝x2﹣4x+4+y2﹣6y+9＝（x﹣2）2+（y﹣3）2，
∵（x﹣2）2≥0，（y﹣3）2≥0，∴（x﹣2）2+（y﹣3）2≥0，
∴不论x、y取何值，代数式x2﹣4x+y2﹣6y+13的值总是非负数，故选A．
6.2a+3b 解析：4a2+12ab+9b2=（2a）2+2×2a×3b+（3b）2=（2a+3b）2．∵a＞0，b＞0，∴这个正方形的边长为2a+3b．
7.等腰 解析：∵b2+2ab=c2+2ac，∴b2+2ab+a2=c2+2ac+a2，∴（a+b）2=（a+c）2，∴a+b=a+c，∴b=c，∴三角形ABC是等腰三角形.
8. （x+3y）（x﹣3y）或（x2+3y）（x2﹣3y）解析：①当 ＝2时，x2﹣9y2＝（x+3y）（x﹣3y），②当 ＝4时，x4﹣9y2＝（x2+3y）（x2﹣3y），综上所述整式分解因式的结果：（x+3y）（x﹣3y）或（x2+3y）（x2﹣3y）．
9. 解：（1）﹣x2+6xy﹣9y2＝﹣（x2﹣6xy+9y2）＝﹣（x﹣3y）2．
（2）解：x4﹣18x2+81
＝（x2﹣9）2
＝（x﹣3）2（x+3）2．
10.解：∵x2－4x+y2－10y+29=0，∴（x－2）2+（y－5）2=0；又∵（x－2）2≥0，（y－5）2≥0，∴x－2=0，y－5=0，∴x=2，y=5；∴x2y2+2x3y2+x4y2=4×25+2×8×25+16×25=25（4+16+16）=25×36=900．