人教版数学八年级上册 13.3.2 等边三角形导学案（含答案）

13.3.2　等边三角形
学习目标
1.了解等边三角形是特殊的等腰三角形；
2.理解等边三角形的性质与判定和含30°锐角的直角三角形的性质；
3.能利用含30°锐角的直角三角形的性质解决简单的实际问题.
学习策略
1.结合等腰三角形的性质和判定，理解等边三角形的性质和判定及含30°锐角的直角三角形的性质；
2.牢记等边三角形的性质和判定及含30°锐角的直角三角形的性质..
学习过程
一.复习回顾：
1.回顾等腰三角形的性质和判定
2. 在△ABC中，如果AB=AC=BC，则∠A＝__60 ____，∠B＝_60 ___，∠C＝_60 __；__腰、底相等____的等腰三角形是等边三角形，等边三角形是一种特殊的__等腰___三角形.
二.新课学习：
阅读课本本课时的内容，解决下列问题.
知识点一：等边三角形的性质
1.度量课本“图13.3-7”中等边△ABC的三边和三个角，可以得到三边　　，三角　　，每个角都等于　　.
【答案】相等；相等；60°
2.如图1，△ABC是等边三角形，试完成如下证明过程.
证明：在等边△ABC中，由定义有AB=　　.
所以　　=∠C.同理∠B=∠A，∠A=∠C，
所以∠A=　　=　　.
又∠A+∠B+∠C=180°，
所以∠A=∠B=∠C=　　.
总结：等边三角形的三个内角都　　，并且每一个内角都等于　　.
【答案】AC；∠B；∠B；∠C；60°；相等；60°
知识点二：等边三角形的判定
1.因为等边三角形的三个内角都等于60°，因此猜想三个角都是60°的三角形是　　三角形.
【答案】等边
2.如图1，在△ABC中，∠A=∠B=∠C.为说明上述结论，试完成下列证明：
因为∠A=∠B，所以AC=　　.
同理，有　　=BC，　　=AB.
所以AB=BC=AC，所以△ABC是　　三角形.
【答案】BC；A；AC；等边
3.如果一个三角形有两个角是60°，那么第三个角的度数为　　，从而可知该三角形是　　三角形.
【答案】60°；等边
4.如果一个等腰三角形有一个角等于60°，(若这个角是顶角，则两个底角分别等于　　；若这个角是底角，则另一个底角为　　，顶角为60°)，则这个三角形是　　三角形.
总结：判定一个三角形是等边三角形的方法：
①定义法：　 　的三角形是等边三角形.
②　 　的三角形是等边三角形.
③有一个角是　 　的等腰三角形是等边三角形.
【答案】60°；60°；等边；三条边都相等；三个角都相等；60°
知识点三：含30°角的直角三角形的性质
1.用两个全等的含30°角的直角三角板，可以拼出如图所示的三角形，其中图1是　　三角形，图2是　　三角形.
【答案】等边；等腰
2.为了说明图1中的三角形是等边三角形，完成如下的证明.
(1)如图3，因为AB=AC，∠B=　　，所以△ABC是　　三角形.
(2)如图3，因为∠B=∠C=　　，所以∠BAC=　　，所以△ABC是　　三角形.
【答案】60°；等边；60°；60°；等边
如图3，若△ABC是等边三角形，AD是高，因为等边三角形是轴对称图形，沿AD折叠后，B与C重合，则BD=　=　，∠ADB=∠ADC=　，∠BAD=∠CAD=　　.又AB=BC，所以BD= 　AB.
【答案】CD；BC；90°；30°；
所以：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的　　.
【答案】60°；AC；AD；等边；；一半
三.尝试应用：
例1如图,在等边三角形ABC中，DE∥BC, 求证：△ADE是等边三角形.
证明：因为 △ABC是等边三角形，
所以 ∠A= ∠B= ∠C.
因为 DE//BC,
所以 ∠ADE= ∠B, ∠ AED= ∠C.
所以 ∠A= ∠ADE= ∠ AED.
所以 △ADE是等边三角形.
变式：上题中,若将条件DE∥BC改为AD=AE, △ADE还是等边三角形吗 试说明理由.
如图,在等边三角形ABC中，AD=AE, 求证：△ADE是等边三角形.
证明：因为 △ABC是等边三角形，
所以 ∠A= ∠B= ∠C=60.
因为 AD=AE,
所以△ADE是等腰三角形
所以 ∠A=60°
所以 △ADE是等边三角形.
例2已知:如图,在△ABC中,AB=AC=2a,∠ABC=∠ACB=15°,CD是腰AB上的高,求CD的长.
解：因为AB＝AC，
所以∠C＝∠ABC＝15°，
所以∠DAC＝30°，
因为AB＝AC＝2a，
所以在直角△ACD中CD＝AC＝a．
四.自主总结：
1.等边三角形的性质：（1）等边三角形的三条边都相等;三个内角都相等，并且每一个角都等于相等．
（2）等边三角形各边上的高、中线、对应的角平分线互相重合．
2.等边三角形的判定：(1)三个角都相等的三角形是等边三角形．(2)有一个角是60 的等腰三角形是等边三角形．
3.直角三角形的的性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
五.达标测试
一、选择题
1. △ABC中，AB=AC，∠A=∠C，则△ABC是(　　)
A.等腰三角形 B.等边三角形 C.不等边三角形 D.不能确定
2. △ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3，最小边BC=3 cm，则最长边AB的长为(　　)
A.9 cm B.8 cm C.7 cm D.6 cm
3. 如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C，D、E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则∠E=（　　）
A．30° B．20° C．15° D．100°
4. 下列四个说法中，正确的有（　　）个．①三个角都相等的三角形是等边三角形．②有两个角等于60°的三角形是等边三角形．③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．④有两个角相等的等腰三角形是等边三角形．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
5. 已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是边AB上的高，∠A=30°，则线段AB与BD的数量关系是(　　)
A.AB=2BD B.AB=3BD C.AB=4BD D.AB=5BD
二、填空题
6. 如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB的垂直平分线ED交AB于点E，交BC于点D，若CD=3，则BD的长为_______．
7.由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作．小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可．如图1，衣架杆OA=OB=18cm，若衣架收拢时，∠AOB=60°，如图2，则此时A，B两点之间的距离是__18___cm．
8.如图，在等边△ABC中，点D、E分别在边BC，AB上，且BD=AE，AD与CE交于点F．则∠DFC=______度．
三、解答题
9. 如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，EF为AB的垂直平分线，EF交BC于F，交AB于E，BF=5cm，求CF的长．
10. 如图所示，△ABC和△ADE都是等边三角形，且B、A、E在同一直线上，连接BD交AC于M，连接CE交AD于N，连接MN．
求证：（1）BD=CE；（2）BM=CN；（3）MN∥BE．
参考答案
1.B
2. D解设：设∠A、∠B、∠C分别为k、2k、3k，则k+2k+3k＝180°，
解得k＝30°，2k＝60°，3k＝90°，因为最小边BC＝3cm，
所以最长边AB＝2BC＝2×3＝6cm．故选：D．
3.D 解析：①因为三个角都相等的三角形是等边三角形，所以①正确；因为有两个角为60°的三角形是等边三角形，所以②正确；因为有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，所以③正确；因为所有等腰三角形中都有两个角相等，所以④不正确．
4.C解析：如图所示，因为△ABC是等边三角形，所以∠B=∠1=60°，因为CD=CG，所以∠CGD=∠2，所以∠1=2∠2，同理有∠2=2∠E，所以4∠E=60°，所以∠E=15°．
5. C解析：设CD＝，因为∠A＝30°，所以∠ACD＝60°，所以DCB＝30°，
所以AC＝2CD＝2，
由勾股定理可知：AD＝3，设DB＝x，所以BC＝2x，所以由勾股定理得：（2x）2＝x2+3，
解得：x＝1，所以BD＝1，所以AB＝AD+BD＝4，所以AB＝4BD故选：C．
6. 6 解析：因为DE是AB的垂直平分线，所以AD=BD，所以∠DAE=∠B=30°，所以∠ADC=60°，所以∠CAD=30°，所以AD为∠BAC的角平分线，因为∠C=90°，DE⊥AB，所以DE=CD=3，因为∠B=30°，所以BD=2DE=6.
7. 18 解析：因为OA=OB，∠AOB=60°，所以△AOB是等边三角形，所以AB=OA=OB=18cm.
8.60 解析：因为AB=AC，BD=AE，∠B=∠ACB=60°，所以△ABD≌△CAE，所以∠ACE=∠BAD，因为∠BAD+∠DAC=60°，所以∠CAD+∠ACE=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°，∠CAD+∠ACE=∠DFC，所以∠DFC=60°．
9. 解：因为AB=AC，∠BAC=120°，所以∠B=∠C=30°，因为EF为AB的垂直平分线，所以AF=BF，所以∠BAF=∠B=30°，所以∠FAC=90°，因为BF=5cm，所以AF=5cm，所以FC=10cm．
10. 证明：（1）因为△ABC和△ADE都是等边三角形，则在△ABD和△ACE中，,所以△ABD≌△ACE，所以BD=CE．（2）由（1）可知，∠DBA=∠ACE，又因为AB=AC，∠BAC=∠CAD=60°，则在△ABM和△ACN中，,所以△ABM≌△ACN，所以BM=CN．（3）由（2）得，AM=AN，所以∠AMN=∠ANM=60°=∠DAE，所以MN∥BE．